数值分析课后习题答案Word格式文档下载.doc

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（1）

（2）

（3）

（4）

7、计算的近似值，取。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

解：

计算各项的条件数

由计算知，第一种算法误差最小。

在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

解：

浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；

离原点越远，分布越稀疏。

一般浮点数集的分布也符合此规律。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

此算法是数值稳定的。

第二章习题解答

1.

（1）Rn×

n中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。

（2）Rn×

n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×

ｎ的正交矩阵。

证明A-1也是ｎ×

证明：

（2）A是ｎ×

ｎ的正交矩阵

∴AA-1=A-1A=E故（A-1）-1=A

∴A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1=E故A-1也是ｎ×

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异∴A可逆且A-1非奇异

又AT=A∴（A-1）T=（AT）-1=A-1

故A-1也是非奇异的对称阵

设A是单位上（下）三角阵。

证A-1也是单位上（下）三角阵。

A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为（bij）n×

n

由AA-1=E，则（其中j＞i时，）

故bnn=1,bni=0（n≠j）

类似可得，bii=1（j=1…n）bjk=0（k＞j）

即A-1是单位上三角阵

综上所述可得。

Rn×

2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。

A=

解：

A=～～～

故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为，

3.求以下矩阵的特征值和特征向量。

A1=，A2

A1=，|I-A1|==

，

解（1I-A）x=0得

解（2I-A）x=0得

4、已知矩阵，求A的行空间及零空间的基。

5、已知矩阵，试计算A的谱半径。

6、试证明，其中

。

7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐标，其中1=（1，1，1，1）T，2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。

由x=sy得y-4=s-1x=

8、在中向量，取基，求。

9、已知R3中两组基

S1={1，2，3}=，S2={1，2，3}=

①求从S1到S2的过度矩阵；

②设已知u=（2，1，2）TR3求u在S1下的坐标和u在S2下的坐标。

①A=S1-1S2=

②对u=（2，1，2）T

在S1下，由u=S1x可求出x=S1-1u=

在S2下，由u=S2x可求出x=S2-1u=

10.已知A=，求dim（R（A））,dim（R（AT））,dim（N（A））.

A=

dim（R（A））=dim（R（AT））=r（A）=2

dim（N（A））=n-r=4-2=2

11、已知A=span{1,ex,e-x},D=是X上的线性变换，求

①D关于基S1={1,2ex,3e-x}的矩阵A；

②D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B。

①由Dx=S1A,设A=[X

（1），X

（2），X（3）]

D

（1）=0，0=S1X

（1）=0·

1+0·

2ex+0·

3e-x,X

（1）=（0,0,0）T

D（ex）=ex,ex=S1X

（2）=0·

1+·

3e-x,X

（2）=（0,,0）T

D（e-x）=-e-x,-e-x=S1X（3）=0·

2ex+·

3e-x,X

（2）=（0,0,）T

②类似的可得D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B为

12、已知线性变换T：

P2（t）→P3（t）,定义T为T（P（t））=求线性变换T在基偶（S1={1,t,t2},S2={1,t，t2/2,t3/3}）下的矩阵。

设所求矩阵为A，则有TS1=S2A

T

（1）=

T（t）=

T（t2）=

13、设ARm×

n,定义从Rn到Rm的变换T为T：

xRn→y=AxxRm

试证明T是线性变换。

，有

故，由定义知，T是线性变换。

14、已知R3中取基S1=，R2中取基S2=。

线性变换T：

R3→R2定义为x=（x1，x2，x3）TR3，Tx=（x2+x3，x1+x3）TR2.

求①T在（S1，S2）下的矩阵A；

②设u=（2，-3，2）TR3，u在S1下的坐标和Tu在S2下的坐标。

①由题知，T（S1）=S2A

②对u=（2，-3，2）T在S1下

由可求出

在S2下

15、求由向量1=（1，2，1）T与2=（1，-1，2）T张成的R3的子空间X=span{1,2}的正交补（即所有与X垂直的向量的全体）。

解：

令解得

故=

16、试证明若{1，2，…，t}是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则1，2，…，t必线性无关。

