反比例的意义.docx
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反比例的意义
反比例的意义
教学内容：
青岛版小学数学六年级下册46--48页第三单元，信息窗3第1课时。
教学目标：
1.经历反比例意义的构建过程，培养学生的探索发现能力和归纳概括能力。
根据反比例的意义，正确判断两个相关联的量是不是成反比例。
2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生分析、判断、概括能力；渗透初步的函数思想，建立事物是相互联系的这一辨证观点。
3.利用反比例解决一些简单的实际问题，感受反比例在实际生活中的广泛存在及应用。
教学重难点：
教学重点：
理解反比例的意义，正确判断成反比例的量，利用反比例解决一些简单的实际问题。
教学难点：
引导学生通过观察、发现，思考反比例关系中两种相关联的量的变化规律。
教学具准备：
多媒体课件
教学过程：
一、创设情景，提出问题。
1.回顾旧知，感受新知
同学们，上节课我们学习了有关正比例的知识，请回忆一下，怎样判断两个量是成正比例关系的量呢？
学生先独立思考，再与同桌相互说一说，最后全班汇报。
整理：
判断两个量成正比例具备的三个特征
一是两个相关联的量；
二是两个量的变化方向相同；
三是两个量的比值相同。
事物的发展存在两面性，既有正比例的关系也应存在反比例的关系。
引入新课并板书课题。
反比例
2.猜想：
请同学们根据成正比例的量的特征来猜想一下成反比例的量有什么特征？
学生独立思考，然后同桌之间交流。
教师请学生代表发言，并总结引入下面我们就带着我们的猜想来进行今天的学习。
3.情境导入，提出问题
今天我们继续走进啤酒厂，看看能有哪些新收获。
课件出示课本情境图：
（1）学生观察情境图，完整的说说图中的信息；
（2）根据所获得的的信息提出问题。
教师根据学生的提问，引导并选择性板书：
每天的生产吨数与需要生产的天数这两种量有什么关系呢？
啤酒厂一共要生产多少吨啤酒？
二、自主学习，小组探究。
利用图表，观察并分析数据，讨论探索变化。
课件出示表格：
学生仔细观察，先独立思考，再在小组内交流自己的发现。
温馨提示:
（1）生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？
（2）计算出啤酒厂一共要生产多少吨啤酒，看看有什么发现。
（3）在这个变化过程中，哪个量没有发生变化？
学生小组讨论交流，教师参与到学生探究活动中，倾听并指导学生探究。
引导学生初步感知“每天生产的吨数和需要的天数”这两种量的变化：
每天生产的吨数越多，需要的天数就越少，每天生产的吨数越少，需要的天数就越多。
进而得出需要的天数是随着每天生产的天数的变化而变化的。
教师巡视指导，找出学习效果较好的小组准备汇报。
三、汇报交流，评价质疑。
再次出示探究要求，对照要求学生逐一汇报，其他小组补充完善。
（1）生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？
（2）计算出啤酒厂一共要生产多少吨啤酒，看看有什么发现。
（3）在这个变化过程中，哪个量没有发生变化？
1.汇报交流,探索变化
小组代表汇报，其他小组认真倾听，随时补充完善。
（1）我们发现：
每天生产的吨数增加，需要的天数就减少；每天生产的吨数减少，需要的天数就增加。
老师根据学生的回答利用课件进行动态演示：
或者举例说明每天生产的100吨扩大2倍变成200吨，那么需要的天数就是60天缩小2倍变成30天；同样每天生产的吨数缩小几倍，需要的天数也就扩大几倍。
“需要的天数”与“每天生产的吨数”两者之间的变化规律恰好相反。
展示学生作品：
2.计算比较，探索定值
（2）我们计算出啤酒厂一共要生产6000吨啤酒，即：
100×60＝6000（吨）200×30＝6000（吨）
300×20＝6000（吨）400×15=6000（吨）
