解析：
速度最大时，牵引力最小，在量值上等于阻力。
所以
，以速率v2运动时，由牛顿第二定律有：
F-f=ma
其中
，
得
【例10】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。
若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变。
求：
①汽车所受阻力的大小。
②3s末汽车的瞬时功率。
③汽车做匀加速运动的时间。
④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。
解析：
①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。
以最大速度行驶时，根据P=Fv，可求得F=4000N。
而此时牵引力和阻力大小相等。
②由于3s时的速度v=at=6m/s，而牵引力由F—Ff=ma得F=8000N，故此时的功率为P=Fv=4.8×104W。
③设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v=at=2t，这时汽车的功率为额定功率。
由P=Fv，将F=8000N和v=2t代入得t=5s。
④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵引力的功为W=Pt=40000×5J=2×105J.
点评：
③中的时间，有的学生用v=at，得t=vm/a=10s，这是错误的。
要注意，汽车不是一直匀加速到最大速度的。
【例12】质量为0.5kg的物体从高处自由下落，在下落的前2s内重力对物体做的功是多少？
这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？
2s末，重力对物体做功的即时功率是多少？
（g取
）
解析：
前2s，
m，
，
平均功率
W，
2s末速度
，
2s末即时功率
W。
第四章第一节功和功率
一、单项选择题
1．如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功少
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
解析：
选D.由功的公式W＝Fscosα可得力F对物体m做的功W＝Fs，与有无摩擦无关，与物体是加速、减速还是匀速也无关，因此只有D正确．
2．（2011年陕西地区八校联考）一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝T时刻F的功率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B.T时刻的功率为瞬时功率，用P＝F·v求解．木块加速度a＝
，T时刻速度v＝aT＝
，所以P＝Fv＝
，故选项B正确．
3．（2011年三明市第一次联考）如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体的做功情况不可能是（ ）
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
解析：
选B.设传送带速度大小为v1，物体刚滑上传送带时的速度大小为v2.
①当v1＝v2时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功，A正确．
②当v1＜v2时，物体相对传送带向右运动，物体受到的滑动摩擦力方向向左，则物体先做匀减速运动直到速度减为v1，再做匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功，D选项正确．
③当v1＞v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动直到速度达到v1，再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功，C正确．
4．起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是（ ）
解析：
选A.由速度图象知重物先匀加速再匀速后匀减速运动，由牛顿第二定律知，在匀加速过程有F1－mg＝ma1，F1为恒力且大于mg，拉力的功率P1＝F1v＝F1at；在匀速过程有F2＝mg，拉力的功率P2＝F2v0为定值；在匀减速过程有mg－F3＝ma3，F3为恒力且小于mg，拉力的功率P3＝F3v＝F3（v0－at），功率逐渐减小到0；可知A正确．
5．（2010年厦门市质检）2009年12月福厦动车组进入试运行阶段．把动力装置分散安装在每节车厢上，使其既具有牵引动力，又可以载客，这样的客车车厢便叫做动车．而动车组就是几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢编成一组，就是动车组．带动力的车厢叫动车，不带动力的车厢叫拖车．如图所示．设动车组运行过程中的阻力与质量成正比，每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率都相等，若开1节动车带3节拖车时，最大速度为120km/h；改为开5节动车带3节拖车时，最大速度为（ ）
A．60km/hB．240km/h
C．300km/hD．600km/h
解析：
选C.由P＝Fv和题意得P＝k4mgv1、5P＝k8mgv2得v2＝300km/h，C选项正确．
6．（2009年高考海南卷改编）一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示．设该物体在t0和2t0时刻相对于出发点的位移分别是s1和s2，速度分别是v1和v2，合外力从开始至t0时刻做的功是W1，从t0至2t0时刻做的功是W2，则（ ）
A．s2＝5s1 v2＝5v1
B．s2＝9s1 v2＝5v1
C．s2＝5s1 W2＝8W1
D．v2＝3v1 W2＝9W1
解析：
选C.设t0时刻前后的加速度分别为a1、a2，则a2＝2a1，所以v1＝a1t0，v2＝v1＋a2t0＝3v1；s1＝
a1t
，s2＝s1＋v1t0＋
a2t
＝5s1；W1＝F0s1，W2＝2F0（s2－s1）＝8W1，故选项C对，A、B、D错．
7．（2011年北京西城区高三抽样测试）如图甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．通过力传感器和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙所示．取g＝10m/s2.则（ ）
A．物体的质量m＝1.0kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2
C．第2秒内物体克服摩擦力做的功W＝3.0J
D．前2秒内推力F做功的平均功率
＝1.5W
解析：
选D.物体在第3秒内做匀速运动，则有F3＝μmg＝2N，第2秒内物体做加速运动，有F2－μmg＝ma，其中加速度为a＝
＝2m/s2，解得m＝0.5kg，μ＝0.4.第2秒内的位移为1m，克服摩擦力做功为W＝μmgs＝2.0J．前2秒内拉力做功为3J，则平均功率为1.5W.