假设存在使

两边与作内积得

又（因故

故1，2，…，t必线性无关。

17、计算下列向量的‖x‖∞，‖x‖1和‖x‖2。

①x=（3，-4，0，3/2）T

②x=（2，1，-3，4）T③x=（sink,cosk,2k）Tk为正整数。

①‖x‖∞=

②‖x‖∞=

③‖x‖∞=

18、

20、

21、试计算，，，其中m,n是正整数。

22、已知，试计算，，，。

23、在上，由构造带权的首1正交多项式，和。

24、给出点集及权，试构造正交函数组，和。

25、。

26、试求矩阵A的三角分解A=LU。

A=

对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。

A=

对选列主元的

27、已知向量，试构造Gauss变换阵将向量x变为。

28、已知向量x=（1，2，2）T，y=（0，3，4）T。

试构造Huuseholder阵H使Hx为y的倍数，即Hx=ky。

给出变换阵H和系数k。

29、对矩阵A=，用Huuseholder变换将A相似约化为三对角阵，即HAH为三对角阵。

将向量变换为，则

构造H阵为

30.已知矩阵A=，使用①Schmidt正交化法和②Huuseholder方法对A正交分解A=QR。

①A=Schmidt正交化

，

②用Householder变换法

先将变为,则

第三章习题解答

1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解。

（1）经初等行变换化为

当时，方程组有解，解为

（2）经初等行变换化为

2.证明下列方程组Ax=b

当

（1）时无解；

（2）时有无穷多组解。

（1）r（A）=3r（A,b）=4当时无解；

（2）r（A）=3,r（A,b）=3当时有无穷多组解。

3.用列主元高斯消元法求解Ax=b

（1）x=（2,-2,1）T

（2）x=（0,-7,5）T

4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。

设是上（下）三角方阵，即

设A的逆为其中为的代数余子式，

由于是上三角方阵，所以

当时，所以为上三角方阵。

5.用Gauss-Jordan法求解下列矩阵的逆矩阵。

解

（1）

6.以已知矩阵A=，试对A进行cholesky分解A=L1L1T,并利用分解因子阵L1求A的逆矩阵A-1=（L-1）T（L-1）.

解:

A==

j=1时,l11=1,l21=2,l31=6

j=2时,l22==1,l32=（a32-l31l21）/l32=3;

j=3时,l33==1

L=L-1=

A-1=（L-1）T（L-1）==

7.已知线性方程组

试用Cholesky分解求解问题

（1），用对称分解求解问题

（2）。

（8）A===LLT

解Ly=b,得y=[2.1213,-1.2247,-0.0000]T

解LTx=y得x=[1,-1,0]T

（2）

A==

=LDLT

解Lz=b,得z=[2.0000,0.6000,-0.7143,0.8334]T

解Dy=z,得y=[0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999]T

解LTx=y得x=[1,1,1,1]T

8．设A是对称正定阵，试证明不选主元的Cholesky分解的计算过程是数值稳定的。

综合以上得到结论：

在Cholesky分解中，不选主元的计算分解式的元素的数量级不会增长，能得到控制，且恒正，因此，这是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。

9.求解以下三对角方程组

（1）

A===LU

解Ly=b,得y=[1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T

解Ux=y得x=[1,1，-1,-1]T

解Ly=b,得y=[1，2.5，-2，-2]T

解Ux=y得x=[0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333]T

10.

证：

11．试求解周期三对角方程组

12．试计算

13．为正整数，求

14.设方程组Ax=，其中A=，=

①计算，判断方程组是否病态。

②用全主元消元法求解，结果如何？

③用105除第一个方程所得方程组是否病态？

①105+1又

==（1+105）=〉〉1

该方程组是病态

②用全主元消元法求解。

=

=〉〉1

出现大数吃小数的现象，结果失真。

③用105除第一个方程得：

A1=

，=

方程组是良态的。

15．设n阶对角矩阵,试计算det（A）和cond（A）2结果说明什么。

行列式小并不能说明矩阵是病态的。

16.已知（2.0，0.1）T是以下方程组的计算解，=（1.0，1.0）T是精确解，

求剩余，，，并分析此结果。

（3）

（4）

由计算可知道，该方程组是病态的，相对剩余量为0.053，相对误差为0.95。

由于相对误差很大，所以相对剩余量虽小，并不能反映近似解的近似程度。

17．有线性方程组Ax=b，其中

试对A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程组。

解Qy=b,得y=[10-5-5]T

解Rx=y得x=[1-11]T

18.设非奇异，有扰动使，若是方程组的解，是方程组的解，，试证明：

19．设方程组的系数矩阵分别为

考察求解此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

Jacobi迭代不收敛。

Gauss-Seidel迭代收敛。

Jacobi迭代收敛。

20．设方程组

①若用迭代法和迭代法求解方程组是否收敛？

②若将方程组交换方程次序如何？

①

用迭代法：

BJ=D-1（L+U）=

所以迭代法发散。

迭代法：

BG=（D-L）-1U=

所以迭代法发散。

②交换次序，则

用迭代法：

所以迭代法收敛。

21.已知方程组

若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值，需要迭代多少次上述两种方法的误差小于。

Jacobi迭代至少需要迭代12次。

Gauss-Seidel迭代至少需要迭代10次。

22.根据Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子加速收敛的方法，同样对Jacobi迭代法也用松弛因子加速，给出迭代计算的分量形式和矩阵表达式。

