高一数学集合与函数知识点总结Word文件下载.doc

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Q

实数集：

R空集：

Φ

二、集合间的基本关系——子集与真子集

1、自反性——任何一个集合都是它本身的子集：

A⊆A。

2、如果A⊆B且A≠B，则，A是B的真子集。

3、传递性：

如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C。

4、如果A⊆B且B⊆A，则A=B。

5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

6、有n个元素的集合，有2n个子集，有2n-1个真子集。

三、集合间的运算

运算

类型

交集

并集

补集

定

义

由所有属于集合A且属于集

合B的元素组成的集合称为

A和B的交集（A∩B）。

即A∩B={x∣x∈A且x∈B}

由所有属于集合A或属于集

A和B的并集（A∪B）。

即A∪B={x∣x∈A或x∈B}

设S是一个集合，A是S的一个子

集，由S中不属于A的元素组成的

集合称为S中A的补集（CSA）。

即CSA={x∣x∈S且xA}

图

示

性质

A∩A=A

A∩Φ=Φ

A∩B=B∩A

A∩B⊆A

A∩B⊆B

A∪A=A

A∪Φ=A

A∪B=B∪A

A⊆A∪B

B⊆A∪B

CSA∩CSB=CS（A∪B）

CSA∪CSB=CS（A∩B）

A∪CSA=S

A∩CSA=Φ

四、函数的相关概念

1、函数：

设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f（x）∣x∈A}叫做函数的值域。

★2、函数定义域的解题思路：

⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。

⑵偶次方根的被开方数不小于0。

⑶对数式的真数必须大于0。

⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸指数为0时，底数不得为0。

⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数

⑴表达式相同：

与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法

⑴观察法：

适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵图像法：

适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶配方法：

主要用于二次函数，配方成y=（x-a）2+b的形式。

⑷代换法：

主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换

⑴平移变换：

在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵伸缩变换：

在x前加上系数。

⑶对称变换：

高中阶段不作要求。

6、映射：

设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

7、分段函数

⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。

⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

8、复合函数：

如果（u∈M），u=g（x）（x∈A）,则，y=f[g（x）]=F（x）（x∈A），称为f、g的复合函数。

★五、函数的性质

1、函数的局部性质——单调性

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么y=f（x）在区间D上是增函数，D是函数y=f（x）的单调递增区间；

当x1<

x2时，都有f（x1）>

f（x2），那么那么y=f（x）在区间D上是减函数，D是函数y=f（x）的单调递减区间。

⑴函数区间单调性的判断思路

ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1<

x2。

ⅱ做差值f（x1）-f（x2），并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。

ⅲ判断变形后的表达式f（x1）-f（x2）的符号，指出单调性。

⑵复合函数的单调性

复合函数y=f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律为“同增异减”；

多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。

⑶注意事项

函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为f（x）的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。

2、函数的整体性质——奇偶性

对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（-x），则f（x）就为偶函数；

对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（x）=-f（x），则f（x）就为奇函数。

⑴奇函数和偶函数的性质

ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。

ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

⑵函数奇偶性判断思路

ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。

ⅱ确定f（x）和f（-x）的关系：

若f（x）-f（-x）=0，或f（x）/f（-x）=1，则函数为偶函数；

若f（x）+f（-x）=0，或f（x）/f（-x）=-1，则函数为奇函数。

3、函数的最值问题

⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=（x-a）2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。

⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。

⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。

ⅱ若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>

0时，顶点为最小值，a<

0时顶点为最大值；

后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>

0时的最大值或a<

0时的最小值。

ⅲ若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性

若函数在[a，b]上递增，则最小值为f（a），最大值为f（b）；

若函数在[a，b]上递减，则最小值为f（b），最大值为f（a）。

六、指数和对数

1、指数的性质

⑴根式：

如果xn=a，则x叫做a的n次方根，记作（n>

1，n∈N+）

ⅰ负数没有偶次方根。

ⅱ0的任何次方根都是0。

ⅲ当n为奇数时=a，当n是偶数时=∣a∣

⑵分数指数幂=（a>

0，m、n∈N+，n>

1）

负指数幂=（a>

0的正分数指数幂为0,0的负指数幂没有意义。

⑶实数指数幂的运算性质

ar•as=ar+s（a>

0，r、s∈R）

（ar）s=ar•s（a>

（ab）r=ar•br（a、b>

0，r∈R）

2、对数的性质

⑴对数：

如果ax=N（a>

0，a≠1），那么，x叫做以a为底N的对数，记住：

logaN=x，其中a为底数，N为真数。

ⅰ注意底数a的取值范围：

a>

0且a≠1。

ⅱ常数对数：

以10为底的对数lgN；

自然对数：

以e=2.71828…为底的对数lnN。

⑵对数的运算性质：

如果a>

0且a≠1，M>

0，N>

loga（M•N）=logaM+logaN

loga=logaM–logaN

logaMn=nlogaM（N∈R）

⑶对数的换底公式logab=logcb/logca（a>

0且a≠1,c>

0且c≠1，b>

0）

则=

logab=1/logba

七、基本初等函数

1、指数函数：

函数y=ax（a>

0且a≠1）叫做指数函数

a的取值

1

0<

a<

像

定义域

x∈R

值域

y∈（0，+∞）

单调性

全定义域单调递增

全定义域单调递减

奇偶性

非奇非偶函数

过定点

（0,1）

注意：

⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为：

a>

1时，最小值f（a），最大值f（b）；

1时，最小值f（b），最大值f（a）。

⑵对于任意指数函数y=ax（a>

0且a≠1），都有f

（1）=a。

2、对数函数：

函数y=logax（a>

0且a≠1）），叫做对数函数

图像

x∈（0，+∞）

y∈R

全定义域单调递

（1,0）

3、幂函数：

函数y=xa（a∈R），高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。

⑴所有幂函数都在（0，+∞）区间内有定义，而且过定点（1,1）。

⑵a>

0时，幂函数图像过原点，且在（0，+∞）区间为增函数，a越大，图像坡度越大。

⑶a<

0时，幂函数在（0，+∞）区间为减函数。

当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴；

当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。

幂函数总图见下页。

4、反函数：

将原函数y=f（x）的x和y互换即得其反函数x=f-1（y）。

反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。

幂函数总图

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