第13章轴对称导学案修改.docx
《第13章轴对称导学案修改.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第13章轴对称导学案修改.docx（42页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第13章轴对称导学案修改
第十三章轴对称
第1课时轴对称
【学习目标】1．通过展示轴对称图形的图片，使学生初步认识轴对称图形；
2．通过试验，归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形；
3．培养学生的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。
【学习重点】认识轴对称和轴对称图形，会找出简单的轴对称图形的对称轴。
【学习难点】轴对称和轴对称图形的联系与区别是难点。
【学习过程】
一、自主学习、自主研究
1、分析各类图案的特点，用一句话概括：
把一个图形沿_____条直线折叠，如果直线两旁的部分能_______，那么这个图形叫______________,这条直线叫做___________
汽车标志：
2、把下列具有轴对称特征的图形沿某一条直线对折，使直线两旁的部分能够互相重合。
（1）画出对称轴
3.填表（注：
对称轴是直线）
图形
对称轴的准确描述
条数
矩形
相邻两边的垂直平分线
正方形
相邻两边的垂直平分线及对角线所在的直线
等腰梯形
等腰三角形
菱形
圆
角
线段
线段的垂直平分线及线段所在的直线
射线
（1）
（2）
（3）（4）
对于
（1）
（2）（3）（4）图形，如果沿一条直线_______后，它两边的两个图形能完全重
合那么这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
3、轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？
思考：
（1）成轴对称的两个图形全等吗?
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？
这两个图形对称吗？
（3）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个什么图形？
比较归纳。
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别
个图形
个图形
联系
1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
2.都有
3.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形
就是如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线
区别：
轴对称是两个图形能沿对称轴折叠后能重合，指的是（两个图形的位置关系。
）
而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合，指的是（具有对称性的某个图形）。
联系：
如果把成轴对称的2个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形。
如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成2个图形，那么这两部分图形就成轴对称。
【反思小结】这节课有什么收获？
二、典例讲解
例1.下图是由小正方形组成的“L”形图。
请你在下图中添画一个小正方形，使它成为轴对称图形。
例2.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？
整个图形是轴对称图形吗？
它共有几条对称轴？
例3、
例4、一辆汽车的车牌在水中的倒影如下图所示，你能确定该车的车牌号码吗？
四、知识运用
1、图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ）
2、下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A、梯形 B、直角三角形 C、角 D、平行四边形
3、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）
4、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）。
A、等腰直角三角形B、有一角为
的等腰三角形C、正方形D、圆
5、下列图形中不是轴对称图形的是（ ）。
①角；②线段 ③不等边三角形； ④等边三角形。
A、①②③ B、②③ C、③ D、①②③④
6、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A、线段MN B、两相交线段 C、射线 D、等边三角形
7、下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A、梯形 B、直角三角形 C、线段 D、平行四边形
8、轴对称与轴对称图形两个概念主要区别是：
①轴对称是对______个图形而言，轴对称图形 是对____个图形而言；②轴对称是说两图形的________,轴对称图形是说这些特殊性质的图形本身。
第2课时轴对称
【学习目标】1、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观念。
2．探索线段垂直平分线的性质，培养自己认真探究、积极思考的能力。
一、自主学习
1、如图所示，它们都是对称图形，请观察并
指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
二、自主研究
（一）轴对称的性质
1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′
沿MN折叠后，点A与A′重合吗？
于是有PA＝
，∠MPA＝＝度
（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′
也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
（文字叙述）
_____________________________
（4）判断图形是否是轴对称图形的方法：
如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的
类似地，轴对称图形的线段对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（5）结论：
成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行．
（二）、垂直平分线的定义：
1、经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2、线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的与这条线段的距离
已知：
求证：
证明：
3．思考：
反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
已知：
C到线段AB的两个端点距离相等，即AC=BC，求证：
点C在AB的垂直平分线上
分析：
要证明C在AB的垂直平分线上，如果过C能做出AB的垂直平分线就好了；垂直平分线既要垂直又要平分，但作图时这两者我们只能做出其一，若能做出平分或垂直时，能证出另一方面那就好了。
如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？
为什么？
活动：
1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取
点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．
2．讨论：
要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？
线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：
到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4、思考：
到线段AB两个端点距离相等的点有多少个？
把这些点合在一起组成了什么图形.
