质点运动学典型例题.docx
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质点运动学典型例题
求解风吹气球时气球的运动情况
Vxby增大,其
气球以速率V。
从地面上升,由于风的影响,气球的水平速度按
x轴取水平向右的方向。
试计算:
中b是正的常量,y是从地面算起的高度,气球的运动学方程;
气球水平飘移的距离与高度的关系;
气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。
解:
(1)取平面直角坐标系x0y,一,令t=0时气球位于坐标原点面),
如图
(地
Pl
已知
Vy
Vo,Vxby.
Vot.
图—
(1)
而dxu
而bydt
bV0t,dx
bV0tdt,
对上式积分,
x
dx
o
t
obVotdt,得到
bVot2
x
故气球的运动学方程为:
rbVot2iVotj
2
⑵由
(1)和
(2)式消去t,得到气球的轨道方程,即气球的水平飘移距离与高度的关系
b2
2Voy.
(3)气球的运动速率
VV:
V:
b2Vo2t2Vo2,b2y2V。
2
气球的切向加速度
dVb2Votb2Voy
而由an.a2a2和a2
22
axay
dVx2
dVy2
b2Vo2,可得
bVo2
■b2y2Vo2
由an
V2
,求得
亡(b2y2V°2)3/2
a?
bVo2
小船船头恒指向某固定点的过河情况
一条笔直的河流宽度为d,河水以恒定速度u流动,小船从河岸的A点出发,为了到达对岸的O点,相对于河水以恒定的速率V(V>u)运动,不论小船驶向何处,它的运动
方向总是指向O点,如图一,已知AOr0,AOP0,试求:
小船的运动轨迹。
若O点刚好在A点的对面(即AOd),结果又如何?
解:
选定极坐标系,原点为0点,极轴为0P。
在任一时刻t,小船的位置为(r,),
小船速度的径向分量和横向分量
Vrg
dt
两式相除,
dr一dt
dr
dt
分离变量,
ucos
d
rusin
dt
得到
drdr
usin
V
ucos
drVucos
usin
usin
ctg
)d,
积分后,
得到
rdr
r0r
(丄
0usin
ctg
)d
In—
ro
V(inu
tan—
2
Intan
扌)
(Insin0Insin)
ln[[
tg
厶]V/u
0
2
tg
sin
(—
sin
0)],
(J
sin
ro
tg[2]V/u
0
tg-
2
这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。
若0点刚好在A点的对面,贝Ur0d,0
代入,得
求解小环对地的运动情况
一细杆绕端点O在平面内匀角速旋转,角速度为,杆上一小环(可看作质点)相
对杆作匀速运动,速度为u.设t0时小环位于杆的端点O,求:
小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。
解:
本题采用极坐标系较为方便。
取
t=0时细杆的位置为极轴,此时小环位于端点
O.任意时刻t,小环的位置rut,t.
这就是小环在极坐标系中的运动学方
程。
消去t,便得小环的轨迹方程:
u
r,
式中u为常量,r与成正比,小环的轨迹为阿基米德螺线,如图一。
在任意时刻,小环的径向速度
dr
M尿U,
横向速度Vrdrut,
dt
速度的大小VV;—V2u2
图一
(厂)2u、12t2.
速度的方向指向阿基米德线的切线方向。
小环的径向速度的大小不变,横向速度随r
的增大而增大。
任意时刻,小环的加速度
adV%r0「0),
dtdt
r0和0为径向和横向的单位矢量,则
dr0
u-
dt
dro
dt
dt
dou
dt
20
rr
dr
dt
dorrdt
2u
既径向加速度ar2u2t;
横向加速度a2u
加速度的大小为
/~22匚2丄2
aaau.4t
尽管质点的径向速度大小不变,但径向加速度并不为零,这是横向速度方向的变化引起的。
即使u=0,小环停在半径上某一位置处,这一项还是有的,这就是向心加速度。
横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的,另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的,因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。
求解烟对船的速度
当蒸汽船以15km/h的速度向正北方向航行时,船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。
过一会儿,船以24km/h的速度向正东方向航行,船上的人则观察到烟
飘向正西北方向。
若在这两次航行期间,风速的大小和方向都不变,求:
(2)
风速。
(烟对地的速度即风对地的速度。
)
解:
设风速为V,则人观察到烟的飘向速度为
V烟船V冯地V船地
由图一所示,可知
Vsin15
(1)
24V
sin(135°)sin45°
由
(2),得到
24cossin
V
将
(1)代入上式,得到
248sincossin
15/sin5
5cos5sin8sin,得到
5佃,59°
即风来自西偏南59°,风速大小为h.
