热统习题解答(全)文档格式.doc
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由于
所以
（2）
将
（2）式代入
（1）式，并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式，得
（3）
（b）当金属丝两端固定时，dL＝0，由（3）式得
当温度由T1降至T2时，积分上式得
（4）
1.5一理想弹性物质的物态方程为，其中L是长度，L0是张力F为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常数。
试证明：
（a）
等温杨氏模量为
.
（b）
在张力为零时，
线膨胀系数
其中
（c）上述物态方程适用于橡皮带，设1
2
10
33
.
1
300
-
´
=
K
N
b
T
，试计算当分别为0.5，1.0，1.5和2.0时的F,Y,对的曲线。
（a）由弹性物质得物态方程，可得
（1）
将上式代入等温杨氏模量的定义式
（2）
当F＝0时，L＝L0，由
（2）式得
（3）
（b）在F不变下，将物态方程对T求导，得
由上式解出,可得
其中
1.61mol理想气体，在27oC的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，求气体所作的功和所吸收取的热量。
（a）在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为
因为故有
（b）理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得
1.7在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为
如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn,求外界所作的功。
写出
则dV=（b+2cp）dp=
所要求的功
1.8承前1.5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为试计算外界所作的功。
外界对弹性体作的元功表达式为
（1）
将物态方程代入上式，得
（2）
注意到在等温过程中L0不变，当弹性体在等温过程中长度由L0压缩为L0/2时，外界所作的功为
1.9在0oC和1pn下，空气的密度为1.29.空气的定压比热容今有27m3的空气，试计算：
（i）若维持体积不变，将空气由0oC加热至20oC所需的热量。
（ii）若维持压强不变，将空气由0oC加热至20oC所需的热量。
（iii）若容器有裂缝，外界压强为1pn,使空气由0oC缓慢地加热至20oC所需的热量。
1cal=4.2J所以
（i）这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，
27m3的空气，其质量可由它的密度算得：
考虑到热容量为常数，使温度由0oC升至20oC所需得热量
即得
（ii）在定压加热过程中，
（iii）因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内的压力保持1pn.本问题，空气的质量是改变的。
在保持压力p和容积V不变的条件下加热时，在温度T下的质量M（T）可由物态方程确定之。
设T1时，容器内的空气质量之为M1,则由
算得,所以
将T1=273K,T2=293K,M1Cp=代入
（1）式，即得
1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。
当压强达到外界压强时将活门关上。
小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为，其中V0是它原来在大气中的体积。
若气体是理想气体，求它的温度与体积。
（a）求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。
为此，可以设想：
使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。
假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那一部分空气的量。
这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一部分空气（为了方便，设恰为1mol空气），就是我们所讨论的热力学系统。
系统的初态（）和终态如图所示：
P0
…………
………….
..………..………..……….
……………
初态（V0,T0,p0;
U0）
终态（V,T,p;
U）
当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。
根据热力学第一定律，在此绝热过程中，有
积分之，
（1）
（b）由
即
从上式，得
（2）
（c）由于初态和终态的压力相等，故有
从以上两式，得到（3）
由
（2）式知，（3）式可化为
（4）
1.11满足的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
理想气体在多方过程中的热容量Cn为
根据热力学第一定律，有
（1）
利用理想气体的物态方程，可将化为
将上式微分，得
（2）
将
（2）代入
（1）式，得
1.12试证明：
在某一过程中理想气体的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。
根据热力学第一定律
由
两边除以Pv，再经整理，得到
1.13声波在气体中的传播速度为假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量。
试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及给出：
＋常量，＋常量
理想气体在准静态的绝热过程中，
从而得到
（1）
因为,所以
，故
（2）
对于理想气体，内能和焓分别为
，（3）
把
（2）中的T代入（3）式，并注意到
得单位质量的内能u和焓h为
1.14大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。
由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩。
空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。
试计算大气温度随高度的变化率，并给出数值结果。
[提示：
根据流体静力学可导出气压随高度的变化率再利用理想气体的绝热方程求出，从而可以求出。
答：
数值结果：
-10]
（i）首先讨论在热平衡下，大气压如何随高度而改变。
要注意到热平衡条件中包括力平衡条件，考虑在高度z和z+dz之间，其截面积为A的空气圆柱体（图1.14），作用在它的上p（z+dz）A
P（z）A
z
z+dz
ρ（z）gAdz
截面和下截面的力分别为
和
作用在圆柱内空气的重力为，
由上述三个力的平衡条件:
+=0
得到，
（ii）把
（1）式的ρ（z）变换到p（z）:
如果空气的平均分子量为m，则1mol空气的体积为
，则可把理想气体的物态方程，表为
，和
图1.14
于是
（1）式变为
（2）
（iii）现考虑理想气体的准静态绝热过程：
从（3）
知，下面的任务是要求关于的表达式。
由热力学第一定律及物态方程，在绝热过程中
（4）
由
（5）
将（5）式代入（4）式，注意到则得
或（6）
把
（2）或和（6）式代入（3）式，得
（7）
式中所以
即每增加1千米，温度约降低10oC.
