浙江省杭州市中考数学试题及答案Word解析版Word下载.doc
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A.﹣10 B.﹣40 C.10 D.40
完全平方公式.
专题:
计算题.
联立已知两方程求出a与b的值,即可求出ab的值.
联立得:
,
解得:
a=5,b=﹣2,
则ab=﹣10.
故选A.
此题考查了解二元一次方程组,求出a与b的值是解本题的关键.
5.(2013杭州)根据2008~2012年杭州市实现地区生产总值(简称GDP,单位:
亿元)统计图所提供的信息,下列判断正确的是( )
A.2010~2012年杭州市每年GDP增长率相同
B.2012年杭州市的GDP比2008年翻一番
C.2010年杭州市的GDP未达到5500亿元
D.2008~2012年杭州市的GDP逐年增长
条形统计图.
根据条形统计图可以算2010年~2011年GDP增长率,2011年~2012年GDP增长率,进行比较可得A的正误;
根据统计图可以大约得到2012年和2008年GDP,可判断出B的正误;
根据条形统计图可得2010年杭州市的GDP,可判断出C的正误,根据条形统计图可直接得到2008~2012年杭州市的GDP逐年增长.
A.2010年~2011年GDP增长率约为:
=,2011年~2012年GDP增长率约为=,增长率不同,故此选项错误;
B.2012年杭州市的GDP约为7900,2008年GDP约为4900,故此选项错误;
C.2010年杭州市的GDP超过到5500亿元,故此选项错误;
D.2008~2012年杭州市的GDP逐年增长,故此选项正确,
故选:
D.
本题考查的是条形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
6.(2013杭州)如图,设k=(a>b>0),则有( )
A.k>2 B.1<k<2 C. D.
分式的乘除法.
分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积,然后计算比值即可.
甲图中阴影部分面积为a2﹣b2,
乙图中阴影部分面积为a(a﹣b),
则k====1+,
∵a>b>0,
∴0<<1,
本题考查了分式的乘除法,会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键.
7.(2013杭州)在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直
B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点 C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点 D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
直线与圆的位置关系;
命题与定理.
根据直线与圆的位置关系进行判断即可.
A.圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时,两条直线可能垂直,故本选项错误;
B.当两圆经过两条直线的交点时,圆与两条直线有三个交点;
C.两条平行弦所在直线没有交点,故本选项正确;
D.两条平行弦之间的距离一定小于直径,但不一定小于半径,故本选项错误,
故选C.
本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理,解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系.
8.(2013杭州)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
由三视图判断几何体.
由三视图可看出:
该几何体是﹣个正六棱柱,其中底面正六边形的边长为6,高是2.根据正六棱柱的体积=底面积×
高即可求解.
该几何体是﹣个正六棱柱,其中底面正六边形的边长为6,高是2,
所以该几何体的体积=6×
×
62×
2=108.
本题考查了由三视图求原几何体的体积,正确恢复原几何体是解决问题的关键.
9.(2013杭州)在Rt△ABC中,∠C=90°
,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于( )
解直角三角形.
在直角三角形ABC中,由AB与sinA的值,求出BC的长,根据勾股定理求出AC的长,根据面积法求出CD的长,即为斜边上的高.
根据题意画出图形,如图所示,
在Rt△ABC中,AB=4,sinA=,
∴BC=ABsinA=2.4,
根据勾股定理得:
AC==3.2,
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD,
∴CD==.
故选B
此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:
锐角三角函数定义,勾股定理,以及三角形的面积求法,熟练掌握定理及法则是解本题的关键.
10.(2013杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=
①如果,那么0<a<1;
②如果,那么a>1;
③如果,那么﹣1<a<0;
④如果时,那么a<﹣1.
则( )
A.正确的命题是①④ B.错误的命题是②③④ C.正确的命题是①② D.错误的命题只有③
二次函数与不等式(组);
先确定出三函数图象的交点坐标为(1,1),再根据二次函数与不等式组的关系求解即可.
易求x=1时,三个函数的函数值都是1,
所以,交点坐标为(1,1),
根据对称性,y=x和y=在第三象限的交点坐标为(﹣1,﹣1),
①如果,那么0<a<1正确;
②如果,那么a>1或﹣1<a<0,故本小题错误;
③如果,那么a值不存在,故本小题错误;
④如果时,那么a<﹣1正确.
综上所述,正确的命题是①④.
本题考查了二次函数与不等式组的关系,命题与定理,求出两交点的坐标,并准确识图是解题的关键.
二.填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案
11.(2013杭州)32×
3.14+3×
(﹣9.42)=.