线段的垂直平分线的第二定义：
线段的垂直平分线可以看着是到线段的两个端点距离相等的所有点的集合。
三、典例讲解
例1已知：
△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P。
求证：
PA=PB=PC
证明：
例2、如图：
已知，DE是AB的垂直平分线交AC于E，若AB=5,△BCE周长为10，求△ABC的周长。
提示：
⑴请你把已知条件标在图上；⑵周长还需要求哪些线段的和；
⑶如何与已知建立联系；⑷写出过程。
解：
即时练习：
若上图中AC=6，BC=4，则△BCE的周长是。
例3．已知：
如图，∠ABC及两点M、N．
求作：
点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．
作法：
四、知识运用
1、下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）轴对称图形只有一条对称轴，
（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，
如果AC=6cm，BC=5cm，则△BDC的周长为
3、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果△BDC的
周长为9cm，且AB=5cm，则△ABC的周长为
4如图：
DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若BD=3，则AD=______
若∠B=40度，∠BAC=70度，则∠CAE=______度；若AC=4，BC=5，则△AEC的周长为_______
5、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.两条相交直线B.线段
C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段
6、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点
C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点
第3课时轴对称
学习目标：
1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
学习重点：
作出轴对称图形的对称轴。
学习难点：
在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。
学习过程：
一、自主学习
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连的线。
二、自主研究
（一）怎样找对称轴
作轴对称图形的对称轴的方法是：
找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．
1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗?
2、已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并拼出线段的中点O.
3、如图，在五角星上作出一条对称轴
4、画出下列图形的一条对称轴，和小组同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?
5、如图，角是轴对称图形吗?
如果是，画出它的对称轴
6、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形?
画出它们的对称轴
（二）、作轴对称图形
1、如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
小结：
作对称图形的方法：
______________________________________________________
______________________________________________________________________________
三、典例讲解
例1、把下列图形补成关于L对称的图形。
例2、探究：
要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
例3、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
四、知识运用
1．试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形．
2．如图所示，已知平行四边形ABCD及对角线BD，求作ΔBCD关于直线BD
的对称图形．（不要求写作法）
3．如图所示，已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD
关于直线EF的对称图形．（不要求写作法）
4．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：
（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；
（2）四块图形形状相同；
（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：
①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的两个图形的分割看作同一种方法）．请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法．（只画图，不写作法）
第4课时用坐标表示轴对称
学习目标：
1.能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2.掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习过程：
一、自主学习、自主研究
1、已知△ABC，求作△A’B’C’，
使它与△ABC关于直线l成轴对称
2、关于x轴、y轴对称的点的坐标特点：
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是
二、典例讲解
例1．如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），
D（－5，4），分别作出四边形ABCD
关于y轴和x轴对称的图形。
例2、1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标
（3，6）
（-7，9）
（-3，-5）
（6，-1）
（0，10）
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
2.点A（3，-12），B（3，12）关于_____轴对称，点C（-5.4，-10），D（5.4，-10）关于_______轴对称。
3．已知点（2，x）和点（y,3）关于y轴对称，则（x+y）2011=。
4.已知点A（2x+y，－7）和点B（4，4y－x）关于x轴对称，
求x，y的值
5．
（1）请画出
关于
轴对称的
（其中
分别是
的对应点，不写画法）；
（2）直接写出
三点的坐标：
．
（3）△ABC的面积为。
6.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，4），
B（－3，2），C（－2，1），
⑴作出△ABC关于直线x=1对称的图形
；
⑵写出
三点的坐标：
．
⑶如果点P（2，y）和Q（x，3）关于直线x=1对称，则x=，y=。
三、知识运用
1．已知：
线段AB，并且A、B两点的坐标分别为（－2，1）和（2，3）．
（1）在图中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2，并写出相应端点的坐标．
（2）在图4－2中分别画出线段AB关于直线x＝－1和直线y＝4的对称线段A3B3及A4B4，并写出相应端点的坐标．
2．如图，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（5，1），C（5，4），D（2，4），分别写出四边形ABCD关于x轴、y轴对称的
四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标．
3、ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．
4、如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：
