数学分析第七讲反常积分.docx
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数学分析第七讲反常积分
第七讲非黎曼积分（反常积分）
一、知识结构
我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分,主要研究它的收敛问题.
1、一元函数的反常积分
（1）一元函数反常积分的概念和定义
我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间a,b或有限闭区域D，如果将积分区间a,b换成无限区间[a,）或非闭区间（a,b]（a是被积函数的瑕点）或a,，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间a,b换成无限区间[a,）或非闭区间（a,b]（a是被积函数的瑕点,即函数f（x）在点x处无界）.
定义1函数f（x）在无限区间[a,）连续，则定义
AA
f（x）dxlimf（x）dx，如果极限limf（x）dx存在，我们称反
aAaAa
常积分f（x）dx收敛.
定义2函数f（x）在非闭区间（a,b]连续，而在点a右邻域内无界（a是
被积函数f（x）的瑕点）即函数在点a无界，则定义
bbb
f（x）dxlimf（x）dxlimf（x）dx,如果极限a0akak
b
b
lim0af（x）dx
是被积函数f（x）的瑕点.
第一类间断点,则积分f（x）dx为推广的黎曼积分,它也是收敛的.
存在，我们称反常积分f（x）dx收敛.
则定义
b
af（x）dx收敛.
定义4函数f（x）在无限区间（a,
）连续，a是函数f（x）的瑕点，则
定义
f（x）dx收敛.
②积分区域无限且被积函数f（x,y）有瑕点（了解）.
请同学们切记如下例子中的结论
111
例讨论积分pdx和pdx的敛散性.
0xp1xp
111
解显然dx和dx均发散.
0x1x
在区间（0,1]上,当p1时,函数1p
xp
11
像下方,这时pdx收敛（请同学给出证明
x
dx发散（请同学给出证明）.
11
即前者的图像在后者的图像上方,这时p
0xp
11
在区间[1,）上,当p1时,函数p,即前者的图像在后者的
xpx
（1）无穷积分的性质与收敛性判别
①无穷积分的性质
收敛,且[k1f1（x）k2f2（x）]dxk1f1（x）dxk2f2（x）dx.
aaa
b
f（x）dxf（x）dxf（x）dx.
收敛者为条件收敛.
②无穷积分的收敛判别
（a）柯西收敛准则
判断.
u1,u2U时,有
无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到
（b）比较法则
定理2（比较法则）设定义在[a,）上的两个函数f（x）和g（x）都在任
何有限区间[a,u]上可积,且满足f（x）g（x）,x[a,）,则当
必发散.
考虑当g（x）dx收敛时f（x）dx必收敛是否正确?
当f（x）dx
aaa
发散时g（x）dx必发散是否正确?
推论1设定义在[a,
）上的两个函数f（x）和g（x）都在任何有限区间
[a,u]上可积,g（x）0,
且lim
xg（x）
f（x）c,则有
①当
f（x）dx与g（x）dx同敛态;
a
②当
0时,由
g（x）dx收敛可推知
f（x）dx也收敛;
③当
时,
g（x）dx发散可推知
f（x）dx也发散.
等式cgf（（xx））c
，即
cg（x）
f（x）
cg（x）可证上述结论.
推论2设f（x）是定义在
[a,）（
a0）的函数,且在任何有限区间
[a,u]上可积,则有:
①当f（x）
②当f（x）
1
p,x
x
1
p,x
x
[a,
[a,
利用结论
x1pdx
x
）,且
）,且
1时,
1时,
f（x）dx收敛;
f（x）dx发散.
1
p1
当p1时，
当p1时可证上述结论.
推论3设f（x）是定义在[a,
）（a0）的函数,在任何有限区间[a,u]
上可积,且
limxpf（x）
c,则有:
①当
p1,0
时,
f（x）dx收敛;
②当
p1,0
时,
f（x）dx发散.
f（x）cg（x）
，即
g（x）f（x）
g（x）可证上述结论.
（c）
狄利克雷判别法
u
若F（u）f（x）dx在[a,）上有界,g（x）a
在[a,
）上当x
时单调趋于0,则f（x）g（x）dx收敛（了解）.
（d）
阿贝尔（Abel）判别法
定理
4（阿贝尔（Abel）判别法）若
a
f（x）dx收敛，g（x）在[a,）上单
调有界,则f（x）g（x）dx收敛（了解）.
a
（2）瑕积分的性质与收敛判别
①瑕积分的性质
（a）
若f1（x）与f2（x）都以xa为瑕点，k1,k2为常数，则当瑕积分
f1（x）dx与f2（x）dx收敛时,瑕积分[k1f1（x）k2f2（x）]dx必定收敛,aa
b
a[k1f1（x）k2f2（x）]dxa
bb
k1f1（x）dxk2f2（x）dx.
aa
（b）设函数f（x）以x
a为瑕点，c（a,b）为任一常数，则瑕积分
b
f（x）dx与
c
f（x）dx同
a
敛态（同时收敛或同时发散）,并且
bcbaf（x）dxaf（x）dxcaac
b
f（x）dx，其中f（x）为定积分.
c
（c）设函数f（x）以xa为瑕点，若f（x）在（a,b］的任一内闭区间
b
[u,b]上可积,则当
f（x）dxf（x）dx.