500×12=6000（吨）……
（3）我们发现无论每天生产的吨数和所需的天数如何变化，这批啤酒的总吨数都没有变化，都是6000吨。
教师引导提问：
6000是哪两个量对应数据的乘积？
把这个关系式写出来。
课堂预设：
每天生产的吨数×需要生产的天数＝总吨数
质疑：
在这个关系式中，总吨数不变，那么它是个什么量？
总吨数不变，在数学上叫做一定，也就是每天生产的吨数和需要生产的天数的积（总吨数）是一定的。
即：
每天生产的吨数×需要生产的天数＝总吨数（一定）
3.借助对比，理解意义
质疑：
想一想这种变化关系和成正比例关系的两个量间的变化规律有什么异同点？
学生思考，再与同桌相互说说，最后全班交流。
（1）相同点：
都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；
（2）不同点：
①变化规律不同，正比例关系的两个量的变化规律相同，而这里的两个量的变化规律相反；②正比例关系的两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，而这里是乘积一定。
四、抽象概括，总结提升。
1.概念归纳
通过我们的探究得知，这种变化关系也具备了三个特征：
①有两个相关联的量，②这两个量的变化规律相反，③这两个量的乘积相同。
每天生产的吨数和需要的天数是两种相关联的量，每天生产的吨数变化，需要的天数也随着变化。
总吨数不变，也就是每天生产的吨数与需要的天数乘积一定，我们就说每天生产的吨数和需要的天数是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系也可表示为：
x×y=k（一定）
2.明确判断方法
根据反比例的意义，类比正比例的判断方法，我们发现判断两个相关联的量是否成反比例，首先要抓住它的本质，探索其变化规律；同时也要抓住其要点，即判断其乘积是否一定。
总结为：
①必须有两个相关联的量。
②写出关系式。
③乘积是不是一定。
3.联系生活，生活中还有哪两种量成反比例的关系？
（2）学生举例
（1）教师举例
生活中成反比例的两个量是比较多的，比如一辆汽车行驶的路程一定，行驶的速度和时间成反比例。
因为速度×时间=路程（一定）
买苹果的总价一定，苹果的单价和数量成反比例，因为单价×数量=总价（一定）。
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，因为工作效率×工作时间=工作总量（一定）……
4.举例比较正比例和反比例：
思考：
单价、数量、总价这三个量每两个量之间有什么关系？
（1）当单价一定时，总价和数量成正比例。
（2）当数量一定时，总价和单价成正比例。
（3）当总价一定时，单价和数量成反比例。
5.通过讨论归纳出正比例和反比例的相同和不同特点。
正比例
反比例
相同点
1.是两种相关的量。
2.一种量变化另一种量也变化。
1.是两种相关联的量。
2.一种量变化另一种量也变化。
不同点
1.变化方向相同。
2.相对应的两个量比值（商）是一定的。
1.变化方向相反。
2.相对应的两个量乘积是一定的。
五、巩固应用，拓展提高。
1．
教材47页自主学习第1题。
温馨提示：
先算出每组对应数据的乘积，找到哪一种量是不变的，再结合反比例的意义进行判断：
因为每页的字数×页数=总字数（一定），所以每页的字数和页数成反比例。
2.教材47页自主练习第2题。
已知x和y成反比例关系，请填写下表。
温馨提示：
x和y成反比例关系说明什么？
让学生明确解决这道题目，要抓住反比例的关键，得出乘积一定即x×y=8×4=32。
3．教材47页自主练习第3题。
判断下面各题中的两种量是不是成反比例，说说你的理由。
（1）煤的总量一定，每天的烧煤量与烧煤的天数。
（2）长方形的面积一定，它的长与宽。
（3）学校计划植500棵树，已植的棵数与未植的棵数。
（4）飞机从北京飞往上海，飞行的速度与需要的时间。
