《同底数幂的乘法》教案 公开课Word文档格式.docx
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102）（千米）
比邻星与地球的距离约为：
107×
4.22=37.98×
107）（千米）
［师］105×
102，105×
107如何计算呢？
［生］根据幂的意义：
102=
×
=
=107
107
［师］很棒！
我们观察105×
102可以发现105、102这两个因数是同底的幂的形式，所以105×
102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，105×
107也是同底数幂的乘法.
由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法.
Ⅱ.学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质
1.做一做
出示投影片（§
计算以下各式：
（1）102×
103；
（2）105×
108；
（3）10m×
10n（m,n都是正整数）
你发现了什么？
注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述.
（4）2m×
2n等于什么？
（
）m×
）n呢，（m,n都是正整数）.
［师］根据幂的意义，同学们可以独立解决上述问题.
［生］
（1）102×
103=（10×
10）×
（10×
10×
10）=105=102+3
因为102的意义表示两个10相乘；
103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理，可求得：
108
=1013=105+8
10n
=10m+n
从上面三个小题可以发现，底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10，指数为两个同底的幂的指数和.
［师］很好！
底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢？
接着我们来利用幂的意义分析第（4）小题.
［生］（4）2m×
2n
=2m+n
）n
=（
）m+n
我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
am·
an等于什么（m,n都是正整数）？
为什么？
［师生共析］am·
an表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得
an=
·
=am+n
即有am·
an=am+n（m,n都是正整数）
用语言来描述此性质，即为：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
［师］同学们不妨再来深思，为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加呢？
即为什么am·
an=am+n呢？
［生］am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·
an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·
an=am+n.
［师］也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降低一级运算，变为相加.
Ⅲ.例题讲解
［例1］计算：
（1）（－3）7×
（－3）6；
（2）（
）3×
）；
（3）－x3·
x5;
（4）b2m·
b2m+1.
［例2］用同底数幂乘法的性质计算投影片（§
1.3A）中的问题1和问题2.
［师］我们先来看例1中的四个小题，是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢？
［生］
（1）、
（2）、（4）都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变，指数相加.
［生］（3）也能用同底数幂乘法的性质.因为－x3·
x5中的－x3相当于（－1）×
x3,也就是说－x3的底数是x,x5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.
［师］下面我就叫四个同学板演.
［生］解：
（－3）6=（－3）7+6=（－3）13；
）=（
）3+1=（
）4；
x5=［（－1）×
x3］·
x5=（－1）［x3·
x5］=－x8;
b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.
［师］我们接下来看例2.
［生］问题1中地球距离太阳大约为：
102
=15×
=1.5×
108（千米）
据测算，飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要20年.
问题2中比邻星与地球的距离约为：
1012=3.798×
1013（千米）
想一想：
an·
ap等于什么？
［生］am·
ap=（am·
an）·
ap=am+n·
ap=am+n+p;
ap=am·
（an·
ap）=am·
an+p=am+n+p;
ap=
=am+n+p.
Ⅳ.练习
1.随堂练习（课本P14）：
计算
（1）52×
57;
（2）7×
73×
72;
（3）－x2·
x3;
（4）（－c）3·
（－c）m.
解：
57=59；
72=71+3+2=76；
x3=－（x2·
x3）=－x5;
（－c）m=（－c）3+m.
2.补充练习：
判断（正确的打“√〞，错误的打“×
〞）
（1）x3·
x5=x15（）
（2）x·
x3=x3（）
（3）x3+x5=x8（）
（4）x2·
x2=2x4（）
（5）（－x）2·
（－x）3=（－x）5=－x5（）
（6）a3·
a2－a2·
a3=0（）
（7）a3·
b5=（ab）8（）
（8）y7+y7=y14（）
（1）×
.因为x3·
x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·
x5=x8.
（2）×
.x·
x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·
x3=x1+3=x4.
（3）×
.x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算.
（4）×
.x2·
x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·
x2=x2+2=x4.
（5）√.
（6）√.因为a3·
a3=a5－a5=0.
（7）×
.a3·
b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.