有理数的混合运算.
根据32×
(﹣9.42)=3×
9.42﹣3×
(﹣9.42)即可求解.
原式=3×
(﹣9.42)=0.
故答案是:
0.
本题考查了有理数的混合运算,理解运算顺序是关键.
12.(2013杭州)把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为.
实数大小比较.
先分别得到7的平方根和立方根,然后比较大小.
7的平方根为﹣,;
7的立方根为,
所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣<<.
故答案为:
﹣<<.
本题考查了实数大小比较:
正数大于0,负数小于0;
负数的绝对值越大,这个数越小.
13.(2013杭州)在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=2BC,现给出下列结论:
①sinA=;
②cosB=;
③tanA=;
④tanB=,其中正确的结论是(只需填上正确结论的序号)
特殊角的三角函数值;
含30度角的直角三角形.
探究型.
先根据题意画出图形,再由直角三角形的性质求出各角的度数,由特殊角的三角函数值即可得出结论.
如图所示:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=2BC,
∴sinA==,故①错误;
∴∠A=30°
∴∠B=60°
∴cosB=cos60°
=,故②正确;
∵∠A=30°
∴tanA=tan30°
=,故③正确;
∵∠B=60°
∴tanB=tan60°
=,故④正确.
③③④.
本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.
14.(2013杭州)杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表(单位:
分),设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为,,则=分杭州市某4所高中最低录取分数线统计表
算术平均数.
先算出2011年的平均最低录取分数线和2012年的平均最低录取分数线,再进行相减即可.
2011年的平均最低录取分数线=(438+435+435+435)÷
4=435.75(分),
2012年的平均最低录取分数线=(442+442+439+439)÷
4=440.5(分),
则=440.5﹣435.75=4.75(分);
4.75.
此题考查了算术平均数,掌握平均数的计算公式是解题的关键,是一道基础题,比较简单.
15.(2013杭州)四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,且BC=CD=2,AB=3,把梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周,所得几何体的表面积分别为S1,S2,则|S1﹣S2|=(平方单位)
圆锥的计算;
点、线、面、体;
圆柱的计算.
梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差.
AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是:
2π×
2×
3=12π;
AC旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是:
2=8π,
则|S1﹣S2|=4π.
4π.
本题考查了图形的旋转,理解梯形ABCD分别绕直线AB,CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键.
16.(2013杭州)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值(单位:
秒)
切线的性质;
等边三角形的性质.
分类讨论.
求出AB=AC=BC=4cm,MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°
,分为三种情况:
画出图形,结合图形求出即可;
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm,∠A=∠C=∠B=60°
∵QN∥AC,AM=BM.
∴N为BC中点,
∴MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°
分为三种情况:
①如图1,
当⊙P切AB于M′时,连接PM′,
则PM′=cm,∠PM′M=90°
∵∠PMM′=∠BMN=60°
∴M′M=1cm,PM=2MM′=2cm,
∴QP=4cm﹣2cm=2cm,
即t=2;
②如图2,
当⊙P于AC切于A点时,连接PA,
则∠CAP=∠APM=90°
,∠PMA=∠BMN=60°
,AP=cm,
∴PM=1cm,
∴QP=4cm﹣1cm=3cm,
即t=3,
当当⊙P于AC切于C点时,连接PC,
则∠CP′N=∠ACP′=90°
,∠P′NC=∠BNM=60°
,CP′=cm,
∴P′N=1cm,
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm,
即当3≤t≤7时,⊙P和AC边相切;
③如图1,
当⊙P切BC于N′时,连接PN′3
则PN′=cm,∠PM\N′N=90°
∵∠PNN′=∠BNM=60°
∴N′N=1cm,PN=2NN′=2cm,
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm,
即t=8;
t=2或3≤t≤7或t=8.
本题考查了等边三角形的性质,平行线的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,切线的性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行计算的能力,注意要进行分类讨论啊.
三.解答题(本题有7个小题,共66分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17.(2013杭州)如图,四边形ABCD是矩形,用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新图形中,你发现了什么?
请写出一条.
作图—复杂作图.
根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置,进而利用垂直平分线的作法得出答案即可.
发现:
DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等.
此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识,熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键.
18.(2013杭州)当x满足条件时,求出方程x2﹣2x﹣4=0的根.
解一元二次方程-公式法;
解一元一次不等式组.
通过解一元一次方程组求得2<x<4.然后利用求根公式x=求得方程程x2﹣2x﹣4=0的根,由x的取值范围来取舍该方程的根.
由求得
则2<x<4.
