关于函数连续与一致连续的讨论.doc

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摘要

从函数连续与一致连续的概念和关系出发,函数的一致连续性在数学分析中是一个比较精细的概念，占的地位比较重要。

对函数连续性的研究一直受到人们的重视，经过多年不懈地研究，很多学者都取得了不少的研究成果,以对函数连续性和一致连续的内涵有更全面的理解和认识。

本论文综述了连续函数的定义和一致连续函数的定义，以及一致连续函数所具有的性质，最后本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性。

关键词：

连续函数性质，一致连续性，判别法

Aboutadiscussionoffunctioncontinuous

anduniformlycontinuous

Abstract:

Uniformcontinuityoffunctionsinmathematicalanalysisisamoresophisticatedconcept,representingmoreimportantrole.definitionthispapersummarizesthecontinuousfunctioncontinuousfunctionandconsistent,andconsistentwiththenatureofthecontinuousfunction,finally,thispaperdescribesthreemethodsdiscriminantfunctionconsistentcontinuity,thefirstuseofcontinuousfunctionsonthenatureofthedifferenttypesofdiscriminationuniformcontinuityintervalfunction,theseconduseofuniformcontinuityflawintegralfunctionofjudge,thethirdfunctionistodeterminethecontinuityoftheuseofaconsistentratioofdiscriminationlaw.

Keyword:

Propertiesofcontinuousfunctions,UniformContinuity,Criterion

目录

一、引言 1

（一）相关的背景和意义 1

（二）选题依据及研究内容 1

二、函数连续及函数一致性连续的定义 2

（一）函数连续性定义 2

（二）函数一致连续性定义 2

三、函数连续的性质 4

（一）连续函数的局部性质 4

（二）闭区间上连续函数的基本性质 4

（三）反函数的连续性 5

（四）初等函数的连续性 5

四、一致连续函数的性质 5

（一）一致连续函数自变量与函数值的关系 5

（二）区间内一致连续函数的有界性 6

（三）函数一致连续的四则运算性质 7

五、判别函数一致连续性的方法 9

（一）利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性 10

（二）利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性 13

（三）利用比值判别法判断函数一致连续性 14

六、结论 15

致谢 16

参考文献 17

一、引言

（一）相关的背景和意义

高等数学是工科学生一门十分重要的基础课，也是高职工科院校各专业学生一门必修的重要基础理论课。

通过这门课程的学习，使学生受到必要的数学理论和数学方法训练，它为许多包括专业课在内的后续课程做下铺垫。

由于它的理论性强，概念抽象而且深刻，令许多学生畏惧叫苦。

而函数的连续性问题是函数理论中最基本最重要的问题之一，连续性是自然界中广泛存在的一种性质，它是描述变量之间最基本的连续关系的概念。

学习函数连续性的重要性在于：

高等数学中的函数连续性与间断点等内容具有承上启下的作用，对于函数连续性的掌握、函数极限的运算、零点定理、介值定理以及一致连续性等方面的学习都具有重要的意义，因此，研究函数理论及应用具有理论和应用的双重意义。

（二）选题依据及研究内容

函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。

为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。

本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。

函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。

函数在区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。

但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续。

二、函数连续及函数一致性连续的定义

（一）函数连续性定义

定义设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应函数的增量=也趋于零,那么就称函数在点处连续。

设则就是，

=

即可见就是

（1）式

因此

（1）式与相当。

所以，函数在点连续的定义又可以叙述为如下：

设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值即那么就称函数在点连续。

由函数当时的极限的定义可知，上述定义也可以用语言表达如下：

设函数在的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数总是存在着正数，使得对于适合不定式的一切对应的函数值都满足不等式那么就称函数在点连续。

（二）函数一致连续性定义

定义设函数在区间有定义，若,,,

有，称函数在区间一致连续。

[1]

例1：

证明：

函数在上一致连续。

证明：

由于，取=，则对任何，只要，就有，故函数在上一致连续。

例2：

证明：

函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。

证明：

（1）由于，取，则对任意当时，就有，故函数在区间（其中为常数）上一致连续；

（2），取，虽然有

但，故函数在区间上非一致连续。

对函数的一致连续性概念的掌握应注意以下三方面的问题：

（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。

比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知：

前者的不仅与有关，而且还与点有关，即对于不同的一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内，每一点都连续，函数就在区间连续，后者的仅与有关，与无关，即对不同的，是相同的。

这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上是“一致”的（即连续可对一点来讲，而且对于某一点，取决于和，而一致连续必须以区间为对象，只取决于，与点的值无关）。

