数学分析考研真题答案Word文档下载推荐.doc

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（3）计算极限.（4分）

证：

（1）∵，∴，：

.……2分

利用三角不等式，得……5分

而（∵常数）……7分

对上述的，，：

.……9分

.……11分

取，则，当时，有

.

∴.……13分

（2）不一定.……1分

反例：

数列，.有，但数列发散.……3分

（3）∵……2分

∴……4分

二、（12分）如果函数在上可导，且，，试证：

在区间内存在唯一的，使得.

由已知，在上可导.在上应用Lagrange中值定理，得

，，……5分

，……7分

由零点存在定理，存在，使.……9分

再证零点唯一，只要证函数在上单调，而由，即知在上严格单调减少，从而上述是唯一的.……12分

三、（12分）求函数的不定积分.

解：

时，……3分

时，……6分

得出……8分

……12分

四、（10分）计算.

……4分

……5分

……9分

……10分

五、（12分），试求

（1）；

（8分）

（2）.（4分）

（1）……3分

……8分

（2）……4分

六、（10分）证明积分关于一致收敛.

∵，………4分

而收敛，………8分

由判别法，知积分对一致收敛.………10分

七、（21分）判断下列三个小题中级数的敛散性.（每小题7分）

（1）；

（2）；

（3）.

解:

（1）由………3分知收敛；

发散；

………5分

时收敛，发散.………7分

（2）由，（或）………4分

而收敛，知收敛.………7分

（3）由,………4分

发散，知发散.………7分

八、（25分）设函数

（1）计算函数的偏导数；

（10分）

（2）问函数点是否连续？

是否可微？

（3）问偏导函数在点是否连续？

（7分）

（1）……3分

=……8分

对称地，……10分

（2）在点可微，从而在点也连续……3分

因为，，.，.

所以，……7分

即.

∴点可微.……8分

（3）偏导函数在点不连续.……2分

因为极限不存在：

由不存在，即知

（或由沿直线时极限不存在，即知）

所以在点不连续.……6分

同理，点也不连续.……7分

九、（12分）计算曲线积分，其中是以点为中心，为半径的圆周（），取逆时针方向.

，则，

在不含原点的区域上积分与路径无关.……2分

当时，由Green公式，得.……4分

当时，取足够小的椭圆，使之含于内，取逆时针方向，

由Green公式：

，……8分

∴.……12分

十、（16分）解答以下两个小题：

（1）证明；

（2）计算.（8分）

证:

（1）∵……3分

令……5分

而

∴……8分

（2）……2分

……4分

……6分

.……8分

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