敛者为条件收敛.
②瑕积分的收敛判别
（a）柯西收敛准则
断.
（b）比较法则
b
g（x）dx必发散是否正确
b
f（x）dx收敛时，f（x）dx也必收敛，且
a
bb
①当0c时,f（x）dx与g（x）dx同敛态;
bb
③当c时,由g（x）dx发散可推知f（x）dx也发散.
利用不等式cf（x）c
g（x）
cg（x）f（x）cg（x）可证上述结论
推论2设f（x）是定义在（a,b]的函数,瑕点为xa，且在任何有限区
间[u,b]（a,b]上可积，则有
①当
f（x）
1p,且0
xa
②当
f（x）
1p,且p
xa
p1时,af（x）dx收敛;
1时,af（x）dx发散.
利用结论
1
pdx
0xp
1
1p
当p
当p
1时，
1时
可证上述结论
推论3设f（x）是定义在（a,b]的函数,瑕点为xa，且在任何有限区间[u,b]（a,b]上可积，且limxapf（x）,则有:
xa
①当0p1,0时,f（x）dx收敛;
②当p1,0时,f（x）dx发散.
2、多元函数的反常积分
（1）积分区域无限且被积函数f（x,y）没有瑕点
①函数zf（x,y）在无限区域D:
[a,）[c,）上的反常积分
定义5函数zf（x,y）在无限区域D:
[a,）[c,）连续，则定义
AB
limdxf（x,y）dy,如果极限Aac
B
y]上的反常积分
②函数zf（x,y）在无限区域D:
（,x]（
定义6函数zf（x,y）在无限区域D:
（,x]（,y]连续，则定义
xyxy
f（x,y）dxdydxf（x,y）dyAlimAdxBf（x,y）dy,如果极限AAB
DB
xy
存在，我们称反常积分dxf（x,y）dy收敛.
xy
由于式中dxf（x,y）dy的积分上限中的x,y与被积函数中的x,y
xyxy
不同,所以dxf（x,y）dy经常表示为duf（u,t）dt.这种积分是
概率论与数理统计中常用求概率分布函数F（x,y）的积分,即
xy
F（x,y）dxf（x,y）dy,其中f（x,y）.
③函数zf（x,y）在无限区域（,）（,）上的反常积分
（请同学给出其定义）.
④函数zf（x,y）在无限区域[a,）（,）上的反常积分（请同
学给出其定义）.
⑤函数zf（x,y）在无限区域[a,）[c,）上的反常积分（请同学给出其定义）.
上述积分在概率中经常用到.已知随机变量X,Y,函数f（x,y）是随机
变量X,Y的概率密度函数,F（x,y）表示随机变量X,Y的分布函数,则概
P（X
x,Yy）F（x,y）
x
dx
f（x,y）dy,
P（X
x,Y
F（x,
）FX（x）
x
dx
P（X
Y
y）
F（
y）FY（y）
y
dy
其中
fX（x,y）
fY（x,y）
分别称为
X,Y边
FX（x,y）,FY（x,y）分别称为X,Y边缘分布函数.
f（x,y）dy
f（x,y）dx
缘概率密
fX（x,y）dx
fY（x,y）dy
函数,
例如（考研2010年数学一）设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为
f（x,y）Ae
2x22xyy2
求常数A及条件概率密度
fYX（yx）.
解:
因为F（
1,所以
1F（x,y）
dx
f（x,y）dy
dx
2x22xyy2
Aedy
dxAe
（x
y）2
ydy
作变量替换
yrcosyrsin
0r
cossinsin
xrcosrsin
rcos
sin
rcos
r.
进而
2222
所以dxAe（xy）ydydAer（r）drA
00
（s）（s1）（0s1）得:
sins
以用以下方法计算1.余元公式（s）（s1）（0s1）2sins
的证明过程很繁杂,在此证明略.
22
先计算e（xy）dxdy,其中区域D:
0xa,0ya.
D
因为Da:
x2y2a2,D2a:
x2y22a2.则
（x2y2）（x2y2）（x2y2）
edxdyedxdyedxdy,
DaDD2a
令
x
rcos
0ra,0
y
rsin
2
e（x2
2
y）dxdy
2
1ea.
Da
4
令
x
rcos
0r2a,0
y
rsin
2
切记这种方法
（2）多元函数反常积分性质与收敛性判别
3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握）
（1）含参量反常积分的概念和定义
（2）含参量反常积分性质与收敛性判别
二、解证题方法
1、反常积分的计算
反常积分的计算题在考研中很少出现,如果出现,一般用变量替换法
求解.
例1（南京农业大学
1x1
2004年）求dx.
