Cauchy收敛准则的应用与推广(定稿)Word文档格式.doc

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目录

1.引言………………………………………………………………………………4

2.基本知识.................................………………………………………………4

3数列的Cauchy收敛准则及应用………………………………………...5

3.1数列的Cauchy收敛准则…………………………………………………..5

3.2数列的Cauchy收敛准则在解题中的应用……….......................................6

4函数极限的Cauchy收敛准则及应用………………………………….7

4.1函数极限的Cauchy准则……………………………………………….….7

4.2函数极限的Cauchy准则的应用…………………………………………..8

5Cauchy收敛准则在证明级数收敛中的作用…………………………..9

5.1级数收敛的Cauchy准则……………………………………………….….9

5.2级数收敛的Cauchy准则的应用……………………………………….….9

5.3函数列一致收敛的Cauchy准则…………………………………………10

6含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则..................................12

7Cauchy收敛准则在证明相关定理中的应用…………………………...14

7.1Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用………….….…14

7.2Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用……………………15

8Cauchy准则的推广——二元函数的Cauchy收敛准则……….….15

8.1预备知识……………………………………………………………………16

8.2二元函数的Cauchy收敛准则………………………………………………16

9总结…………………………………………………………………………….17

参考文献…………………………………………………………..……18

致谢……………………………………………………………………..19

Cauchy收敛准则的研究与应用

岳明达

（闽江学院数学系；

福建福州350108）

1、引言

在数学分析中有各种形式的Cauchy收敛准则，如函数极限，数列极限，定积分与广义积分，数项级数与函数级数等，它的思想将贯穿数学分析课程的始终，因此它被称为“数学分析中头等重要的定理”。

Cauchy收敛准则的应用比较广泛，在证明数列、函数极限的收敛以及在函数项级数的一致收敛上都起到重要作用。

在证明一些极限存在的问题上，Cauchy收敛准则的应用能大大降低解决问题的复杂程度。

在关于一元函数的极限问题有一个完整的理论体系之后，尤其是一元函数中的Cauchy收敛准则、迫效性及两个重要极限等研究得非常透彻，应用也非常广泛。

将一元函数中的相关定理推广到二元函数中去，以此得到相应的结论。

2、基本知识

2.1基本概念

定义2.1设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正数，使得当时有

则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作

，若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.

定义2.2给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

（1）

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数

（1）的通项。

数项级数

（1）也常写作：

或简单写作.

数项级数

（1）的前n项之和，记为

，

称它为数项级数

（1）的第n个部分和，也简称为部分和。

3、数列的Cauchy收敛准则及应用

3.1数列的Cauchy收敛准则

数列收敛的充要条件是：

对任给的>

0,正整数，使得当时有.

证明[必要性]设，由数列极限定义，对当时有

＜，＜，

因而+＜+=.

[充分性]按假设，对任给的＞0，使得对一切,有，即在区间[，]内含有中的所有项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”）.

据此，令=，则，在区间内含有中的所有项，记此区间为

再令=，则存在，在区间内含有几乎所有的项.

记，

它也含有中几乎所有的项，且满足

.

继续依次令，…,,…,照以上方法得一闭区间列{[]}其

中每个区间都含有中几乎所有的项，且满足：

（n）,

即是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数（.）.

现在证明数就是数列的极限。

事实上，由定理7.1的推论，对任给的

存在，使得当时有

因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证的（证毕）

数列的Cauchy收敛准则是数列收敛的等价命题，它也是判断数列敛散性的重要依据.

数列的Cauchy收敛准则两种常用形式是：

＞0，,对有<

或者对有<

尽管用Cauchy收敛准则判断数列极限时并没有提供计算极限的方法，但它的长处也正在于此—在论证极限问题时不需要事先知道极限的值.

3.2数列的Cauchy收敛准则在解题中的的应用

例3-1证明.

证明:

取,则有…＜…

.