解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+,x2=1﹣,
∵2<<3,
∴3<1+<4,符合题意
∴x=1+.
本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法,解一元一次不等式组.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.
19.(2013杭州)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.
求证:
△GAB是等腰三角形.
等腰梯形的性质;
全等三角形的判定与性质;
等腰三角形的判定.
证明题.
由在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,DE=CF,利用SAS,易证得△ADE≌△BCF,即可得∠DAE=∠CBF,则可得∠GAB=∠GBA,然后由等角对等边,证得:
证明:
∵在等腰梯形中ABCD中,AD=BC,
∴∠D=∠C,∠DAB=∠CBA,
在△ADE和△BCF中,
∴△ADE≌△BCF(SAS),
∴∠DAE=∠CBF,
∴∠GAB=∠GBA,
∴GA=GB,
即△GAB为等腰三角形.
此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
20.(2013杭州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
二次函数的性质;
抛物线与x轴的交点.
根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8,然后分①n=8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围;
②n=﹣8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围.
根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8.
分类讨论:
①n=8时,易得A(﹣6,0)如图1,
∵抛物线经过点A、C,且与x轴交点A、B在原点的两侧,
∴抛物线开口向下,则a<0,
∵AB=16,且A(﹣6,0),
∴B(10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x==2,
要使y1随着x的增大而减小,则a<0,
∴x>2;
(2)n=﹣8时,易得A(6,0),如图2,
∵抛物线过A、C两点,且与x轴交点A,B在原点两侧,
∴抛物线开口向上,则a>0,
∵AB=16,且A(6,0),
∴B(﹣10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x==﹣2,
要使y1随着x的增大而减小,且a>0,
∴x<﹣2.
本题考查了二次函数的性质,主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的增减性,难点在于要分情况讨论.
21.(2013杭州)某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列,从中任意抽取1张卡片
(1)在序号中,是20的倍数的有:
20,40,能整除20的有:
1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率;
(2)若规定:
取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?
请说明理由;
(3)请你设计一个规定,能公平地选出10位学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.
游戏公平性.
(1)由在序号中,是20的倍数的有:
1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)由无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%,而很明显抽到其他序号学生概率不为100%.可知此游戏不公平;
(3)可设计为:
先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止.
(1)∵在序号中,是20的倍数的有:
1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),
∴是20倍数或者能整除20的数有7个,
则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为:
;
(2)不公平,
∵无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%,
而很明显抽到其他序号学生概率不为100%.
∴不公平;
(3)先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止.
(为保证每个数字每次被抽到的概率都是)
本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
22.(2013杭州)
(1)先求解下列两题:
①如图①,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°
,求∠A的度数;
②如图②,在直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,且BC=2,点D在AC上,且横坐标为1,若反比例函数的图象经过点B,D,求k的值.
(2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?
请简单地写出.
等腰三角形的性质;
反比例函数图象上点的坐标特征.
(1)①根据等边对等角可得∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,然后用∠A表示出∠EDM,计算即可求解;
②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标,再表示出点C的坐标,然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同,从而表示出点D的坐标,再代入反比例函数解析式进行计算即可得解.
(2)从数学思想上考虑解答.
(1)①∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,
根据三角形的外角性质,∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,
又∵∠EDM=84°
∴∠A+3∠A=84°
解得,∠A=21°
②∵点B在反比例函数y=图象上,点B,C的横坐标都是3,
∴点B(3,),
∵BC=3,
∴点C(3,+2),
∵AC∥x轴,点D在AC上,且横坐标为1,
∴A(1,+2),
∵点A也在反比例函数图象上,
∴+2=k,
解得,k=3;
(2)用已知的量通过关系去表达未知的量,使用转换的思维和方法.(开放题)
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,以及反比例函数图象上点的坐标特征,是基础题.
23.(2013杭州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°
,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.
(1)求证:
∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,.
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.
四边形综合题.
(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;
(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.
①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数,求出其最大值;
②注意中心对称、轴对称的几何性质.
(1)证明:
∵∠EPF=45°
∴∠APE+∠FPC=180°
﹣45°
=135°
而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°
则∠CFP+∠FPC=180°
∴∠APE=∠CFP.
(2)解:
①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°
∴△APE∽△CPF,则.
而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=AB=,
又∵P为对称中心,则AP=CP=,
∴AE===.
如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.
S△APE==×
=,
∵阴影部分关于直线AC轴对称,
∴△APE与△APN也关于直线AC对称,
则S四边形AEPN=2S△APE=;
而S2=2S△PFC=2×
=2x,
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x,
∴y===+﹣1.
∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°
∴2≤x≤4.
令=a,则