高考必备：文科立体几何共点、共线、共面、异面问题文档格式.doc

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是平面与平面的公共点．

又平面．

平面．

也是平面与平面的公共点．

是平面与平面的交线．为与截面的交点，

平面平面，即也是两平面的公共点．

，即三点共线．

2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：

E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．

分析：

先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．

证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β．

又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

点 

评：

在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

二、共点问题

证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．

1.如图2，已知空间四边形分别是

的中点，分别是上的点，

且，求证：

相交于同一点．

错解：

、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,

又, GH∥BD,GH=BD,

四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,

F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点

正解：

分别是的中点，

，且．又，

，且． ，且．

四边形是梯形，其两腰必相交，设两腰相交于一点，

平面平面，平面平面，

又平面平面．

故相交于同一点．

2.如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：

AB，CD，共点（相交于一点）．

AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．

∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴AB，CD必定相交于一点，

设AB∩CD＝M．

又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．

∴M∈α∩β．

又∵α∩β＝，∴M∈， 

即AB，CD，共点．

证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．

三、共面问题

证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：

①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；

②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．

1.如图3，设分别为正方体

的棱的中点，

求证：

共面．

如图3，连结．分别为的中点，．

． 分别为的中点，．

四边形为平行四边形． ．．

因此，直线可确定一个平面．

同理，由可知，直线确定一个平面．

过两条相交直线有且只有一个平面，与重合，即．

同理可证． 因此，共面．

2.已知：

a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：

a，b，c，d共面．

弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：

四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；

两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．

证明1º

若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 

A 

∴直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，

∴aα．

同理可证bα，cα．

∴a，b，c，d在同一平面α内．

2º

当四条直线中任何三条都不共点时，如图．

∵这四条直线两两相交，

则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，

则H，K∈α．

又∵H，K∈c，∴cα．

同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：

首先由题给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证明其余的线（或点）均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

四、证明异面直线

1．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；

F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合．

EF和DH是异面直线．

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