在区间一致连续的函数在这个区间一定是连续的，事实上，由一致连续性定义将固定，令变化，即知函数在连续，又是区间的任意一点，从而函数在区间上连续。

但在区间连续的函数在这区间上不一定一致连续，例如在区间就是如此。

（2）函数一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差，就绝对值来说，可以任意小，即，当时，就有

（3）要注意一致连续的否定叙述

一致连续的否定就是非一致连续，即设函数在区间有定义，且如果有，，有.则称函数在区间上非一致连续。

三、函数连续的性质

（一）连续函数的局部性质

定理1（局部有界性）若函数在点连续，则在某内有界。

定理2（局部保号性）若函数在点连续，且（或<0），则对任何正数,存在某，使得对一切有。

定理3（四则运算）若函数和在点连续，则也都在点连续。

定理4若函数在点连续，在点连续，且，

则，即函数在点连续。

（二）闭区间上连续函数的基本性质

定理5（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。

例1：

判断函数=在区间[-1,1]上是否有界

解：

因为=是初等函数，在定义域连续

=-1.57,=1.57

所以，即有界。

定理6（介值性定理）设函数在闭区间上连续，。

若为介于与之间的任何实数（<<或>>）,则至少存在一点,使得=。

例2：

证明方程在（0,1）内必定有根。

证明：

设，它在[0,1]连续，又因为=-1<0，=1>0

故对于介于与之间的介值=0，

根据介值定理可知，必存在（0,1），使=0

即，这说明x=ξ是方程的根。

（三）反函数的连续性

定理7若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续。

定理8（一致连续性定理）若函数在区间上连续，则在上一致连续。

（四）初等函数的连续性

定理9一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。

定理10任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

四、一致连续函数的性质

（一）一致连续函数自变量与函数值的关系

设在上一致连续，则存在正数，，使，有

证明：

由在上一致连续知，对=1，0，，若则有

又，有，，，由的连续性可知，

在上有界，即，有||从而

||=|

令即得

（二）区间内一致连续函数的有界性

若在上一致连续，则在上有界。

证明：

，,,,当时

有

特别地，,，也有，根据柯西准则，存在同样也存在。

定义函数

则在上连续，从而有界，，，有。

于是，有，即在有界。

（三）函数一致连续的四则运算性质

我们探讨当均在区间上一致连续，讨论,，，（在区间上不为零）,在区间上是否也一致连续。

性质1

当函数均在区间（不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间）上一致连续时,有在区间上一致连续。

证明：

由在区间上一致连续,可知,当时,有,

又由也在区间I上一致连续知，对上述的存在,当时

有,

取则当时,有

从而在区间上一致连续。

性质2

当函数均在区间（不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间）上一致连续时,有在区间上一致连续。

在上一致连续，函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同略去。

性质3

当函数均在区间（不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间）上一致连续时,我们分两种情况讨论在上的一致连续性。

1.当区间为有限区间（无论开闭）时,有在上是一致连续的。

证明：

由在区间上是一致连续的,则在上都是有界的（为开区间时即为本文的第二部分结论,为闭区间是显然成立）。

从而存在使得，且有，当，时有

所以在有限区间上是一致连续的。

2.当为无限区间时,不能推出在上是一致连续的。

例题4取,则在上不是一致连续的。

证明：

不妨令取两个点列：

则有,这只需，当就可办到,给定有

可见在上不一致连续。

性质4

当函数均在区间（不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间）上一致连续时,我们分两种情况讨论（在区间上不为零）在区间上的一致连续性。

1.当为有限闭区间时,有在上的一致连续性。

证明：

由在闭区间上是一致连续的且在上不为零,则在上有最小值，即存在使,又有，当,且时有

从而,

故在上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知在有限闭区间上是一致连续的。

2.当不为有限闭区间时，不能推出在上是一致连续的。

例题5取,,在区间上不是一致连续的。

证明：

取,对无论多么小的正整数,只要取,

则虽有，但,

所以在内不一致连续。

同理可证在也不一致连续。

五、判别函数一致连续性的方法

函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍、重要和抽象的概念，反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质，是微积分学的基础。

