无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)Word文件下载.doc

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1.本节的作用和地位

通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。

例如：

常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容

1.无穷限反常积分的定义与计算方法

2.无穷限反常积分的性质

3.无穷限反常积分的比较审敛法则

4.条件收敛与绝对收敛

3.重点难点分析

教学重点：

无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；

教学难点：

无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：

2课时

四、教学理念 

学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。

五、教学策略

在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境

网络环境下的多媒体教室与课堂互动。

七、教学过程

一、无穷限反常积分的定义

定义1设函数／定义在无穷区间[）上，且在任何有限区间[]上可积．如果存在极限

则称此极限为函数在[）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作，并称收敛．如果极限不存在，亦称发散．

类似地，可定义在（上的无穷积分：

对于在（）上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：

其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．

注：

收敛的几何意义是：

若在上为非负连续函数，则介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积．

例1　讨论无穷积分，，的收敛性．

例2讨论下列无穷积分的收敛性：

，

二、无穷积分的性质

由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于积分上限函数在时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则．

定理11.1无穷积分收敛的充要条件是：

任给>

0，存在G≥，只要，便有

．

此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．

性质1若与都收敛，,为任意常数，则也收敛，

且．

性质2若在任何有限区间[）上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有

．

证：

由收敛，根据柯西准则（必要性），任给，存在G≥，当时，总有.利用定积分的绝对值不等式，又有.

再由柯西准则（充分性），证得收敛

又因，令取极限，立刻得到不等式.

当收敛时，称为绝对收敛．性质3指出：

绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．

性质3若在任何有限区间[]上可积，，则与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有=+,

性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出收敛的另一充要条件：

，存在，当>

G时，总有．

事实上，这可由结合无穷积分的收敛定义而得．

三、比较判别法

首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于关于上限是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：

定理11.2（比较法则）设定义在[）上的两个函数和都在任何有限区间[]上可积，且满足

则当收敛时必收敛（或当发散时，必发散）．

例3讨论的收敛性．

解：

由于，而为收敛，故为绝对收敛．

当选用作为比较对象时，比较判别法有如下两个推论（称为柯西判别法）．

推论1设定义于[]（），且在任何有限区间[]上可积，则有：

（i）当,且时,收敛;

（ii）当且时,发散.

推论2设定义于[），在任何有限区间[]上可积，且．则有：

（i）当时,收敛;

（ii）当时,发散.

推论3若和都在任何[）上可积，，且则有

（i）当时，由收敛可推知也收敛；

（ii）当时，由发散可推知也发散.

四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法．

定理11.3（狄利克雷判别法）若在[）上有界，在[上当时单调趋于，则无穷积分收敛．

定理11.4（阿贝尔（Abel）判别法）若收敛，在[）上单调有界，则无穷积分收敛．

用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．

例5讨论与的收敛性．

解：

这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：

（i）当>

1时绝对收敛．这是因为而当>

1时收敛，故由比较法则推知收敛.

（ii）当时条件收敛．这是因为对任意≥1，有，而当时单调趋于，故由狄利克雷判别法推知工当时总是收敛的．

另一方面，由于，其中是收敛的，而是发散的，因此当时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．

例6证明下列无穷积分都是条件收敛的．　

证：

前两个无穷积分经换元得到

由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元而得，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．

八、学习评价

本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。

作业内容：

教材:

1（4，6，9）；

2；

3.