数学立体几何103直线与平面的位置关系Word文件下载.docx

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教学重点

直线和平面平行的判定和性质

直线和平面垂直的判定和性质

三垂线定理及其逆定理

教学难点

直线和平面平行、垂直的有关结论

三垂线定理的应用

更新、补充、删节内容

使用教具

课外作业

课后体会

教案授课教师：

郑理

章节内容

第十章立体几何初步

10.3直线与平面的的位置关系

复习引入：

新授：

1.直线和平面的位置关系

我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考察AB所在的直线，它在面ABCD上；

与面BCC1B1有一个公共点B；

与面DCC1D1没有公共点．这个实例告诉我们：

空间直线l与平面的位置关系只有三种：

（1）l与有无数个公共点——直线l在平面内；

（2）l与没有公共点——直线l平行于平面；

（3）l与只有一个公共点——直线l与平面相交．

图5-39表示了这三种位置关系．

课内练习1

1.举出直线和平面的三种位置关系的实例．

2.回答下列问题：

（1）能否说直线l与平面有两个交点A、B?

（2）如果直线l在平面外，l是否一定与平行？

（3）如图，因为l与没有交点，是否能说l∥?

（4）如果直线l不平行于平面，l必与相交吗？

2.直线和平面平行

（1）直线和平面平行的判定

要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行．

我们看图5-40

（1），这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a、b．把墙面视为一个平面，当门关着时，直线a、b同在平面上，

且a∥b．开门时，a离开了平面，但仍保持与b平行，而且a与平面也是平行的（如图5-40

（2））．

这就给出了一个判定直线与平面平行的方法：

如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

如图5-41中所示，如果a∥b，b，则a∥。

根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了．

画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四边形外面，并且如图5-41那样，与平行四边形的一组对边平行或与平行四边形内的一条线段平行．

在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否相等；

往墙上贴一条横幅时，检查横幅的上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行，使用的原理正是这个判定方法．

为便于记忆，这个方法可简记为：

“若线线平行，则线面平行”．

例1如图5-42，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证EF∥平面BCD．

证明在ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以

EF∥BD．

又因为EF平面BCD，BD平面BCD，

所以EF∥平面BCD．

课内练习2

1.在平面上有直线b，与平面外直线a不平行，能否说a与必定不平行？

为什么？

2.设平面与平面外的直线a平行，证明a与内的任意直线都不相交．

（2）直线和平面平行的性质

现在把图5-40

（2）墙面、门分别看作为平面、，门边缘b是、的交线，a∥b．这表明，当直线a和平面平行时，过a的平面与平面的交线必与a平行．我们可以得到直线和平面平行的性质：

如果直线a和平面平行，经过a的平面若与相交，

则交线必定平行于a．

如图5-43，若a∥，a，=b，则a∥b．

这个性质可简记为：

“若线面平行，则线线平行”．

例2如图5-44所示的木块，BC∥平面A1C1，木工师傅要过点P和BC截去一个斜角，应该怎样划线？

解因为BC∥平面A1C1，B1C1是平面BC1与平面A1C1的交线，所以BC∥B1C1；

过P作B1C1的平行线EF，则

EF∥B1C1∥BC，

所以EF、BC共面．连结EB和FC，所得的四边形EFCB必定在同一平面上，所以沿此四边形画线即可．

课内练习3

1.一块木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？

2.判断下面的说法是否正确：

（1）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；

　　　　　　　　　　（　）

（2）过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行；

　　　　　　　　（　）

（3）如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面内的任何直线平行；

　（　）

（4）平行于同一平面的两条直线互相平行．　　　　　　　　　　　　　（　）

3.设a是平面外的一条直线，a∥，证明在上有无数条直线与a平行．

4.已知：

长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：

（1）BC||面A1ADD1；

（2）BC1||面A1ADD1；

（3）C1D||面ACB1．

5.如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行，试证另一

条直线和这个平面平行．

3.直线和平面垂直

直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交．

我们先来研究前一种情况．

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l垂直于平面，记作

l⊥，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，交点叫做垂足．

画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直（如图5-45）．

（1）直线与平面垂直的判定

按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．

如图5-46，l≠，m，n，mn={O}，若lm，ln，那么l．

有了这个方法，要判定一条直线l是否垂直于一个平面，只要在内去找到两条相交直线与l垂直就行了．这也是人们在日常生活中用来判定直线与平面垂直的方法．例如树立旗杆时，只要从不在一条直线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就能确定旗杆是否与地面垂直了．