∴由Cauchy收敛准则知收敛.

例3-2证明收敛

证对,取,则对,有

++…+

=+<

而由m>

知<

故.有柯西收敛准则知数列收敛

4、函数极限的Cauchy收敛准则及应用

4.1函数极限的Cauchy准则

设函数在内有定义，存在的充要条件是：

任给,存在正数，使得对任何∈有

证明（必要性）设，则对任给的,,存在正数，使得对有于是对任何∈有

（充分性）设数列,按假设对任给>

0,存在正数，使得对任何∈有＜，由于，对上述，使得当时有，从而有

∴由数列Cauchy收敛准则数列的极限存在记为A，即.

设另一数列且，则如上所证存在记为B，现证A=B.

设数列：

易见且

∴也收敛∴∴由归结原则，

4.2函数极限的Cauchy准则的应用

例4-1证明

证明：

有

显然即：

当时，就有：

于是对于上述，及，只要，就有：

由定理知，存在

例4-2证明不存在

分析：

取，由，可知：

取，有。

于是，由此即有

取，则对，取使得

已有，故由定理知，不存在

5、Cauchy收敛准则在证明级数收敛中的作用

5.1级数收敛的Cauchy准则

级数收敛的充要条件是：

任给正数

，总存在正数，使得当以及对任意的正数，都有

由收敛，可知部分和数列收敛；

即：

收敛，故对，当时,

故

5.2级数收敛的Cauchy准则的应用

例5-1应用级数收敛的Cauchy准则证明收敛

证由于

.

因此对任给的正数，取,使当时，对任意的正整数，由上式就有

.∴由级数收敛的柯西准则知收敛.

5.3函数列一致收敛的Cauchy准则

函数列在数集D上一致收敛充要条件是：

对任给的正数，总存在正数

使得当时，对一切都有

证[必要性]设一致收敛于，，即对任给的

存在正数，使得时，对一切都有，于是当

由上式就有.

[充分性]若条件

（1）成立，由数列收敛的Cauchy准则，

在D上任一点都收敛，记其极限函数为,,现固定

（1）中的

让，于是当时，对一切都有，∴当

时，在数集D上一致收敛。

推论5-3函数列在区间上一致收敛于的充要条件是：

证明（必要性）若，。

则对任给的正数，

存在不依赖于的正数，当时，有

，

由上确界的定义，亦有

因此，命题得证

（充分性）由假设，对任给，存在正整数，使得当时，有

（*）

因为对一切，总有

故有（*）式得

于是在上一致收敛于

例5.2定义在[0,1]上的函数列

其中的正整数

由于，故当时，只要

就有，故在上有.

于是该函数列在上的极限函数又由于

，

所以函数列在上不一致收敛

6、含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则

定义6.1（含参量反常积分）设函数定义在无界区域上，若对每一个固定的，反常积分

（1）

都收敛，则它的值是在上取值的函数，当记这个函数为时，则有

，

（2）

称

（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分

定义6.2若含参量反常积分

（1）与函数对任给的正数，总存在某一实数，，使得当时，对一切，都有

即

则称含参量反常积分

（1）在上一致收敛与，或简单地说含参量积分

（1）在上一致收敛

定理6.1（一致收敛的Cauchy准则）含参量反常积分

（1）在上一致收敛的充要条件是：

对任给正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有

例6.1证明含参量反常积分

（3）

在上一致收敛（其中），但在内不一致收敛

证明做变量代换，得

（4）

其中.由于收敛，故对任给正数，总存在正数，使当，就有

取，则当时，对一切，由（4）式有

所以（3）式在上一致收敛.