学生先独自判断，再集体订正，重点说说成与不成反比例关系的理由。
教师可引导：
（1）每天的烧煤量×烧煤的天数=煤的总量（一定）
（2）长×宽=长方形的面积（一定）
（3）已植的棵树＋未植的棵树=500棵（一定），不是乘积一定。
（4）速度×时间=路程（一定）
4.教材47页自主练习第4题。
印刷厂用6000张纸装订练习本。
先填写下表，再思考每本的页数与装订的本数有什么关系。
学生独立完成，指名学生口答，说明理由。
重点让学生明确：
在本题中哪些量是变化的？
哪个量是不变的？
这两种相关联的的量是如何变化的？
再让学生用关系式来表示这两种变量间的关系。
5.小华看一本书，已看的页数和剩下的页数如下表，把下表补充完整。
想一想已看页数和剩下页数能不能成反比例？
为什么？
已看页数
20
50
100
120
150
……
剩下页数
180
150
这道题实际是判断题第三小题（学校计划植500棵树，已植的棵数与未植的棵数。
）的进一步解释。
明确：
虽然是剩下的页数随着已看页数的变化而变化，总页数也一定；但是已看页数与剩下页数的和一定，所以不成反比例关系，同样也不成正比例。
6、达标检测
1.判断每题中两种量是不是成比例，为什么？
（1）橘子的单价一定，购买数量与总价。
（2）圆柱的体积一定，它的底面积与高。
（3）小明上学，已经走的路程与剩下的路程。
（4）小华看一本书，每天看的页数与看的天数。
（5）圆的面积与它的半径。
2.按要求填表。
x与y成反比例，并且xy=48。
X
12
8
4
16
2
1
Y
4
6
12
3
24
48
全课总结：
这节课学习的是什么内容?
反比例关系的意义是什么?
判断两种量是不是成反比例，关键是什么?
学生自我整理，汇报。
教师根据学生回答，进一步强调：
本节我们初步了解了反比例的意义，并能运用反比例的意义判断一些简单的问题。
通过正、反比例意义的对比，使我们进一步认识到，要判断两种相关联的量是否成反比例的关系，要抓住两种相关联的量的变化规律，这是本质。
板书设计：
反比例的意义
关系
异同点
正比例
反比例
不同点
1.两个量的变化规律相同
2.两个量的比值一定
（关系式：
＝k）
1.两个量的变化规律相反
2.两个量的乘积一定
（关系式：
xy＝k）
相同点
都是两个相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化
设计说明：
1.教学反思：
回味课堂，我感觉亮点之处有：
（1）温故知新，渗透难点。
联系旧知，抓住概念与旧知之间的联系，在联系中渗透重点难点，为引出概念打下伏笔，减轻学生理解概念的困难程度，使得学生对概念的理解轻松有效。
（2）重概念的形成过程，加强思维训练。
数学上，学习概念的最终目的是应用于实际，灵活解决实际问题，而实现这个目标归根结底依赖于对概念的本质理解。
本节课注重在得出概念之前下功夫，设计多种教学环节，利用各种教学手段使学生充分体验得出反比例的思维过程，先做到对反比例本质的理解，再顺理成章的引出反比例的理论---用语句表达。
（3）重知识的迁移。
《反比例的意义》是继《正比例的意义》一课后学习的内容，两节课的学习内容和学习方法有相似之处，比较适合使用比较法。
教师知识起到引导、点拨的作用，放手让学生对于相似的内容，从知识的差别中找到同一，从同一中找出差别，把新知识深化拓展。
2.使用说明：
反比例关系是一种重要的数量关系，它渗透了初步的函数思想，又为中学数学的反比例函数的教学奠定基础。
本节课在教学时师生互动、生生互动、知识点的生成与强化，任务较多。
因此小组活动要出效果，教师巡视时要多观察、多指点，典型发言的同学要给其他同学一个规范地引领。
3.困惑：
学生在判断两个量是否成正、反比例关系时，对于两个量的比值或是积表示的意义在表达上有一定的难度。
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