角平分线辅助线专题练习Word下载.docx
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.BD平分ZABC,zCBD=/DBE,又BD=BD,.二ZCBD丝zEBD（SAS）,
..£
=ZE,CD=DE，又ZBAD+X=180°
ZDAB+ZDAE=180°
•••£
=ZDAE,DE=DA，贝UAD=DC.
证法3是ACBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.
思路二：
利用“角平分线的性质”来构造
由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以
过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.
证法4:
如图4,从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F,/BD平分
zABC,..DE=DF，又ZBAD+zC=180°
ZBAD+ZFAD=180°
zFAD=ZC,ZFAD丝zECD（AAS），贝UAD=DC.
例题4已知：
如图5,在AABC中，ZC=90°
AC=BC,AD平分ZCAB.
AC+CD=AB
证明：
在AB上截取AE=AC,.AD平分ZCAB,z.CAD=ZDAB,AD=AD,
zCAD丝zEAD,..QEA=90,.0=90,AC=BC,..£
=45,
...&
ZBDE=45
.DE=BE,.AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB,即AC+CD=AB.
例题5.已知：
如图6，在RtMBC中，ZC=90。
，沿过B点的一条
直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，
当ZA满足什么条件时，点D恰为AB中点？
写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证
明D为AB中点.
解：
当ZA=30°
时，点D恰为AB的中点...•A=30°
C=90。
（已知），•.•zCBA=60°
（直角三角形两锐角互余）.又ABEC^/BED（已知），•.•zCBE=ZDBE=30°
且EDB=zC=90°
（全等三角形对应角相等），..•QBE=小（等量代换）.・.BE=AE（等角对等边），又ZEDB=90,即ED1AB,D是AB的中点（三线合一）.
角平分线定理使用中的几种辅助线作法
、已知角平分线，构造三角形
例题、如图所示，在^ABC中，ZABC=3ZC,AD是ZBAC的平分线，BE1AD于F。
，、1-
BE"
（AC—AB）
延长BE交AC于点F。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线,
所以AD为ZBAC的对称轴，
又因为BE1AD于F,
所以点B和点F关于AD对称，
所以BE=FE=1BF,AB=AF,ZABF=ZAFB。
2
因为ZABF+ZFBC=zABC=3zC,
ZABF=zAFB=ZFBC+ZC,
所以ZFBC+ZC+ZFBC=3ZC,
所以ZFBC=ZC,所以FB=FC,
所以BE=1FC=1（AC—AF）=-（AC—AB）,
222
…1
所以BE（AC—AB）。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，Z1=/2,P为BN上的一点，并且PD1BC于D,AB+BC=2BD。
ZBAP+ZBCP=180°
。
经过点P作PEAAB于点E。
因为PEJAB,PDJBC,Z1=Z2,
所以PE=PD。
在RtZTBE和RtzPBC中
BP=BP
PE=PD
所以ZPEB=ZPDB=90°
.
在APAE和Rt如CD中
PE=PD
PEB=PDC
AE=DC
所以APAE土t尘CD,
所以ZPCB=ZEAP。
因为ZBAP+ZEAP=180
所以ZBAP+ZBCP=180
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在^ABC中，PB、PC分别是/ABC的外角的平分线，求证：
/1=/2
过点P作PE±
AB于点E,PG±
AC于点G,PF±
BC
所以PE=PF。
同理可证PF=PG。
所以PG=PE,
又PE±
AB,PG±
AC,
所以PA是ZBAC的平分线，
所以/1=/2。
与三角形的角平分线有关的结论的探究
三角形的内角和等于180。
，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。
应用以上
定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。
从结论的探究过程中，希望同学们能
从中得到有益的启示：
在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论，学会探究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。
A
探究一：
在AABC中，ZA,ZB的平分线交于点P,试探究
ZBPC与ZA的关系？
探究：
因为/BPC在ABPC中，由三角形的内角和定理，有：
BPC=180。
-PBCPCB
而由BP,CP分别是ZABC和ZACB的角平分线
」，一1一，_1一
知：
ZPBC=—/ABC，ZPCB=—/ACB
22
01101
所以BPC=180-—ABC-ACB=180-一ABCACB
而在在AABC中，/ABC+/ACB=180°
—NA
01001
所以BPC=1800-―1800-A=900—A
1
故有结论一：
在MBC中，ZA,ZB的平分线交于点P,则有£
BPC=90°
+—£
A。
探究二：
在AABC中，BP是ZABC的平分线，CP是AABC的外角ZACE的平分线,
试探究：
/BPC与ZA的关系?