整理得分量形式

矩阵形式

23.已知试分别导出求解的迭代法和迭代法收敛的充要条件。

BJ=D-1（L+U）=

时方程组收敛，条件是：

时方程组收敛，条件是：

24.设A为对称正定阵，其特征值，试证明：

当满足时，迭代格式，（）是收敛的？

由于是A的特征值，则的特征值为

当时收敛，

此时则有：

25．

26.设是严格对角占优阵，试证明用SOR方法求解Ax=b，取时是收敛的。

设

即

又

所以SOR法当时是收敛的。

27.设有方程组

（1）写出用SOR方法求解的分量计算式；

（2）求出最佳松弛因子；

并用计算两步，取。

（1）SOR法

28.用共轭斜量法求解，其中

29．试证明对于最速下降法，相邻两次的搜索方向是正交的，即

30.已知一组线性无关向量,由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的A-共轭向量组，其中

第四章习题解答

1、求下列矩阵的满秩分解。

因为的秩为2，可求出满秩分解为

又因为的秩为2，可求出满秩分解为

2、根据定义求下列矩阵的广义逆。

（1）先求出的一个满秩分解。

因为的秩为1，可求出满秩分解为

于是有

最后得

（2）先求出的一个满秩分解。

3、证明下述广义逆矩阵的性质，设。

（1）；

（2）；

（3）。

（1）因为由定义可得

故由广义逆的定义可知。

（2）。

4、应用逐列递推法求以下矩阵的广义逆矩阵。

将分块，其中

（1）k=1，取的第一列

（2）k=2，取的第二列和。

于是得

（3）k=3，取的第三列和。

于是得到

5、用广义逆矩阵求解如下矛盾方程组。

先求出的一个满秩分解。

故原方程组的解为

6、用正交分解法求解矛盾方程组的最小二乘解。

故原方程组的最小二乘解为

7、

8、求以下方程组的通解。

故原方程组的通解为

9、若，验证。

，故。

10、证明：

若为列满秩矩阵，则；

若为行满秩矩阵，则。

（1）若为列满秩矩阵，则有

由广义逆的定义知，

（2）若为行满秩矩阵，则有

11、

12、若是列正交矩阵，试证明。

若是列正交矩阵，显然为列满秩矩阵，则

又，故。

13、已知

14、试证明对称矩阵的广义逆矩阵仍然是对称的。

，，

即对称矩阵的广义逆矩阵仍然是对称的。

第五章习题解答

1、给出数据点:

（1）用构造二次插值多项式,并计算的近似值。

（2）用构造二次插值多项式,并计算的近似值。

（3）用事后误差估计方法估计、的误差。

（1）利用,作插值函数

代入可得。

（2）利用,构造如下差商表：

一阶差商

二阶差商

１

９

３

１５

４

６

－９

－４

于是可得插值多项式：

（3）用事后误差估计的方法可得误差为

◆

2、设插值基函数是

试证明:

①对,有

　　　②

其中为互异的插值节点。

①由插值多项式的误差表达式知，对于函数进行插值，其误差为，亦即精确成立，亦即。

②分别取被插值函数，当时插值多项式的误差表达式，即，亦即，对于，由①可知结论成立；

对于时，特别地取，则有；

而当时知其插值误差为，于是有，即，特别取可得，证毕。

3、试验证插值多项式满足。

由插值多项式

可知◆

4、已知，求函数的阶差商。

由差商和函数值的关系式可知，当时总有

◆

5、若，试证明：

由差商定义

◆

6、若已知，求和。

由向前差分、中心差分和函数值的关系可得

7、考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于，最大步长应取多大？

由等距分段线性插值的误差表达式

从而可得

8、考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分段插值的误差不大于，最大步长应取多大？

由等距分段插值的误差表达式

9、对函数，取节点，且已知；

①试对构造二次插值多项式

确定上式中基函数。

②若要使存在且唯一，插值节点应满足什么条件？

①依题意，二次多项式基函数应分别满足：

（1）

（2）

（3）

由

（1）

（2）（3）可得

②由

（1）

（2）（3）可知欲使存在且唯一，只需且必须插值节点互异且。

10、设，证明：

其中。

令二次多项式

则易见满足：

于是满足：

因而，引入辅助函数，则共有四个零点，依广义定理，存在满足：

从而，。

证毕。

11、设为插值基函数，，试证明：

①

②

由插值，其误差表达式

，故对于次数不高于一次的多项式函数有，从而，特别地取，分别可得

①；

12、试构造一个三次多项式逼近函数，满足以下条件。

取，由插值，，其中

13、试判断下面函数是否为三次样条函数：

据三次样条函