最新2018年全国中考数学试卷分类汇编解直角三角形Word文档下载推荐.docx

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作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°

∠ACB=15°

∴∠ABC=135°

又∵BE=CE，

∴∠ACB=∠EBC=15°

∴∠ABE=120°

，又∵∠CAB=30°

∴BA=BE，AD=DE，

设BD=x，

在Rt△ABD中，

∴AD=DE=x，AB=BE=CE=2x，

∴AC=AD+DE+EC=2x+2x=30，

∴x= = ≈5.49，故答案为：

B.

【分析】根据题意画出图如图所示：

作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，

AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE=x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2x+2x=30，解之即可得出答案.

二.填空题

3

ABC

1. （2018·

重庆（A）·

4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，

FG，得到Ð

AGE=30°

，若AE=EG=2

厘米，则

的边BC的长为 厘米。

【考点】解直角三角形、勾股定理

【解析】过E作EH^AG于H。

AE=EG=2 ,Ð

.

\GA=2AH=2AE×

cos30°

=2´

2

´

3=6.

2

由翻折得BE=AE=2 ,GC=GA=6.

\BC=BE+EG+GC=6+43.

【点评】本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等

2. （2018•湖北黄石•3分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°

、45°

，如果无人机距地面高度CD米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+ ）米．（结果保留根号）

【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°

，∠B=45°

，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100 ，然后计算AD+BD即可．

如图，

∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°

∴∠A=60°

在Rt△ACD，

∴AD==100，

在Rt△BCD，

∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．

答：

A、B两点间的距离为）米．故答案为）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：

解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．

3.（2018·

山东泰安·

3分）如图，在△ABC，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之

x2

间的函数关系式为S= ．

【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．

（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x

∴DE=x，CE=x，

∴BE=10﹣x，

△BED

∴S ×

（10﹣x）•x=﹣x2+3x．

∵DF=BF，

∴S=S = x2 ，

故答案为x2．

【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4（2018·

山东潍坊·

3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°

方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°

方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里

/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）

【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．

如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°

，则AQ=PQ=60×

1.5+BQ=90+BQ（海里），

所以BQ=PQ﹣90．

在直角△BPQ中，∠BPQ=30°

，则PQ（海里），所以PQ，

所以PQ=45（3+）（海里）

所以）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°

，所以）（海里）

所以=（小时）故答案是：

．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

5．（2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°

得到△A'

B'

C，P为线段A′B'

上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC

或

的边相切时，⊙P的半径为 ．

【分析】分两种情形分别求解：

如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，

如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．

设PQ=PA′=r，

∵PQ∥CA′，

∴=，

∴r=．

如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，

∵△A′BT∽△ABC，

∴A′T=，

∴r=A′T=．

综上所述，⊙P或．

【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

6（2018·

湖北省武汉·

3分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°

，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．

【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．

延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，

∵DE平分△ABC的周长，

∴ME=EB，又AD=DB，

∴DE=AM，DE∥AM，

∵∠ACB=60°

∴∠ACM=120°

∵CM=CA，

∴∠ACN=60°

，AN=MN，

∴AN=AC•sin∠ACN=，

∴AM=，

∴DE=，故答案为：

．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．

题号依次顺延三.解答题

1.．（2018•四川凉州•8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围

200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°

方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°

方向上．

（1）MN≈1.732）

（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？

【分析】

（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；

（2）根据题意列方程求解．

（1）理由如下：

如图，过C作CH⊥AB于H．设CH=x，

由已知有∠EAC=45°

，∠FBC=60°

，则∠CAH=45°

，∠CBA=30°

．

在Rt△ACH中，AH=CH=x，在Rt△HBC中，tan∠HBC=

∴ ，

∵AH+HB=AB，

∴x+x=600，

解得x= ≈220（米）＞200（米）．

∴MN不会穿过森林保护区．

（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣5）天．根据题意得：

=（1+25%）×

解得：

y=25．

经检验知：

y=25是原方程的根．答：

原计划完成这项工程需要25天．

【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．

2.（2018•山西•8分）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱

组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.

测量结果如下表.

项目

内容

课题

测量斜拉索顶端到桥面的距离

测量示意图

说明：

两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与

桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内.

测量数据

∠A的度数

∠B的度数

AB的长度

38°

28°

234米

... ...