1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送到温度较高的物体上去。
如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。
试求热泵的效率。
如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？
[答：
热泵效率后者为1。
]
见教材第一章1.9理想气体的卡诺循环
1.16假设理想气体的Cp和Cv之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。
该关系式中要用到一个函数F（T），其表达式为
在准静态绝热过程中，
因为,故得
或
（1）
上式积分后，得
（2）
讨论：
当γ为常数时，则
（1）式经积分后，得
即有
1.17利用上题的结果证明：
当γ为温度的函数，理想气体卡诺循环的效率仍为
P
V
Ⅰ（T1,P1,V1）
Ⅱ（T1,P2,V2）
Ⅲ（T2,P3,V3）
Ⅳ（T2,P4V4）
Q1
Q2
图1.18
如图1.18所示，Ⅰ→Ⅱ：
吸热
Ⅳ→Ⅳ:
放热
在整个循环过程中，对外所作的功为
（1）
对于状态Ⅰ和Ⅳ有下面关系
（2）
对于状态Ⅲ和Ⅳ，有下面关系
（3）
（3）式除以
（2）式，即得（4）
代入到
（1）式，则得（5）
所以
1.18试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
我们用反证法来证明。
如图1.18-1所示。
假设两条绝热线S1和S2相交与C点。
今考察一条等温线T，它与两条绝热线分别相交于A点和B点（这样一条等温线总能找到，因为等温线得斜率总比绝热线的斜率为小）。
我们可以把过程A→B→C→A认为是可逆循环，在这个循环中，仅在等温过程A→B，系统从外界吸热Q；
系统对外界作的功，其量值等于面积ABC.这就意味着，在此循环过程中，从单一热源吸收的热量完全转变为功而不因起其它变化。
这是违反热力学第二定律的卡尔文说法的。
结论是，两条绝热线不能相交。
又，若两条绝热线S1和S2，如图1.18-2所示那样相交于C，我们作等温线T构成一个循环，则会得出更为荒谬的结果：
它不断对外作功（正循环），又不断对热源放热。
这不仅不符合热力学第二定律，而且也违背热力学第一定律，所以两条绝热线是不能相交的。
S1
S2
Q
A
B
C
图1.18-1
S1S2
图1.18-2
1.19热机在循环中与多个热源交换热量。
在热机从其吸收热量的热源中，热源的最高温度为T1.在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为T2.试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过
根据克劳修斯不等式，我们有
所以
（1）
其中，热机在过程（a）的元过程中吸收热量（），而在过程（b）的元过程放出热量（）。
如果T1是过程（a）中，T（外）的最大值；
T2是过程（b）中，T（外）的最小值，那么从
（1）是，我们有
（上式等号适用于仅有两个热源并且过程是可逆的情况）对外界所作的功
所以
1.20理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由T1升至T2.假设γ是常数，试证明前者的熵增为后者的γ倍。
理想气体在准静态过程中，有
在等压过程中，熵增为
（2）
在等容过程中，熵增为
（3）
故（若Cp和CV是常数）
T2T1
图1.20
0
证明上式的另一方法是：
对于理想气体，我们已知
将上两式分别用于等容和等压过程，可得
1.21温度为0oC的1kg水与温度为100oC的恒温热源接触后，水温达到100oC。
试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。
欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0oC升至100oC?