（8）×
.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法那么，得出y7+y7=2y7.
Ⅴ.课时小结
［师］这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
［生］在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.
［生］同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.应用这个性质时，我觉得应注意两点：
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；
二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加.即am·
an=am+n（m、n是正整数）.
Ⅵ.课后作业
课本习题1.4第1、2、3题
Ⅶ.活动与探究
计算：
2－22－23－24－25－26－27－28－29+210.
［过程］注意到210－29=29·
2－29×
1=29·
（2－1）=29，同理，29－28=28，…23－22=22，即2n+1－2n=2·
2n－2n=（2－1）·
2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·
2n.
［结果］解：
原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2=2·
29－29－28－27－26－25－24－23－22+2=29－28－27－26－25－24－23－22+2=…=22+2=6
●板书设计
一、提出问题：
地球到太阳的距离为15×
102）千米，如何计算105×
102.
二、结合幂的运算性质，推出同底数幂乘法的运算性质.
（1）105×
102=（10×
10）=107=105+2;
108=
=1013=105+8；
10n=
=10m+n;
2n=
=2m+n;
（5）（
）n=
）m+n;
综上所述，可得
（其中m、n为正整数）
三、例题：
（由学生板演，教师和学生共同讲评）
四、练习：
（分组完成）
●迁移发散
迁移运用本节课所学知识，解答以下题目：
am-3+a2m-4·
a
点拨：
先利用公式进行乘法运算，假设所得结果是同类项再进行合并.在运用公式时，a的指数是1，不要漏掉.
=am+m-3+a2m-4+1
=a2m-3+a2m-3
=2a2m-3
发散本节课会用到的以前知识：
1.幂的知识
在am中，a是底数，m是指数，am叫幂.
2.同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.
3.合并同类项法那么：
在合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
4.乘法结合律
a·
b·
c=a·
（b·
c）
运用公式时，适当地利用乘法运算律，可简化运算.
●备课资料
一、参考例题
（1）（－a）2·
（－a）3
（2）a5·
a2·
分析：
（1）中的两个幂的底数都是－a;
（2）中三个幂的底数都是a.根据同底数幂的乘法的运算性质：
底数不变，指数相加.
（－a）3
=（－a）2+3=（－a）5
=－a5.
（2）a5·
a=a5+2+1=a8
评注：
（2）中的“a〞的指数为1，而不是0.
［例2］计算：
（1）a3·
（－a）4
（2）－b2·
（－b）2·
（－b）3
底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号.
（－a）4=a3·
a4=a3+4=a7;
=－b2·
b2·
（－b3）
=b2·
b3=b7.
（1）中的（－a）4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算；
（2）中－b2和（－b）2不相同，－b2表示b2的相反数，底数为b,而不是－b,（－b）2表示－b的平方，它的底数是－b,且（－b）2=（+b）2,所以（－b）2=b2,而（－b）3=－b3.
［例3］计算：
（1）（2a+b）2n+1·
（2a+b）3·
（2a+b）m－1
（2）（x－y）2（y－x）3
分别把（2a+b）,（x－y）看成一个整体，
（1）是三个同底数幂相乘；
（2）中底不相同，可把（x－y）2化为（y－x）2或把（y－x）3化为－（x－y）3,使底相同后运算.
=（2a+b）2n+1+3+m－1
=（2a+b）2n+m+3
（2）解法一：
（x－y）2·
（y－x）3
=（y－x）2·
=（y－x）5
解法二：
=－（x－y）2（x－y）3
=－（x－y）5
（2）中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.
