历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答Word文档格式.doc

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14．设A为n阶可逆矩阵，且，则|_____________．

15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则_____________．

个方程、个未知量的Ax=0有非零解，则0．

16．齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_____________．

，基础解系所含解向量的个数为．

17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是，则矩阵必有一个特征值为_________．

A有特征值，则有特征值，有特征值．

18．设矩阵的特征值为，则数_____________．

由，得2．

19．已知是正交矩阵，则_____________．

由第1、2列正交，即它们的内积，得0．

20．二次型的矩阵是_____________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式的值．

解：

22．已知矩阵，，求

（1）；

（2）．

（1）；

（2）注意到，所以

23．设向量组，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．

，向量组的秩为3，是一个极大无关组，．

24．已知矩阵，．

（1）求；

（2）解矩阵方程．

（1）

，；

25．问a为何值时，线性方程组有惟一解？

有无穷多解？

并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．

．

时，，有惟一解，此时

时，，有无穷多解，此时

，，通解为，其中为任意常数．

26．设矩阵的三个特征值分别为，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使．

由，得，．

对于，解：

，，取；

，，取．

令，则P是可逆矩阵，使．

四、证明题（本题6分）

27．设A，B，均为n阶正交矩阵，证明．

证：

A，B，均为n阶正交阵，则，，，所以

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

1．设3阶方阵，其中（）为A的列向量，若，则（C）

A． B． C．6 D．12

2．计算行列式（A）

A． B． C．120 D．180

3．若A为3阶方阵且，则（C）

A． B．2 C．4 D．8

，．

4．设都是3维向量，则必有（B）

A．线性无关 B．线性相关

C．可由线性表示 D．不可由线性表示

5．若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（C）

A．2 B．3 C．4 D．5

由，得4．

6．设A、B为同阶方阵，且，则（C）

A．A与B相似 B． C．A与B等价 D．A与B合同

A与B有相同的等价标准形．

7．设A为3阶方阵，其特征值分别为，则（D）

A．0 B．2 C．3 D．24

的特征值分别为，所以．

8．若A、B相似，则下列说法错误的是（B）

A．A与B等价 B．A与B合同 C． D．A与B有相同特征值

只有正交相似才是合同的．

9．若向量与正交，则（D）

A． B．0 C．2 D．4

由内积，得4．

10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为，则（B）

A．A正定 B．A半正定 C．A负定 D．A半负定

对应的规范型，是半正定的．

11．设，，则______________．

12．设A为3阶方阵，且，则______________．

13．三元方程的通解是______________．

，通解是．

14．设，则与反方向的单位向量是______________．

15．设A为5阶方阵，且，则线性空间的维数是______________．

的维数等于基础解系所含向量的个数：

16．

17．若A、B为5阶方阵，且只有零解，且，则______________．

只有零解，所以可逆，从而．

18．实对称矩阵所对应的二次型______________．

19．设3元非齐次线性方程组有解，，且，则的通解是______________．

是的基础解系，的通解是．

20．设，则的非零特征值是______________．

由，可得，设的非零特征值是，

则，．

21．计算5阶行列式．

连续3次按第2行展开，．

22．设矩阵X满足方程，求X．

记，，，则，

，，

23．求非齐次线性方程组的通解．

，

，通解为，都是任意常数．

24．求向量组，，的秩和一个极大无关组．

，向量组的秩为2，是一个极大无关组．

25．已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．

设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，，；

对于，解齐次方程组：

，，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数．

26．设，试确定使．

，时．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解．

因为是的解，所以，是的解；

设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关．

全国2011年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：

04184

说明：

本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

1.设行列式=4，则行列式=（）

A.12 B.24

C.36 D.48

2.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（）

A.A-1CB-1 B.CA-1B-1

C.B-1A-1C D.CB-1A-1

3.已知A2+A-E=0，则矩阵A-1=（）

A.A-E B.-A-E

C.A+E D.-A+E

4.设是四维向量，则（）

A.一定线性无关 B.一定线性相关

C.一定可以由线性表示 D.一定可以由线性表出

5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（）

A.A=0 B.A=E

C.r（A）=n D.0<

r（A）<

（n）

6.设A为n阶方阵，r（A）<

n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）

A.Ax=0只有零解 B.Ax=0的基础解系含r（A）个解向量

C.Ax=0的基础解系含n-r（A）个解向量 D.Ax=0没有解

7.设是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）

A.是Ax=b的解 B.是Ax=b的解

C.是Ax=b的解 D.是Ax=b的解

8.设，，为矩阵A=的三个特征值，则=（）

A.20 B.24

C.28 D.30

9.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（）

A. B.1

C. D.2

10.二次型f（x1,x2,x3）=的秩为（）

A.1 B.2

C.3 D.4

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式=0，则k=_________________________.

12.设A=，k为正整数，则Ak=_________________________.

13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=_________________________.

14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则=_________________________.

15.设A是m×

n矩阵，Ax=0,只有零解，则r（A）=_________________________.

16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=________.

17.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的维数是______________________.

18.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=________________________.

19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=__________________.

20.设f（x1,x2,x3）=是正定二次型，则t满足_________.

21.计算行列式

22.设矩阵A=，对参数讨论矩阵A的秩.