8．（2011年福建清流质检）一辆汽车做直线运动，t1s末关闭发动机，t2s末静止，其v－t图如图所示．图中α<β，若汽车牵引力做功为W，平均功率为P，汽车加速过程和减速过程中克服摩擦力做功分别为W1和W2，平均功率分别为P1、P2，则下列判断错误的是（ ）
A．W＝W1＋W2 B．W1>W2
C．P＝P1＋P2D．P1＝P2
解析：
选C.汽车在运动的过程中所有力做功的代数和为零，W－W1－W2＝0，所以W＝W1＋W2，选项A正确．由于汽车在0～t1s内的位移大于t1s～t2s内的位移，所以W1>W2，选项B正确．因为0～t1s与t1s～t2s内的平均速度相同，所以P1＝P2，选项D正确.0～t1s与t1s～t2s时间不等，故P≠P1＋P2，选项C错误．
9．下列反映汽车从静止匀加速启动，最后做匀速运动的速度随时间，加速度、牵引力和功率随速度变化的图象不正确的是（ ）
解析：
选B.汽车先匀加速运动，再做加速度减小的加速运动，最后匀速运动，A对；B中，加速度最终要减小为0，B错；牵引力先恒定，再逐渐减小，最后和阻力平衡，C对；汽车输出功率先增大，最终保持不变，D对．
二、计算题
10．（2011年江苏南京调研）如图所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，
（1）小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ；
（2）小球在水平恒力F作用下由P点移动到Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ.
求上述
（1）、
（2）两种情况下拉力F所做的功各为多大？
解析：
（1）将小球“缓慢”地移动，可认为小球一直处于平衡状态，由平衡条件可求得：
当轻绳与竖直方向夹角为α时，F＝mgtanα，可见当α由零增大到θ的过程中，F一直增大，小球由P至Q的过程中，动能不变，增加了势能，由于绳的拉力不做功，故拉力F做的功数值应与小球克服重力做功的值相等．故有W＝mgL（1－cosθ）．
（2）当小球在恒力F作用下由P移动到Q时
由公式W＝Fscosα知力F做的功为W＝FLsinθ.
答案：
（1）mgL（1－cosθ）
（2）FLsinθ
11．（2011年江苏启东中学质检）如图甲所示，质量为m＝1kg的物体置于倾角为θ＝37°的固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力F，当作用时间为t1＝1s时撤去拉力，物体运动的部分v－t图象如图乙所示（取g＝10m/s2），求：
（1）斜面与物体间的动摩擦因数；
（2）拉力F的平均功率．
解析：
设力F作用时物体的加速度为a1，对物体进行受力分析，由牛顿第二定律有：
F－mgsinθ－μmgcosθ＝ma1
撤去力F后，设物体的加速度为a2，由牛顿第二定律有mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2
根据图象可知：
a1＝20m/s2，a2＝10m/s2
解得：
F＝30N，μ＝0.5.
（2）由图象可知：
t1＝1s时物体的速度v1＝20m/s
拉力F的平均功率为P＝
Fv1
解得：
P＝300W.
答案：
（1）0.5
（2）300W
12．（2009年高考四川卷）如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02m/s的匀速运动．取g＝10m/s2，不计额外功．求：
（1）起重机允许输出的最大功率；
（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．
解析：
（1）设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力．
P0＝F0vm，F0＝mg
代入数据，有：
P0＝5.1×104W.
（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，
有：
P0＝Fv1
F－mg＝ma
v1＝at1
代入数据，得：
t1＝5s
t＝2s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at，P＝Fv2
代入数据，得：
P＝2.04×104W.
答案：
（1）5.1×104W
（2）5s 2.04×104W
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