中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案Word格式.doc

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（1）M（，），即M（2，1.5）．

（2）如图所示：

根据平行四边形的对角线互相平分可得：

设D点的坐标为（x，y），

∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，

①当AB为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴BC=，

∴AD=，∵﹣1+3﹣1=1，2+1﹣4=﹣1，∴D点坐标为（1，﹣1），

②当BC为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴AC=2，BD=2，

D点坐标为（5，3）．

③当AC为对角线时，

∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴AB=，CD=，D点坐标为：

（﹣3，5），

综上所述，符合要求的点有：

D'

（1，﹣1），D″（﹣3，5），D″′（5，3）．

本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．

3．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：

PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

平行四边形的性质．718351

探究型．

在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．

图2结论：

过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形AEPF是平行四边形，

∵MN∥BC，PF∥AB

∴四边形BDPM是平行四边形，

∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，

∵AB=AC，

∴∠EMP=∠B，

∴∠EMP=∠EPM，

∴PE=EM，

∴PE+PF=AE+EM=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，

∴MB=PD．

∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：

PE+PF﹣PD=AB．

此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．

4．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．

（1）求证：

四边形AECF是平行四边形；

（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？

并说明理由．

平行四边形的判定；

全等三角形的判定；

等腰三角形的判定；

证明题；

几何综合题；

（1）根据矩形的性质可知：

AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°

，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；

（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．

（1）证明：

∵矩形ABCD，

∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°

，

∴AE∥CF，

∴△ABE≌△CDF，

∴AE=CF．

∴四边形AECF为平行四边形．

（2）解：

△ACG是等腰三角形．

理由如下：

∵AE∥FG，

∴∠G=∠GAE．

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠DAG．

又OA=AC=BD=OD，

∴∠ODA=∠DAO．

∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，

∴∠BAE=∠ADE．

∴∠BAE=∠DAO，

∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，

∴△CAG是等腰三角形．

本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

5．（2006•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．

AF与DE互相平分；

（2）若BC=4，求DF的长．

平行四边形的判定．718351

计算题；

证明题．

（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．

（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等，求得AE长即可．

连接EF，AE．

∵点E，F分别为BC，AC的中点，

∴EF∥AB，EF=AB．

又∵AD=AB，

∴EF=AD．

又∵EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形．

∴AF与DE互相平分．

在Rt△ABC中，

∵E为BC的中点，BC=4，

∴AE=BC=2．

又∵四边形AEFD是平行四边形，

∴DF=AE=2．

本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

6．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．

请回答下列问题：

四边形ADEF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．

等边三角形的性质；

矩形的判定．718351

1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形

2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°

，则∠BAC=360°

﹣90°

﹣60°

=150°

（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，

∴DB=AB，BE=BC．又∠DBE=60°

﹣∠EBA，∠ABC=60°

﹣∠EBA，

∴∠DBE=∠ABC．∴△DBE≌△CBA．∴DE=AC．

又∵AC=AF，∴AF=DE．同理可证：

△ABC≌△FCE，证得EF=AD．

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90°

．

又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60°

∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°

当△ABC满足∠BAC=150°

时，四边形ADEF是矩形．

此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．

7．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：

EF=CD；

（2）在

（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由．

平行四边形的判定与性质；

等边三角形的性质．718351

（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；

（2）在

（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°

，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°

∵△AED是等边三角形，

∴AD=AE，∠ADE=60°

∴∠EDB=90°

﹣∠ADE=90°

=30°

∵ED∥CF，

∴∠FCB=∠EDB=30°

，∵∠ACB=60°

，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°

∴∠ACF=∠BAD=30°

，在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，

∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．

△AEF和△ABC的面积比为：

1：

4；

（3）解：

成立．

∵ED∥FC，

∴∠EDB=∠FCB，

∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°

+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°

+∠EDB

∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），

∴AD=FC，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=DC．

此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．

8．（2011•海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°

，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．

△BDQ≌△ADP；

（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

菱形的性质；

解直角三角形．718351

（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°

，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；