由CP是AABC的外角ZACE的平分线,
所以有：
ZBPC=ZPCE-ZBPC
—1-1-
所以：
ZPBC=—/ABC,ZPCE=—NACE
—1-1-
所以ZBPC=—NACE--2ABC
11
=-•ACE-.ABC=§
A
故有结论二：
在MBC中，BP是ZABC的平分线，CP是AABC的外角ZACE的平分线,
一1
则有：
£
BPC=—£
探究三：
在AABC中，BP,CP分别是AABC的两
个外角的平分线，
/BPC与匕A的关系？
因为ZBPC在ABPC中，由三角形的内角和定
理，有：
BPC=180°
*PBCPCB
由BP,CP分别是AABC的两个外角的平分线，有:
一11,
ZPBC=—NEBC,ZPCB=—£
BCF22
而ZABC+zCBE=1800,ZACB+ZBCF=1800,
所以ZABC+zCBE+ZACB+ZBCF=3600
所以ZEBC+ZFCB=3600-（ZACB+zABC）=360°
—（180°
—NA）=180°
+ZA111
所以BPC=1800EBCFCB）=18001800AQ900-尹A
故有结论三：
在MBC中，BP,CP分别是AABC的两个外角的平分线，01
则有NBPC=900——NA。
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定
理及其逆定理水平测试
一、选择题
1.下列说法，错误的是（）
A.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等
B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上
C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等
D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部
2.
若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）
在Rt△ABC中，NACB
则图中有多少个角等于60；
B.3个C.4个
4.等腰△ABC两腰AB,AC的垂直平分线交于点O，下列各式不正确的是（）
A.OA±
BCB.OA平分ZBACC.OB=OCD.OA=BC
5.已知△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和^DBC的周长分
别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）
A.24cm和12cmB.16cm和22cmC.20cm和16cmD.22cm和16cm
6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，则ZCBD
的度数为（）
A.60°
B.75°
C.90°
D.95°
7.若^ABC三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形一定为（）
A.等腰三角形，但不一定是等边三角形.B.直角三角形.
C.等腰直角三角形.D.等边三角形.
8.如图，AABC中，AD为ZBAC的平分线，DE1AB,DF1AC,E、F为垂足，在以下结论中：
①AADE丝您DF;
②ABDE^JCDF;
③AABD丝ACD;
④AE=AF;
⑤BE=CF;
⑥BD=CD.其
中正确结论的个数是（）
/：
\
/\
入E
A.1B.2C.3D.4KI\F
BE
DC
的距离分别是（
9.已知P点在』AOB的平分线上，/AOB=60’，OP=10cm,那么P点到边OA,OB
）
B.4cm,5cmC.5cm,5cmD.5cm,10cm
10.如图，MBC中，ZC=90o,BD平分ZABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线,
DE=-BD,
且DE=1.5cm，则AC等于（）
A.3cmB.7.5cmC.6cmD.4.5cm
二、填空题
1.已知线段AB和它外一点P,若PA=PB,则点P在AB的
;
若点P在AB
2.如图，AABC中，EF是AB的垂直平分线交于D,BF=12,CF=3,则
AC=
3.如图，£
ABC=50‘，AD垂直平分线段BC于点D,"
BC的平分线BE交AD于点
4.如图所示，在^ABC中，2C=90，,DE是AB的垂直平分线，AB=2AC,
5.在锐角三角形ABC中，£
A=60，,AB,AC两边的垂直平分线相交于点O，则ZBOC
的度数是.
6.△ABC中，NC=90,AD平分4BAC,交BC于D,若DC=7，贝UD到AB的距离是.