已知水的比热容为
解：
题中的热传导过程是不可逆过程，要计算水和热源的熵变，则必须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算。
要计算水从0oC吸热升温至100oC时的熵变，我们设想一个可逆的等压过程：
对于热源的放热过程，可以设想一个可逆的等温过程：
在0oC和100oC之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源，令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触，由0oC吸热升温至100oC，这是一个可逆过程，可以证明
1.2210A的电流通过一个25Ω的电阻器，历时1s.（i）若电阻器保持为室温27oC，试求电阻器的熵增。
（ii）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27oC，电阻器的质量为10g，比热容cp为问电阻器的熵增为何？
（1）若电阻器保持一定温度，则它的状态不变，而熵是状态的函数，故知电阻器熵增为零，即.我们也可以这样考虑，电功转变为热，传人电阻器，同时此热量又由电阻器流入恒温器（比如是实验室）。
因此，传入电阻器的净热量为零，故有.
（2）在这过程中，有电功转变为热，是不可逆过程。
因为熵是态函数，我们设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
电阻器终态的温度为Tf，有Q=mCp（Tf-Ti）,及
得
1.23均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2.试计算达到均匀温度后的熵增。
当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时，其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算，这是因为熵是态函数。
而本问题中，杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过程，而到达一个平衡态。
因此，设想下述可逆过程：
把杆当作是无数无限薄的小段组成，每一个小段的初温各不相同，但都将具有相同的终温。
我们再设想所有的小段互相绝热，并保持同样的压力，然后使每小段连续地跟一系列热源接触，这些热源地温度由各段的初温度至共同的终温度。
这样就定出无数个可逆的等压过程，用来使该杆由初始的非平衡态变化到平衡态的终态。
我们考虑长为L的均匀杆，位于x处的体积元的质量为
其中ρ及A分别为杆的密度及截面积，该段的热容量为
最初的温度分布是线性分布的，而使x处的初温为
若无热量损失，并且为了方便起见，假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变，则终温
该体积元的熵增为
沿整个杆积分，得熵的总变化等于
利用积分公式
经积分并化简后，得到
1.24根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。
假设有一个温度为T的热源，一热机在循环过程中从这个热源吸收热量Q，并把此热量Q全部转化为机械功输出。
显然，热源和热机合起来成为一个绝热系统，在上述循环过程中，热源的熵减少了Q/T，而热机的工作物质的熵不变。
这样一来，整个绝热系统的熵减少了，这违反了熵增加原理。
因此，热机从单一热源吸热并全部转化为功的过程是不可能的。
这个例子表明，热力学第二定律的开氏说法也包括在熵增加原理这一更普遍的表述中。
1.25物体的初温T1高于热源的温度T2.有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止。
若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为
其中S1-S2是物体的熵减少量。
热机工作若干循环后从物体吸热Q，对外界做功W，放出热量Q-W到T2,此时复合系统（物体、热机和热源）的熵变：
（1）
（1）
物体熵的变化;
（2）
（2）
热机工作物质熵的变化为0，因为作若干循环后，物质恢复原来状态；
（3）热源熵的变化
复合系统为一绝热系统，按熵增加原理，有
即
对于可逆过程，上式取等号，即得
Wmax即为此热机所能输出的最大功。
1.26有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为Ti.今令一致冷机在此两物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T2为止。
假设物体维持在定压下，并且不发生相变。
试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为
把两个物体和制冷机看成为一个绝热系统，则按熵增加原理有
即
（1）
（2）
又，根据热力学第一定律，有
即
积分上式，并经整理后，得
（3）
把
（2）式代入（3），得
（4）
当制冷机作可逆循环时，式中取等号，制冷机作的功最小：
（5）
1.27简单系统有两个独立参量。
如果以T,S为独立参量，可以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵S，构成T-S图。
图中的一点与系统的一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。
试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用T-S图求卡诺循环的效率。
T1
T2
S1S2
S
3
4
图1.27
由两条等温线和两条绝热线构成的卡诺循环1→2→3→4→1，在T-S图上，就由图1.27所示。
其中1→2是等温过程，由于在此过程中，物质吸热，所以熵是增加的。
3→4也是等温过程，由于在此过程中，物质放热，所以熵减小。
过程2→3,4→1是绝热的等熵过程。
在过程1→2中，物质吸收的热量Q1为
在过程3→4中，物质放出的热量为
所以卡诺循环的热机效率为
在计算热机循环的效率时，应用T-S图比用P-V图更
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