浅谈用放缩法证明不等式Word格式文档下载.doc

浅谈用放缩法证明不等式Word格式文档下载.doc

《浅谈用放缩法证明不等式Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈用放缩法证明不等式Word格式文档下载.doc（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

放缩法;

技巧;

适当

ProvingtheInequitybyAmplificationandMinification

Student：

Guideteacher：

HuainanNormalUniversityDepartmentofMathematics

Abstract:

Thispaperintroducesthefundamentalconceptionoftheamplificationandminificationmethod.Andonthebasisofthis,itsumsupsomecommonlyusedskills:

increasingorreducingsometerms,usingimportantinequalityformula,usingfunctionproperties,synthesismethod,andtheamplificationmethodtodemonstratethesequenceinequality.Inaddition,itdescribeshowtomakeitappropriateinprovingtheinequalitybytheamplificationandminificationmethodfromthreeaspects.Theydomuchhelptodemonstratinginequality.

Keywords:

inequality;

amplificationandminification;

skill;

appropriate

引言

在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形（放大或缩小）,根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.

与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.

想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点：

掌握放缩法的一些常用策略和技巧；

‚放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.

1放缩法的常用技巧

1.1增减放缩法

1.1.1增加（减去）不等式中的一些正（负）项

在不等式的证明中常常用增加（减去）一些正（负）项,从而使不等式一边的各项之和变大（小）,从而达到证明的目的.

例1设都是正数,,求证：

.

证明：

当且仅当时取等号.

1.1.2增大（减小）不等式一边的所有项

将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.

例2[1]（02年全国卷理科第21题）设数列满足,且,求证：

由,得：

,,

于是有：

……,

1.1.3增大（减小）不等式一边的部分项

在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.

例3求证.

.

把以上（n-2）个不等式相加,得

故原不等式成立.

1.1.4增大（减小）分子或分母的值

增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.

例4求证.

即

1.2公式放缩法

即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式均值不等式：

以及,下面分别举例说明.

1.2.1均值不等式

例5若求证：

而

故

例6已知:

求证:

证明:

又

1.2.2

例7[4]若正数满足求证：

即原不等式成立.

1.3利用函数的性质

主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩.

1.3.1利用特殊函数的单调性

这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等.

例8求证：

我们先给出常规解法；

另外,还有更简便的方法.

1.3.2利用特殊函数的有界性

这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如等.

例9[5]已知为整数,并且求证：

（当且仅当时取等号）.

1.3.3利用一般函数的性质

利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.

例10求证时,

令

是增函数,其最小值为

故对一切自然数,；

再由,知比较得：

当时,

例11设定义在上的函数,求证：

对任意的,的充要条件是

利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得：

根据

得

即

故对

例12已知是的前项和

令,则:

令,得.

当时,；

当时,;

从而可知在上递减,在上递增,故：

即

1.4综合法

对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.

例13[7]（1985年高考题）

①

②

在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.

例14数列满足且

（Ⅰ）用数学归纳法证明；

（Ⅱ）已知不等式对成立.

（Ⅰ）用数学归纳法证明,略；

（Ⅱ）用递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得：

上式从1到求和可得：

证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.

1.5数列不等式的证明

在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.

这里“叠加”模型指的是形如：

这里的也可以是、或.

例15已知,证明

；

；

……

各式相加,得：

例16若

求证：

证明：

又

当时,

……

将上式相加,得到：

在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索项相加的递推式,然后逐项相消.

2放缩法要放缩得恰到好处

2.1调整放缩量的大小

放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.

例17已知,求证：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

（Ⅰ）

；

（Ⅱ）是（Ⅰ）的加强不等式,为此需调整放缩幅度,

（Ⅲ）改变放缩方向,故

例18求证（Ⅰ）；

（Ⅱ）

左边

（Ⅱ）是（Ⅰ）的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到：

则左边

2.2限制放缩的项和次数

若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.