7.AABC的三边长分别为3cm、4cm、5cm，若O为乙ABC三内角平分线交点，则点。
到
斜边AB的距离等"
9.如图，BD是ZABC的平分线，DE±
AB于E,SAABc=36m2,AB=18cm,
BC=12cm，则DE的长是
10.如图，△ABC中，』C=90‘，AC=BC,AD平分2BAC交BC于D,DE±
AB
于E,且AB=10cm，则△DEB的周长是
三、解答题
1.如图所示，直线OA,OB表示两条相互交叉的公路.点M,N表示两个蔬菜基地.现
OA,OB的距离相
要建立一个蔬菜批发市场，要求它到两个基地的距离相等，并且到公路等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方?
2.如图△ABC中，BA=BC,NB=120‘，AB的垂直平分线交AC于D,求证:
1-
AD=—DC.
分别过M、N作OA,OB的垂线，交点为P,画射线OP,则这条射线即为角平分线.请解释
这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理.
4.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE±
AB,DF±
AC,垂足分别是E,F.
AD垂直平分EF.
四、探索题
1.如图，在^ABC中，NA=90《，AB=AC,BD是£
ABC的平分线，请你猜想图中哪
两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的
2.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,NBAC=120°
（1）请你作出两腰的垂直平分线.
（2）若AB边的垂直平分线与AB,BC分别交于点D,E,AC边上的垂直平分线与AC,
BC分别相交于点G,F,则△AEF是什么形状？
你能证明吗?
（3）连结DG,DG与BC有什么关系？
（4）
若DG=5cm，试求△AEF的周长.
答案:
一、1D;
2C;
3D;
4D;
5D;
6C;
7D;
8B;
9C;
10D.
二、1.垂直平分线上；
垂直平分线上；
2.15;
3.115°
4.12cm;
5.120;
6.7;
7.1cm;
8.26；
9.12cm；
10.10cm.5
三、1.解：
分别作ZAOB的平分线OC和线段MN的垂直平分线DE,则射线OC与直线
DE的交点P即为批发市场应建的地方.
2.证明：
连接BD•AB的垂直平分线交AC于D,二DA=DB
又BA=BC,2B=120L二NA=NC=30（：
•••NA=NABD=30,NDBC=90
，工―1一_1__
Rt△DBC中，有BD=—DC，二AD=—DC.
3.解：
.OM=ON,OP=OP,Rt8MP土19NP（HL）,JMOP=ZNOP,.•射线OP是ZAOB
的平分线.
4.证明：
AD是△ABC的角平分线，
DE±
AB,DF±
AC,
DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）.
DEF=』DFE（等角对等边）.
.•£
AED=NAFD=90’（垂直定义）,
NAEF=2AFE（等角的余角相等）.
•.•AE=AF（等角对等边）
A,D在EF的中垂线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上）.
即AD是EF的中垂线.
B
四、1.解：
猜想结论：
AB+AD=BC,过D作DE±
BC于E.\\
..BD平分2ABC,/A=90‘，...AD=DE.\\
八八\X
ABD^AEBD,二AB=BE.、/
.AB=AC,二NC=45,，二DE=EC.
AD=EC,AB+AD=BC.
2.解：
（1）如图所示.
（2）△AEF是等边三角形.
..AB=AC,£
BAC=120，,二NB=NC=30‘.
..DE垂直平分线AB,二EB=EA,
•./BAE=/B=30,/AEF=60.
同理可证£
AFE=60.AEF是等边三角形.
…~-一1
（3）因为点D、G分别是AB、AC的中点，所以DG是中位线，贝UDG=—BC.
（4）.•AE=BE,AF=FC,..△AEF的周长为：
AE+EF+AF=BE+EF+FC=BC.
又..BC=2DG=10cm...△AEF的周长为10cm.
选做题
1.△ABC中，NB=22.5,£
C=60,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于F,
BD=6石，AE±
BC于E,求EC的长.
连结AD.
DF是AB的垂直平分线,
AD=BD=6J2（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
...•1=/B=22.5'
（等边对等角）
2"
1B=45’.