23.求解矩阵方程X=

24.求向量组：

，，，的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.

25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解.

26.求矩阵的特征值和特征向量.

27.设向量，，….,线性无关，1<

j≤k.证明：

+，，…,线性无关.

线性代数（经管）试题参考答案

三、计算题

解：

原行列式

全国2011年4月高等教育自学考试

AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（）

A． B．3=

C．5 D．

2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）

A． B．

C． D．

3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（）

4．设A为3阶矩阵，A的秩r（A）=3，则矩阵A*的秩r（A*）=（）

A．0 B．1

C．2 D．3

5．设向量，若有常数a,b使，则（）

A．a=-1,b=-2 B．a=-1,b=2

C．a=1,b=-2 D．a=1,b=2

6．向量组的极大线性无关组为（）

7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（）

A．3 B．2

C．1 D．0

8．设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）

9．设矩阵A=，则A的对应于特征值的特征向量为（）

A．（0，0，0）T B．（0，2，-1）T

C．（1，0，-1）T D．（0，1，1）T

10．二次型的矩阵为（）

11．行列式__________.

12．行列式中第4行各元素的代数余子式之和为__________.

13．设矩阵A=，B=（1，2，3），则BA=__________.

14．设3阶方阵A的行列式|A|=，则|A3|=__________.

15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=__________.

16．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________.

17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.

18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________.

19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为，则行列式|B-1|=__________.

20．设A=是正定矩阵，则a的取值范围为__________.

21．已知矩阵A=，B=，

求：

（1）ATB；

（2）|ATB|.

22．设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.

23．求向量组=（1,2,1,0）T，=（1,1,1,2）T，=（3,4,3,4）T，=（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性无关组.

24．判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.

25．已知2阶矩阵A的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为=（-1，1）T，

=（7，1）T，求矩阵A.

26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=，求行列式|A-E|的值.

四、证明题（本大题共6分）

27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：

（1）AB-BA为对称矩阵；

（2）AB+BA为反对称矩阵.

全国2011年7月高等教育自学考试

本卷中，AT表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

1．设，则=（　　　）

A．-49 B．-7

C．7 D．49

2．设A为3阶方阵，且，则（　　　）

A．-32 B．-8

C．8 D．32

3．设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（　　　）

A．（A+B）T=A+B B．（AB）T=-AB

C．A2是对称矩阵 D．B2+A是对称阵

4．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（　　　）

A．若A2=0，则A=0 B．（AB）2=A2B2

C．若AX=AY，则X=Y D．若A+X=B，则X=B-A

5．设矩阵A=，则秩（A）=（　　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

6．若方程组仅有零解，则k=（　　　）

A．-2 B．-1

C．0 D．2

7．实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1+x3=0}的维数是（　　　）

8．若方程组有无穷多解，则=（　　　）

9．设A=，则下列矩阵中与A相似的是（　　　）

10．设实二次型，则f（　　　）

A．正定 B．不定

C．负定 D．半正定

请在每小题的空格中填上正确答案。

11．设A=（-1,1,2）T，B=（0,2,3）T,则|ABT|=______.

12．设三阶矩阵，其中为A的列向量，且|A|=2，则

______.

13．设，且秩（A）=3，则a,b,c应满足______.

14．矩阵的逆矩阵是______.

15．三元方程x1+x3=1的通解是______.

16．已知A相似于，则|A-E|=______.

17．矩阵的特征值是______.

18．与矩阵相似的对角矩阵是______.

19．设A相似于，则A4______.

20．二次型f（x1,x2,x3）=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______.

21．计算4阶行列式D=.

22．设A=，而X满足AX+E=A2+X，求X.

23．求向量组：

的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.

24．当为何值时，齐次方程组有非零解？

并求其全部非零解.

25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量.

26．求正交变换Y=PX，化二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.

四、证明题（本大题6分）

27．设线性无关，证明也线性无关.

线性代数（经管类）试题答案

全国2011年10月高等教育自学考试

在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。

表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则（）

A.-1B.C. D.1

2.设则方程的根的个数为（）

A.0B.1C.2 D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（）

A. B.

C. D.

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）

A. B.

C. D.

5.设其中则矩阵A的秩为（）

A.0 B.1

C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（）

A.0 B.2

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）

A.-10 B.-4

C.3 D.10

8.已知线性方程组无解，则数a=（）

A. B.0

C. D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为则（）

A.-18 B.-6

C.6 D.18

10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

12.设则__________.

13.设A是4×

3矩阵且则__________.

14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

16.设方程组有非零解，且数则__________.

17.设4元线性方程组的三个解α1，α2，α3，已知则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________.

19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________.

20.设实二次型已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.

21.设矩阵其中均为3维列向量，且求

22.解矩阵方程

23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？

并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

24.设3元线性方程组,

（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵

（1）求B的特征值；

（2）求B的行列式.

26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.

27.设A是3阶反对称矩阵，证明

全国2012年1月自考

《线性代数（经管类）》试题

本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

1．设行列式=2，则=（）

A．-6B．-3C．3 D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）

A．E+A-1B．E-AC．E+A D．E-A-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

A．可逆，且其逆为 B．不可逆

C．可逆，且其逆为 D．可逆，且其逆为

4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是

（）

A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0

C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D．向量组1，2，…