（1）请帮助该小组根据

上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据sin38°

»

0.6，cos38°

0.8，

tan38°

0.8，sin28°

0.5，cos28°

0.9，tan28°

0.5）；

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.

【考点】三角函数的应用

【解析】

（1）解：

过点C作CD^AB于点D.设CD=x米，在RtDADC中，

∠ADC=90°

，∠A=38°

A

D+BD=AB=234.\

解得x=72.

5

4x+2x=234.

答：

斜拉索顶端点C到AB的距离为72米.

（2）解：

答案不唯一，还需要补充的项目可为：

测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.

3.（2018•山东枣庄•4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°

，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.18 米．（2018•山东枣庄•结果保留两个有效数字）

【参考数据；

sin31°

=0.515，cos31°

=0.857，tan31°

=0.601】

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°

∴BC=AB•sin∠BAC=12×

0.515=6.18（米），答：

大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米．故答案为：

6.18．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．

4（2018•四川成都•8分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的

正南方向的处，求还需航行的距离的长.（参考数据：

，，

，，，）

【答案】解：

由题知：

，，.在中，，，（海里）.

在 中，，， （海里）.答：

还需要航行的距离的长为20.4海里.

【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【分析】根据题意可得出，，，再利用解直角三角形在Rt△ACD和Rt△BCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。

5（2018•山东菏泽•6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°

，B处的俯角为45°

，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？

（结果保留根号）

【考点】TA：

解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可．

∵EC∥AD，

∴∠A=30°

，∠CBD=45°

，CD=200，

∵CD⊥AB于点D．

∴在Rt△ACD，

∴AD= ，

在Rt△BCD中，∠CDB=90°

∴DB=CD=200，

∴AB=AD﹣DB=200﹣200，

A、B两点间的距离为﹣200米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．

6（2018•江西•8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；

图2,两扇活页门的宽,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变（所有结果保留小数点后

一位）.

（1）若,求的长；

（2）当点从点向右运动时，求点在此过程中运动的路径长.参考数据：

sin50°

≈0.77, cos50°

≈0.64, tan50°

≈1.19, π取3.14

O

C

B

图1 图2

【解析】

（1）如图，作OH⊥AB于H

∵OC=OB=60 ∴CH=BH

在Rt△OBH中

∵A

∴BH=OB·

cos50°

≈60×

0.64=38.4

∴AC=AB－2BH≈120－2×

38.4=43.2

∴AC的长约为43.2cm.

O

H

O ★★

（2）∵AC=60 ∴BC=60 ∵OC=OB=60

∴OC=OB=BC=60

∴△OBC是等边三角形

∴OC弧长=

=62.8

∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.

7．（2018·

湖南省常德·

7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°

，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°

，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：

sin37°

≈0.6，cos37°

≈0.8，≈1.4）

【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．

作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，

∴AB=CD=1．

在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°

∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°

∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CM，又∵BE=CM，

∴四边形BEMC为平行四边形，

∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，

∴EM=≈1.4，

∴B与C之间的距离约为1.4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．

8（2018·

湖南省衡阳·

8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°

的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°

方向的雁峰公园B处，如图所示．

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

（1）作CP⊥AB于P，

由题意可得出：

∠A=30°

，AP=2000米，则AC=1000米；

（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°

∴BC=PC=1000米．

∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，

∴他到达宾馆需要的时间为=10 ＜15，

∴他在15分钟内能到达宾馆．

9.（2018·

山东临沂·

7分）如图，有一个三角形的钢架+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．

工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：

过B作BD⊥AC于D，

∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，

∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD=xm，

∵∠A=30°

，∠C=45°

∴DC=BD=xm，AD= BD= xm，

∵AC=2（+1）m，

∴x+x=2（+1），

∴x=2，

即BD=2m＜2.1m，

∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．

【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．

10（2018·

山东青岛·

6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°

，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°

，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．

参考数据：

sin73.7°

≈，cos73.7°

≈，tan73.7°

≈

【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．

作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，

∴ON=MC，OM=NC，

设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°

∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，

在Rt△BOM=x，由题意得，840﹣x+x=500，解得，x=480，

点O到BC的距离为480m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．

11.（2018•甘肃白银，定西，武威）随着中