又..AE±
BC,
•••N3=90‘—N2=90’—45口=45’,「•N2=N3
AE=DE（等角对等边）
DE2+AE2=AD2（勾股定理）
2AE2=（6龙）2,AE=6.
在RtAACE中，NC=60,二N4=30
AC=2CE（30所对的直角边等于斜边的一半）
AC2—EC2=AE2（勾股定理）
（2CE）2-CE2=AE2,二3CE2=AE2,
•••CE2=12,CE=2&
.
2.如图，/A=90:
AD//BC,P是AB的中点，PD平分ZADC.
CP平分ZDCB.
DC,垂足于E,
Z3=Z4=ZA=90°
.•PD平分ZADC,/1=/2,
PA=PE,
P为AB的中点，
PA=PB,PE=PB,
AD//BC,/A=90"
•••P点在/DCB的平分线上.
•••CP平分ZDCB.
3.CE,BF分别是锐角三角形ABC的2ACB,2ABC的平分线，AF_LBF于F,
提示：
由于BF是角平分线，且
AE_LCE于E,试说明：
（1）EF//BC；
（2）EF=；
（AB+AC—BC）.
AF_LBF，所以延长AF交BC于N，则有△ABN是等
腰三角形，从而F是AN的中点，且AB=BN，同理E是AM的中点，且AC=CM,所以EF//BC,且EF=；
（BN+CM—CB）=1（AB十AC—BC）.
备用题
1.如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（）C
A,是三条边中垂线的交点
B.是三角形三条边的中线的交点
C.是三角形三个内角平分线的交点
D.是三角形三条边上的高的交点
如图，AABC中，ZCAB=120o,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,则ZEAF等于
（）C
A.40oB.50oC.60oD.80o
3.如果△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A，与BC相交于点D，且AB=2AD，则
△ABC中必有一个内角的度数为（）D
A.45B.60C.90D.120
4.如图，RtAACB,NC=90LAD平分ZCAB,DE±
AB于E,则下列结论中不正
确的是（）B
A.BD+ED=BC
B.DE平分ZADB
C.AD平分NEDC
D.ED十ACaAD
5.等腰三角形内有一点P到底边的两端点距离相等，则连结顶点和P的直线一定把底
5.如图，在Rt△ABC中，£
B=90‘，ED垂直平分AC交AC于点D,交BC于点E,
设/EAB=2x，贝UZBAC=5x,二NC=/EAC=3x.
而/C+/BAC=90’，..5x+3x=90*,x=11.25*,二』C=33.7*.
6.如图所示，AD是ZBAC的平分线，DE±
AB于E,DF±
AC于F,且BD=CD.
BE=CF.
AD是/BAC的平分线，DE±
AC
DE=DF.（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
又.•BD=CD,二Rt△DBE丝Rt△DCF（HL）
•••BE=CF.
7.如图，已知在△ABC中，£
C=90，，点D是斜边AB的中点，AB=2BC,DE_LAB
交AC于E.
BE平分/ABC.
、…—1_
vD是AB的中点，二BD=—AB,
1…
AB=2BC,--BC=—AB,--BD=BC.
又..DE_LAB,EC=90《，二NC=2BDE=90"
又BE=BE,二Rt△BDERtABCE（HL）,
NDBE=NEBC,BE平分NABC.
角平分线性质定理之应用
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用.那么如何利用三角形的角平分线解题呢？
下面举例说明.
一、由角平分线的性质联想两线段相等
例1如图1,AB>
AC,ZA的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE1AB,
DFJAC,垂足分另U为E,F.求证：
BE=CF.
证明连结DB,DC.
•.D在ZA的平分线上，DE=DF.B:
―I
•.D在BC的垂直平分线上，BD=DC.
又ZBED=ZCFD=90°
.Rt^BDE尖18DF,.-.BE=CF.
、由角平分线的轴对称性构造全等三角形
例2如图2,BC>
AB,BD平分ZABC，且AD=DC
ZA+ZC=180
证明延长BA至F
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