0lnx
解令xet,则dx
etdt.
进而
1x1
dx
0lnx
0eu1
du
12
u
2
t
e
t
0
1etdt
t
edt
t
e2tetdttueduu
0
0
t
2t
e
例2（南京大学2000年）求lxim0
1cost
1xcots2tdt
dtt
t
edt
t
1
解令t,则dt
x
12dx,所以
x
tlim
1
lim1x0
x
1
1cos1x2dt
12
tlim
1
sin
x
tlim
sin1
1
sin
t
sin1.
例3（南京农业大学
解作变量替换
2004年）求
4dx.
x
011x4dx
01
011x4dx
01
1
则
x
4dx
x
4dx
x
4dx
x
11
01
dx
1
1
t4
t2dt
11
01
2
x
4dx
x
01x22x1x22xdx
111
201x2
dx
1
01x22x
dx
012x12dx
2dx
012x12
12arctan2x
0112arctan2x
12
0
例4（上海理工大学2003年）已知积分
sinxdx,计算
x2
sinx
0x
2
dx.
2
sinx
dx
x
21
sin2xd（x1）
sin2x
2sinxcosx
dx
0x
lim
a0
b
sin2xb
sin2x
2x
（2x）
lim
a0
b
sin2b
b
2
sina
2
lim
a0
b
sin2b
b
2
sina
a2
a
例5（兰州大学
2005年）求
1
ln
0
xdx.
1
解首先判断积分lnxdx反常性。
0
因为lnx在[0,1]上有间断点
0，
并且
limlnx
x0
，所以积分
1
0lnxdx是反常积分。
1
lnxdx
0
lim
a0
1
lnxdxa
lim
a0
xln
1
xdlnx
a
lim
a0
xlnx
1
dxa
lim
0
alna
lim1a
a0
lim
a0
alna
lim
a0
lnalima01a
lim
a0
1a
1a21
（2）反常积分的收敛性判别
1（数学
（一）2010年）设m,n为正整数，则反常积分lnn（x1）的
0nx
收敛性
A.
仅与m的取值有关；B.仅与n的取值有关;C.与m,n的取值都有
关；D.
与m,n的取值都无关.
dx可能有两个瑕点0,1.所
选D.理由如下：
反常积分01lnn（1xx）
1mln2（1x）
0
dx
n
x
cmln2（1x）
0
ndxx
1mln2（1x）
nx
dx,
其中0
c1.
（1）
先讨论积分
mln2（1x）
ln（1x）dx的收敛性.
nx
因为lim
x0
mln2（1x）
nx
lim
x0
m2
x
nx
21
xmn，所以当
21时，x0不mn
mln2（1x）
nx
dx的瑕点，进而
cmln2（1x）dx收敛.当21时，
mn
nx
x0
cmln2（1x）
dx
的瑕
由于
lim
x0
mln2（1x）
lim
x0
1
xn
nx
21,由瑕积分比较判别法知m
cmln2（1x）dx收敛.
0
nx
1mln2（1x）dx的收敛性
再讨论
cnx
1mln2（1x）dxcnxdx
m2ln2tlimt0n1t
p
可找到满足0
limt
t0
1mln2tm
n1t
12t2n1t
0c
其中0c
.由瑕积分的敛散性判定的比较法则知
1mln2（1x）dxc
nx
收敛.
综上所述,
反常积分1ln（x1）的收敛性与0
nx
m,n的取值都无关.
例2（汕头大学
2003年）判断无穷积分
0
1
（11x）pdx的敛散性,并证明
你的结论.
解因为
p
x
1
x）p
lim
x
1x
lim
x
1,所以,
当p1时,
dx收敛,当
p1时,
（1x）
pdx发散.
2
例3（中山大学2007年）判断积分x2exdx.
解因为
limx2x2ex
x
4lim2xxxe
lim
x
4x3
x2
2xe
lim
x
2x2
x2
e
4x2xlimx2xlimx2x2xexxex
0.
所以,由比较判别法知积分
2xe0
x2
xdx收敛.
例4（中国地质大学2005年）
解因为lim
1
1
xplnxq
讨论1
所以
dx
p
x
lnxq
（p,q0）的敛散性.
1是
dxxpln
xq
的瑕点.将
dx
xplnxq
dx
xplnxq
edx
1xplnxq
为lim（x
x1
1）qp1qpqx（lnx）
所以由瑕积分收敛的比较判别法知
面讨论反常积分I2
的敛散性.
（1）
1时
xlimxxp（lnx）q
I2收敛.
dxexpln
lim（x
x1
xq
1）q
1时
I1
I2.
xp（x1）q
I1收敛,当q
p1
lim
x1
x1p1,
1时I1发散.
则由
xlim（ln1x）q
q0和p1,反常积分（lnx）q
（2）当q
1时,如果p
1,则e
dx
dx
xplnxq
lnxq
收敛,即反常
积分I2收敛.
（3）当q1时,如果p1,不好判断.
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