例3如图5-47，有一旗杆AB，从它的顶端A挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C、D、E三点处，其中C、B、E在一条直线上，若测得BC=BD=BE，证明旗杆和地面垂直．

证明因为ΔABC,ΔABD,ΔABE的三边对应相等，所以

ΔABCΔABDΔABE，

所以∠ABC=∠ABD=∠ABE；

又因为C、B、E在一条直线上，所以∠ABC=∠ABE=90；

所以∠ABD=90．即

ABBC，ABBD．

又知B、C、D有三点不共线，所以AB平面BCD，即旗杆和地面垂直．

课内练习4

1.回答下列问题：

（1）直线l垂直于平面内的一条直线m，是否能说l？

（2）直线l垂直于平面内的两条直线m,n，是否能说l？

（3）直线l垂直于平面内的无数条直线，是否能说l？

（4）一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三边垂直？

（5）三条直线相交于同一点，且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面？

2.已知直线a∥平面，直线b，求证ab．

3.如图，有一旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的一端先后放在地面上和B点不在同一条直线的两点C,D上．如果这两点和B点的距离都是6m，求证旗杆和地面垂直．

（2）直线和平面垂直的性质

当直线与平面垂直时，有如下的性质：

如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行．

如图5-48中，m，n，那么m∥n．这也是判定两条直线平行的另一个方法．

（3）点到平面的距离

设P是平面外的一点，过点P向作垂线，垂足为O，线段PO的长就是点P到的距离，O也叫做点P在平面内的正射影（简称射影）（如图5-49）．

例4如图5-50，已知旗杆AB垂直于水平地面，从旗杆顶拉一条绳子下来，拉紧后在地面上点C,D处量得BC=BD=6m，且BCBD；

若已知∠CAD=30，求旗杆的高度．

解因为BCBD，所以

CD=

在等腰ACD中，

CD2=AC2+AD2-2ACADcos∠CAD=（2-

）AC2，

解得AC2=

．

在RtABC中，

AB2=AC2-BC2=

-36=108+72

AB=

15.25m．

所以旗杆高约15.25m．

课内练习5

1.判断题

（1）若直线l平面，直线l1不平行于l，则l1不垂直于（）

（2）若直线l∥平面，直线l1垂直于l，则l1垂直于（）

（3）若直线l∥平面，直线l1不垂直于l，则l1不垂直于（）

（4）若直线l,l1平行，由它们确定的平面为，若直线ml，则m　（）

（5）若直线l,l1平行，由它们确定的平面为，若直线m不垂直于l，则m也不垂直于　（）

（6）过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直（）

2．如图，在例4中，若旗杆立在平台顶上，无法得到垂足B，

但已知绳子长度为16m，量得CD=8.5m，且BCBD，

请计算旗杆顶离地面的距离．

4.直线和平面所成的角

如果直线l与平面相交而不垂直，就称直线与平面斜交．

直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足．

我们看图5-51，直线l1、l2与平面都斜交，但斜交的角度不同．

应该怎样来度量这个角度呢？

现在来讨论这个问题．

设斜线l与平面交于A点，点P在l上，P在上的射影为Q；

直线AQ叫做斜线l在平面上的正射影（简称射影）（图5-52）．

可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角（图5-52中的）是l与内所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫做l与所成的角，即：

斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角．

若一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；

若一条直线与一个平面所成的角是0角，我们就说这条直线和平面平行或在平面内．

例5如图5-53，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长分别为AB=1，AD=

，AA1=3，求对角线AC1与底面ABCD的夹角．

解因为CC1底面ABCD，所以C1AC就是对角线AC1与底面ABCD之间的夹角．因为

AC=

=

=

，

CC1=AA1=3，

所以tanC1AC=

所以C1AC=60，

即对角线AC1与底面ABCD的夹角为60．

课内练习6

1.过平面外一点P，可以作多少条与夹角为已知角0的斜线？

你能说出这些斜线的斜足在平面内的轨迹是什么吗？

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：

（1）A1C1与正方体各面所成的角的大小；

（2）D1B与面A1ADD1所成角的正切值．

作业：