放缩法证明不等式的基本策略.doc

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“放缩法”证明不等式的基本策略

近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点,有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。

“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。

下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知求证：

证明：

若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。

本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例2、函数f（x）=，求证：

f

（1）+f

（2）+…+f（n）>n+.

证明：

由f（n）==1-

得f

（1）+f

（2）+…+f（n）>

.

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例3、已知an=n，求证：

＜3．

证明：

=＜1＋

＜１＋=

=1＋（－）

=1＋1＋－－＜2＋＜3．

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

4、放大或缩小“因式”；

例4、已知数列满足求证：

证明

本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.

5、逐项放大或缩小

例5、设求证：

证明：

∵

∴

∴，∴

本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项；

例6、求证：

证明：

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例7、已知，证明：

不等式对任何正整数都成立.

证明：

要证，只要证.

因为，，

故只要证，

即只要证.

因为，

所以命题得证.

本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.

8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩

例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.

（1）证明：

niA＜miA；

（2）证明：

（1+m）n＞（1+n）m

证明：

（1）对于1＜i≤m，且A=m·…·（m－i+1），

，

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，

所以

（2）由二项式定理有：

（1+m）n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，

（1+n）m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，

由

（1）知miA＞niA（1＜i≤m＜n，而C=

∴miCin＞niCim（1＜m＜n

∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，

mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，

∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，

即（1+m）n＞（1+n）m成立.

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.