现证明（4）在内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：

存在某一正数，使对任何实数，总相应地存在某个及某个，使得

由于非正常积分收敛，故对任何和，总存在某个，使得

（5）

现令，由（4）及不等式（5）的左端就有

所以（3）在内不一致收敛

7、Cauchy收敛准则在在证明相关定理中的应用

7.1Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用

定理7.1若函数在上连续，且存在原函数，即，,则上可积，且

（1）

证由定积分定义，任给，要证,当时，有

，下证满足要求的存在性，事实上，对于的任一分割，在每个小区间上对用拉格朗日中值定理，分别使得

（2）

因为上连续，从而一致连续，

∴对上述，当且时，有

于是当时，任取，便有，这就证得

.

所以在上可积，且有公式

（1）成立。

7.2Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用

定理7.2一致连续性定理：

若函数在区间上连续，则在区间上一致连续。

证明由在上的连续性，任给，对每一点，都存在，使得当时，有

考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖,由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集.覆盖了.

记.对任何必属于中某个开区间，设即，此时有

故，有，同时有和

由此得，所以在上一致连续.

8、Cauchy准则的推广——二元函数的Cauchy收敛准则、敛迫性

8.1预备知识

（1）．聚点

假定是平面上的一个点集，是该平面上的一个定点，若的任意一个领域都包括中无数个点，则称是该点集的聚点

（2）.二元函数极限极限存在与连续性

定义设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某正数，使得当时，都有

则称在上当时，以为极限，记做

8.2二元函数的Cauchy收敛准则

定理8.2设为定义在上的二元函数，为的一个聚点。

极限存在的充要条件是：

对任意的正数，总存在某正数，使得对任何，都有

证明（必要性）设，由极限的定义

对任给的正数，总存在某正数，使得当时，有

于是对任意的点，有

（充分性）设为任意一个含于中，且的点列。

由已知条件知，对,只要，便有：

（1）

对于上述，由于，则由点列的Cauchy收敛准则，

存在相应的正数，当时，有

结合

（1）式知，对任意的，有

于是由数列的Cauchy收敛准则知，的极限存在，记为。

设为任意一个不同于且使得的点列。

如上所证，存在，记为。

现证，为此考虑点列：

易见，且，仍如上所证：

也收敛

于是作为的两个子列和必有相同极限。

由点列和的任意性知

例8.2讨论函数在原点极限的存在性

解：

对，取，当时，有

故由定理7.1知，函数在原点极限存在.

9．总结

本文通过对Cauchy收敛准则及其变形形式的探讨，阐明了该准则的一些性质、定义以及其在数学的定理与证明中的重要作用。

Cauchy准则贯穿了数学分析的很大一部分内容，是重要的数学定理。

但其原理是一样的，即找到，说明存在两个正数，当时，满足定理的一些条件即可。

如要证数列是否收敛，就证<

，其他定理亦可。

（指导老师：

黄建吾）

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：

高等教育出版社，2001.

[2]任亲谋.数学分析习题解析[M].西安：

陕西师范大学出版社，2004.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].2版.北京：

高等教育出版社，2006.

[4]陈传璋，金福临，朱学炎.数学分析[M].2版.北京：

高等教育出版社，1983.

[5]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京：

人民教育出版社，1979.

[6]马爱江，单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明[J]，新疆教育学

学报，2003，20（4）：

95-97

[7]徐国进，一类正项级数收敛判断的推广[J]，孝感学院学报，2010，30（3）：

23-27

[8]宁效琦，二元函数的柯西收敛准则、敛迫性及两个重要极限[J]，湖南科技学

院学报，2007，28（4）：

6-9

[9]复旦大学数学系，数学分析[M].上海：

上海科学技术出版社，1962

致谢

通过这一阶段的努力，我的毕业论文《Cauchy收敛准则的应用与推广》终于完成了，这意味着大学生活即将结束。

在大学阶段，我在学习上和思想上都受益非浅，这除了自身的努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。

在本论文的写作过程中，我的导师黄建吾老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此我表示衷心感谢。

同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。

写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始。

我将铭记我曾是一名闽江学子，在今后的工作中把闽江学院的优良传统发扬光大。

感谢各位专家的批评指导。

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