例19求证

这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法：

由,显然放得过大,要减少放大的项；

先试试减少一项：

由.再试试减少两项：

如此可得出,放缩时减少两项可以得到欲证目标.

2.3将不等式的一边分组进行放缩

把不等式的一边进行分组,将有关联的项放在一起进行放缩,不仅可以减少放缩的项,还可以有效地控制放缩的“度”,减少误差,并且更有方向性,尽量避免放缩的盲目性和随意性.

例20已知数列的通项公式是

（Ⅰ）求证：

当为奇数时,；

（Ⅱ）求证：

（Ⅰ）略

（Ⅱ）当为偶数时,

当为奇数时,因为,则：

例21求证

由于；

；

…………

由,将上面的不等式两边相加,得到：

又由于；

；

…………

；

将上面的不等式两边相加,得到：

于是,综上得到.

总结

综上可知,放缩法的技巧千变万化,灵活多样.而事实上,放缩法贯穿于整个不等式的证明过程中,不等式证明的每一步几乎都与“放”与“缩”密切相关.在证明的过程中要注意几点：

（1）在放缩过程中不等号的方向必须一致；

（2）运算时要注意总结规律,有些不等式用特定的放缩方法可以使计算简便,而有些不等式可以用很多种方法解决；

（3）不等式的放缩法在不等式的证明中应用广泛,但是遇到具体题目时不能生搬硬套,必须根据实际情况考虑是用什么方法.

另外,用放缩法证明不等式关键就是“度”的把握,如果放得过大或太小就会导致解题失败,而如果放缩不适当要学会调整,一些实用的技巧可以帮助我们把握放缩中的“度”,而具体怎样放缩才适度,需要我们在解题过程中去体会.

放缩法有着高度的灵活性和极强的技巧性,放缩方法更是多种多样,要能恰到好处的想到具体解题中的放缩方法,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.

致谢

感谢我的导师，她在我的论文写作过程中倾注了大量心血，从选题开始到开题报告，从写作提纲到一遍遍的指出稿中的具体问题，每一个工作她都做得那么的细致认真，她的严谨的态度和工作风深深的感动着每一个了解她的人。

我还要感谢我的许多同学，他们在我的论文写作中给予了大量的支持和帮助，同学都对我的论文格式和内同的修改给予了大量的帮助，在此我也深深的感谢他们，同时我还要感谢在我大学学习期间给我极大关心和支持的各位老师同学还有朋友，感谢你们！

感谢老师！

参考文献：

[1]刘艳.放缩法在高考题中应用[J].湖北广播电视大学学报,2008,28（9）:

143-144.

[2]武增明.放与缩九策略[J].中学数学研究,2003,（9）:

32-34.

[3]李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京高等教育出版社,2005,266-267.

[4]张嘉瑾.放缩法,证明不等式的基本方法[J].上海中学数学,2005,（10）:

35-36.

[5]时月兰.如何使用放缩法证明不等式[J].文教资料,2005,（4）:

72-73.

[6]黄坚.谈放缩法证题的灵活性与适度性[J].数学通讯,2005,（3）:

23-24.

[7]王卫琴.放缩法与不等式证明[J].运城高等专科学校学报,2000,18（3）:

95-96.

[8]刘作宏.一道题引出的思考[J].科技教育,2010,（29）:

213-214.

[9]张徐生.放缩有度,顺应目标——例谈放缩法在证明不等式中的应用[J].数学教学研究,2007,（9）:

26-28.

[10]董入星.放缩“失控”的调整初探[J].中学数学,2007,

（1）:

29-31.

[11]邵志华.若干解析不等式的统一证明——兼谈几个不等式的加强[J].湖南理工学院学报（自然科学版）,2010,23（3）:

9-13.

[12]陈太道.放缩法在《数学分析》上的应用[J].琼州大学学报,2002,9

（2）:

10-14.

[13]李素峰.谈数列极限证明中的“放大法”[J].衡水学院学报,2009,11（4）:

3-7.