（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，

∵∠A=60°

∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°

∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°

∵AP=BQ，

∴△BDQ≌△ADP（SAS）；

过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，

∵BQ=AP=2，

∵AD∥BC，

∴∠QBE=60°

∴QE=QB•sin60°

=2×

=，BE=QB•cos60°

=1，

∵AB=AD=3，

∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1，

∴PE=PB+BE=2，

∴在Rt△PQE中，PQ==，

∴cos∠BPQ===．

此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．

10．（2007•常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）

（1）探究：

如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？

若不成立，请说明理由；

（2）计算：

若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°

，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．

（3）发现：

通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？

勾股定理；

平行线分线段成比例．718351

综合题；

压轴题．

（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于即可；

（2）首先应画出两个不同的图形进行分析．构造30°

的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或16﹣3=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；

（3）成立，根据

（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论．

（1）结论成立

由已知易得FH∥AB，

∴，

∵FH∥GC，

∴．

（2）∵G在直线CD上，

∴分两种情况讨论如下：

①G在CD的延长线上时，DG=10，

如图1，过B作BQ⊥CD于Q，

由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°

∴BC=AB=6，∠BCQ=60°

∴BQ=3，CQ=3，

∴BG=．

又由FH∥GC，可得，

而△CFH是等边三角形，

∴BH=BC﹣HC=BC﹣FH=6﹣FH，

∴FH=，

由

（1）知，

∴FG=．

②G在DC的延长线上时，CG=16，

如图2，过B作BQ⊥CG于Q，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°

∴BQ=3，CQ=3．

∴BG==14．

又由FH∥CG，可得，

∵BH=HC﹣BC=FH﹣BC=FH﹣6，

∴FH=．

∵FH∥CG，

∴BF=14×

÷

16=．

∴FG=14+．

（3）G在DC的延长线上时，，

∴成立．

结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立．

证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明．

11．（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；

设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．

（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；

（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；

（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．

二次函数的最值；

全等三角形的性质．718351

（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．

（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积．

（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．

（1）设：

BN=a，CN=10﹣a（0≤a≤10）

因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）

所以，AM=1×

t=t（0≤t≤10），MD=10﹣t（0≤t≤10）．

所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）×

菱形高÷

2=（t+a）×

2；

梯形MNCD的面积=（MD+NC）×

2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×

2

当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，

即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）

所以，当t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．

（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0≤t≤5，

因为AB=10，∠BAD=60°

，所以菱形高=5，

AM=1×

t=t，BN=2×

t=2t．

所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×

2=3t×

5×

=t（0≤t≤5）．

所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为．

（3）当△MPN≌△ABC时，

则△ABC的面积=△MPN的面积，则△MPN的面积为菱形面积的一半为25；

因为要全等必有MN∥AC，

∴N在C点外，所以不重合处面积为×

（at﹣10）2×

∴重合处为S=25﹣，

当S=0时，即PM在CD上，

∴a=2．

本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．

12．（2002•无锡）点评：

本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

13．点评：

本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．

14．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．

（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；

（2）如图2，若∠ABC=90°

，M是EF的中点，求∠BDM的度数；

（3）如图3，若∠ABC=120°

，请直接写出∠BDG的度数．

菱形的判定与性质；

等腰直角三角形；

正方形的判定与性质．718351

（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；

（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°

可得到∠BDM的度数；

（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形，

∴四边形ECFG为菱形．

（2）如图，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°

，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，

又由

（1）可知四边形ECFG为菱形，

∠ECF=90°

∴四边形ECFG为正方形．

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M为EF中点，

∴∠CEM=∠ECM=45°

∴∠BEM=∠DCM=135°

在△BME和△DMC中，

∵，

∴△BME≌△DMC（SAS），

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME．

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴∠BDM=45°

；

（3）∠BDG=60°

延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四边形AHFD为平行四边形，

∵∠ABC=120°

，AF平分∠BAD，

∴∠DAF=30°

，∠ADC=120°

，∠DFA=30°

∴△DAF为等腰三角形，

∴AD=DF，

∴平行四边形AHFD为菱形，

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴BH=GF，

在△BHD与△GFD中，

∴△BHD≌△GFD（SAS），

∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

15．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？

若变化，请说明理由；

若不变，求出四边形PQED的面积．

菱形的判定与性质．718351

动点型；

数形结合．

（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；

（