B'_____、C'_____；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：
坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为_____（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
第5课时等腰三角形和等边三角形
[学习目标]1.通过对折等腰三角形纸片，发现并理解等腰三角形性质和等边三角形性质。
2．会用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题。
3．通过实践和欣赏轴对称图案的对称美中激发学习兴趣。
[学习重点]会用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题。
[学习难点]理解等腰三角形的“三线合一”
[学习过程]
一、自主学习
1、如果一个图形沿折叠，两旁的部分能够，那么这个图形叫做。
2、全等三角形的判定定理有：
边、边、边，，，；斜边、直角边。
3、全等三角形的性质是：
，。
二、自主研究
1、等腰三角形的概念：
相等的三角形叫做等腰三角形
2、探索等腰三角形的性质
用纸剪等腰三角形并对折，你能发现：
（1）等腰三角形的两底角。
（等角对等边）
几何语言：
∵在△ABC中，_____=_______,（已知）
∴________=___________（）
（2）顶角的，，这三条线段重合。
（三线合一）
几何语言:
（如上图）
（3）等腰三角形是图形，对称轴是。
请证明你的发现
（4）已知：
如图1△ABC是等腰三角形
求证：
∠B=∠C
证明：
过A作AD⊥BC交BC于D（辅助线做法）
在Rt△ABD和Rt△ACD中
∵AB=AC（等腰三角形的定义）
AD=AD（公共边）
∴≌（）
∴∠B=∠C（）
思考：
若辅助线改为：
AD为∠BAC的角平分线、或BC的中线，怎样证明上面的结论，把它证明在下面。
（5）已知：
如图1△ABC是等腰三角形,AD是BC边上的高。
求证：
∠BAD=∠CAD和BD=CD
证明：
思考：
若已知是△ABC是等腰三角形,AD是BC边上的中线或AD为∠BAC的角平分线，怎么证明它是另外两条线。
小结：
已知等腰三角形时，常见辅助线为考虑三线_______________。
即时练习
（6）如图2，在已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，
则下列结论中错误的是（）
A、∠BAC=∠BB、∠1=∠2C、AD⊥BCD、∠B=∠C
（7）等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（ ）
A．9cmB．12cmC．9cm和12cmD．在9cm与12cm之间
（8）下列命题中，正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
C．一条线段只有一条对称轴
D．等腰三角形底边上的高所在直线是等腰三角形的对称轴
3、等腰三角形的判定
我们已证明得出等腰三角形具有等边对等角的性质。
反过来，如果三角形有两角相等，那么这两个角所对的边也，即等角对。
几何语言：
∵在△ABC中，_____=_______,（已知）
∴________=___________（）
请说明你的结论:
4．等边三角形
等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是三角形，即叫等边三角形。
等边三角形的性质和判定方法
（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？
（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
归纳：
（1）等边三角形的性质：
等边三角形的三边，三个内角且都为度，等边三角形有条对称轴。
（2）等边三角形的判定：
方法一、
方法二、
方法三、
三、典例讲解
例1、等腰三角形的一个内角是80°，求它的另外两个角.
例2、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
例3、等腰三角形的一边长为10cm，另一边长为5cm，则它的周长是________.
例4、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
反思小结
1、口述等腰三角形的定义、性质、判定
2、口述等边三角形的定义、性质、判定
3、计算等腰三角形的内角的度数和边的长度时要常要考虑种情况。
四、知识运用
1、如图3是由大小不同的正三角形组成的图案，它的对称轴有条
2．等腰三角形中，∠A是顶角，为120°，则底角的度数是。
3．等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm，则其余两边分别为。
4、如图4，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，则∠ADC=度，∠BAD=度。
5.已知，如图ΔABC中，AB＝AC,D点在BC上，且BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰三角形全都写出来.并求∠B的度数.
6．如图在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M、N，连接AM，求∠AMC的度数。
7、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
8、求证：
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
9、（l）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
（2）上题中，若AB=10㎝，AC=12㎝，求△ADE的周长？
第6课时直角三角形的四个重要定理
【学习目标】1、300角的直角三角形的性质定理及其逆定理。
2、直角三角形斜边上的中线的性质定理及其逆定理。
【学习重点】掌握4个定理，并能运用这4个定理解决相关问题。
【学习难点】运用这4个定理解决相关问题。
【学习过程】
一、自主学习
1、三角形全等的判定方法有：
．
2、如图，在△ABC中，AB=AC：
如果，∠1=∠2,那么、。
如果AD⊥BC，那么、。
如果BD=CD,那么、。
3、有一个角是600的等腰三角形是三角形
4、直角三角形的两个锐角。
二、自主研究
1、定理1：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
已知：
在RT△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=300。
求证：
BC=
AB。
证明：
延长BC到D，使BC=CD，连接AD。
在△ABC和△ADC中，
∵AC=AC（公共边）∠ACB=∠ACD=900（已知）
BC=DC（已知）
∴_______________≌_____________（）
∴∠B=∠D（）
∴____________=____________（等角对等边）
∵∠ACB=900，∠BAC=300（已知）∴∠B=600（）
∴△ABD是等边三角形（）∴BC=CD=
AB（）
思考：
还有其它方法可以证明吗？
把它写在旁边.
2、定理2：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于300。
已知：
在RT△ABC中，∠ACB=900，BC=
AB。
求证：
∠BAC=300
提示：
延长BC到D，使BC=CD，连接AD。
标：
把已知条件在图上表示出来。
联：
把求证的结论和条件联系起来。
请同学们，自己口述证明过程。
思考：
还有其它方法可以证明吗？
把它写在旁边.
3、
定理3：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：
在RT△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的中线。
求证：
CD=
AB
证明：
延长CD到E，使DE=CD，连接EB。
∵CD是斜边AB上的中线（已知）∴_______________=_______________（）
在△ADC和△BDE中，
∵
∴≌___________（）
∴∠A=（）
AC=BE（）∵∠ACB=900（）
∴∠A+∠4=900（）∴∠3+∠4=900（）
即∠CBE=900在△ABC和△ECB中，
∵
升级会员 