运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间
一架飞机由A处向北飞往B处,然后又向南飞回A处。
已知A、B相距为L,飞机相对于空气的速度为V,而空气相对于地面的速度(即风速)为u,其方向为北偏西角,求:
飞机往返一次的飞行时间。
图一
割亂(D)
图二
V机对地V机对气V气对地,
为了使飞机相对于地面的速度V的方向指向正北。
飞机相对于空气的速度V必须北
偏东角,如图一所示。
由上面的矢量式,得到
VxVsinusin0
VyVcosucos
消去,得到
VyV2u2sin2ucos
所以往程所需时间为t1—
Vy
当飞机由B返回A时,V、u、V
三者的关系如图二所示。
同样可得,
VxVsinusin0,
VyVcosucos
消去,得到VyV2u2sin2ucos
所以返程所需时间为
t2
L
Vy
则所求时间可求。
运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力
在桌上有质量为mj=1kg的板,板与桌面之间的摩擦因数u1.板上有放有质量
m2=2kg的物体,板与物体之间的摩擦因数20.25,如图一。
今以水平力卩=将板从物
体下抽出。
问:
板与物体的加速度各为多少?
解:
当用力F拉动木板时,板上物体的运动有两种可能性,一是物体相对于板为静止,另一是物体的加速度小于板的加速度,即物体的运动滞后于板的运动,板将从物体下抽出。
现分两种情况分别讨论。
(1)物体的运动滞后于板的运动的情况
物体和板的受力情况如图二所示。
注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦
力均为滑动摩擦力。
设板的加速度为a1,物体的加速度为a2。
列出板和物体的运动
方程:
对板:
Ff1f2m1a1,
NiN2mg0,
f2m2a2,N2m2g0.
又因为
f11N1,f22N2
联立方程组,得
F2m2g1(mhm
(2)g
a1,a22g.
m1
代入数值,得a10,a20.25g2.45m/S2
在本题的条件下,a2a1,这显然是不合理的。
(2)物体与板相对静止,物体与板一起运动的情况
物体与板的受力图如图三所示。
这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力,而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。
板与物体的加速度相同,设为a,
列出板与物体的运动方程:
Ff1f2m1a,
N1N20,
f2m2a,N2m2g0,
又因为f11N1.
联立解方程,得到
Fi(mim
(2)g
a,
m1m2
占Fi(mim2)g
f2m2---,
mim2
代入数值,得到
a1.63m/S2,f23.26N.
所求得的静摩擦力f2小于最大静摩擦力(fmzx2N24.9N),所以是可能实现
的。
由第一种情况的讨论可知,只有a-a2才能将板从物体下抽出,根据以上计算结果,可得
F2m)2gi(m-m
(2)g
-----2g,
m1
或者F(-2)(m-m2)g.
代入数值,得到
F〉2.25g22.5N.
飞车走壁
一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
设演员和摩托车的总质量为M直壁半径为R演员骑摩托车在直壁上以速率V做匀速圆周螺旋运动,每绕一周上升的距离为h,如图一所示,求:
直壁对演员和摩托车的作用力。
解:
演员受到两个力的作用。
一是重力G,另一个是
直壁的作用力N.把N分解为沿直壁向上的N1和指向圆周运动中心的N2,如图二所示。
同样,把演员的速度V分
解为竖直向上的V1和绕筒壁做圆周运动的水平速度V2,
于是
NiMg,
N2
Man
展开螺旋面成斜面,如图三所示,V沿斜面向上。
且有
VVcos
2R
i122
.(2R)2h2
代入,得到
N2
MV2
42R
42R2h2
故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为
方向与壁成角
N2
arctg
42RV2
(42R2h2)g
求解小船转向的情况
一质量为M的机动船,在进入河道弯道前Q点处关闭发动机,以速度V0在静水中行
驶,设水的阻力与船速成正比。
(1)若Q点至弯道处P点的距离为L0,求船行至P点时的速度;
(2)若船行至P点时开动发动机,给船以F0的转向力,F0与速度方向的夹角为
,如图一所示,求:
小船
船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。
kV,k为比例系数,负号
解:
(1)在PQ的河流直道行驶中,船仅受水的阻力,表示与速度的方向相反。
有牛顿运动定律,得到
kV
dV
m—
dt
kV
dVdsm—dsdt
ds
分离变量,积分
kds
Vp
Vo
dV
得到,船行至
P点的速度大小VP
Vo—Lo.
m
方向沿弯道P点的切线方向。
在P点,
船除了受到阻力
kVp外,
还受到转向力的作用,这样船在
P点的加
速度aP
kVp
Fo
此时其切向加速度
kVp
Fo
cosm
Fo
cosm
kVo
k2Lo
法向加速度a
Dsin.
m
P点的曲率半径
V2
m(Vo
*L。
)2
m
an
Fsin