文献[1]的作者介绍了数学分析中的一些定理性质及应用。

文献[2]的作者讨论了如何判断函数是否一致连续，并且给出了一致连续的性质和证明。

文献[3]的作者讨论了函数在非闭区间包括有限开区间及无限区间上，满足一致连续性的充分条件，并且用连续性刻画任意区间上的函数的一致连续性。

文献[4]的作者结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法。

文献[5]的作者提出了函数一致连续性的比较判别法和比值判别法定理。

本章介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性。

定义1[1]设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在，使得对任何,只要，就有

，

则称函数在区间上一致连续。

（一）利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性

我们利用连续函数的性质判定闭区间上函数的一致连续性[2]，非闭区间包括有限开区间及无限区间上函数的一致连续性[3]。

定理1[2]（康托定理）若函数在上连续，则在上一致连续。

证明：

，因为在点连续，所以，，使得，若，，

则，

，

就有||，

，

也就是说，在任何邻域内，都有

现在考虑，当取遍上一切点时，构成一个开区间集，它覆盖着，由有限覆盖定理，就由从中所取的有限个开区间所覆盖，取，且，必属于中的一个，设即，又，表明，所以有，即在上一致连续。

定理2[3]函数在内连续，且与都存在，则在上一致连续。

证明：

因为函数在内连续，所以有

，，

则在上连续，由定理1可知，在上一致连续从而在上一致连续。

例1：

，上是否一致连续

因=0，=1故由定理2可以得出，在（0,1）上一致连续。

例2：

，，上是否一致连续。

因不存在。

所以由定理2可以得出，在（0,1）上不一致连续。

例3：

，上是否一致连续。

因，。

所以由定理2得出在上一致连续。

定理3[3]若在上连续，且,则在上一致连续。

证明：

因为，由Cauchy收敛准则有，，，有

，

又已知在上连续，所以在上一致连续，即上述，，，，有，

于是，有，

即在上一致连续。

定理4[3]若在上连续，且,则在上一致连续。

定理5[3]若在上连续，且，，则在上一致连续。

例4：

证在上是一致连续的。

证明：

设，,

2,

故对，，当时，有

所以在上是一致连续的。

（二）利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性

结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法[4]。

定理6[4]，为的瑕点，且收敛，则在上一致连续。

证明：

，在上任意闭区间上连续，从而在上一致连续，因为收敛，所以只要，总有

，

只要，总有

，

所以在上一致连续，取，可得在上一致连续。

定理7[4]，,为的瑕点，且收敛，在上单调有界，则在上一致连续。

定理8[4]，,为的瑕点，且在上有界，在上单调且当时趋向0，则在上一致连续。

（三）利用比值判别法判断函数一致连续性

利用比值判别法判断函数的一致连续性[５]。

定理9[5]函数，，，，，满足：

（1）；

（2），在上可导，且0；

（3）存在，若（为非0定值），则，有相

同的一致连续性。

例5：

判断函数在区间上的一致连续性[5]。

证明：

选取函数作为比较函数，有，函数在区间上一致连续，由定理9知，函数

也一致连续。

例6：

讨论函数在上的一致连续性。

解：

选取函数作为比较函数，则有，而在上不一致连续，有定理9可知也不一致连续。

例7：

判断函数在区间上的一致连续性。

解:

构造函数，则有:

=，在定义域上非一致连续，由定理9可知，在上不一致连续。

例8：

判断函数在区间上的一致连续性。

解：

构造函数，则有

，

又因为在区间上一致连续，由定理9可知，在区间上一致连续。

六、结论

连续和一致连续的数学术语精确的表达了实际意义，也体现了数学科学的严密性和逻辑性。

研究一致连续与非一致连续的相似处和相异处在科研上有很重要的意义。

如地震波是一致连续的，那么没有太大的损害。

连续与一致连续的概念属于最基本的知识，是很重要的。

我们知道函数在区间上一致连续，自然在区间上连续，反之不一定。

函数在某一区间内的连续性是指在区间内每一点上都连续。

这里讨论的一致连续概念是反应函数在区间上更强的连续。

在区间上一致连续是指任给正数ε，对每一个都存在相应的正数，只要,且，，就有一般来说，对于上不同的点分别存在不同的，所以连续中的与点有关，即。

如存在适合于上所有点的公共，函数就不仅在区间上连续，而是一致连续，所以函数的一致连续性是整体性质。

它可指出在区间上的每一点都连续，这一局部性质，根据一致连续定义，若函数在区间上一致连续，则函数在区间上连续。

事实上，把看做固定点，把看做动点即函数在点连续性，又因为是区间上的任一点，所有函数在区间上连续。

不过对闭区间上连续函数讲，可以由点点连续推出一致连续。

函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，一致连续的函数处处连续，而连续函数不一定一致连续。

本文总结了函数在区间上一致连续的条件以及一致连续函数的部分性质。

判断函数在某一区间上是否一致连续的关键是看其是否存在使得在区间上任意点都适用的通用的，而是否存在通用的与函数在此区间上是否紧密相连。

参考文献

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大学出版社，2009

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