［例4］计算：
x3
（2）a6+a6（3）a·
a4
运用幂的运算性质进行运算时，常会出现如下错误：
an=amn,am+an=am+n.例如
（1）易错解为x3·
x3=x9;
（2）易错解为a6+a6=a12;
（3）易错解为a·
a4=a4,而
（1）中3和3应相加；
（2）是合并同类项；
（3）也是易忽略的地方，把a的指数1看成0.
x3=x3+3=x6;
（2）a6+a6=2a6;
（3）a·
a4=a1+4=a5
二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
（a－b）=－（b－a）
（a－b）2=（b－a）2
（a－b）3=－（b－a）3
（a－b）2n－1=－（b－a）2n－1（n为正整数）
（a－b）2n=（b－a）2n（n为正整数）
●方法点拨
（1）-a·
（-a）3·
（-a）2
（2）-b3·
bn
（3）（x+y）n·
（x+y）m+1
应用同底数幂的乘法公式时，一定要保证底数相同.
（1）中底数是-a,-a可看作（-a）1；
（2）中-b3可看作（-1）·
b3,这样b3与bn可利用公式进行计算；
（3）中底数是x+y,将它看作一个整体.
〔不要漏掉指数1〕=（-a）1·
=（-a）6
=（-1）·
（b3·
bn）——乘法结合律
b3+n
=-b3+n
=（x+y）n+（m+1）
=（x+y）n+m+1
（1）a6·
a6
（2）a6+a6
对于〔1〕，可利用“同底数幂的乘法公式〞计算,而第〔2〕题，是两个幂相加，需进行合并同类项，注意两者的区别.
a6=a6+6=a12
（2）a6+a6=2a6
注意区分：
同底数幂的乘法是乘法运算，且底数不变，指数相加.
而合并同类项是加〔减〕法，且系数相加，字母与字母的指数不变.
（1）8×
2m×
16
（2）9×
27-3×
34
这两道题的乘法中，底数都不相同，但可进行相应的调整，变为同底数幂，即可利用公式进行计算.而〔2〕中先进行乘法，再进行减法，注意运算顺序.
16=23×
24=23+m+4=2m+7
34=32×
33-3×
34=35-35=0
1.7平方差公式
（二）
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养根本的运算技能.
启发——探究相结合
一块大正方形纸板，剪刀.
投影片四张
想一想，记作（§
1.7.2A）
例3，记作（§
1.7.2B）
例4，记作（§
1.7.2C）
补充练习，记作（§
1.7.2D）
［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少？
［生］a2.
［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1－23）.现在我们就有了一个新的图形（如上图阴影局部），你能表示出阴影局部的面积吗？
图1－23
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余以以下列图形的面积，即阴影局部的面积为（a2－b2）.
［师］你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗？
同学们可在小组内交流讨论.
（教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法）
［生］老师，我们拼出来啦.
［师］讲给大伙听一听.
［生］我是把剩下的图形（即上图阴影局部）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面的大长方形宽是（a－b）,长是a;
下面的小长方形长是（a－b）,宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是（a－b）,我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形（阴影局部），它的长和宽分别为（a+b）,（a－b）,面积为（a+b）（a－b）.
图1－24
［师］比较上面两个图形中阴影局部的面积，你发现了什么？
［生］这两局部面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=a2－b2.
［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.
［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.
［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇〞的作用.
Ⅱ.讲授新课
［师］出示投影片（§
（1）计算以下各组算式，并观察它们的特点
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？
（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
［生］
（1）中算式算出来的结果如下
［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
［生］我猜想是.我又找了几个例子如：
［师］你能用字母表示这一规律吗？
［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,那么有（a+1）（a－1）=a2－1.
［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.
［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？
（同学们惊讶，然后讨论）
［生］a可以代表任意一个数.
同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.
［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？
（陷入沉思）
［生］例如：
计算29×
31很麻烦，我们就可以转化为（30－1）（30+1）=302－1=900－1=899.
［师］确实如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法，太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
［例3］用平方差公式计算：
（1）103×
97
（2）118×
122
［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.
［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×
97=（100+3）（100－3）=10000－9=9991.太简便了！
［生］我观察也发现了第
（2）题的“微妙〞.
118=120－2,122=120+2
118×
122=（120－2）（120+2）=1202－4=14400－4=14396.
［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.
［师］我们再来看一个例题（出示投影片§
1.7.2C）.
（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2;
（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）.
上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；
还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2
=a2（a2－b2）+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4
（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）
=（2x）2－52－（4x2－6x）
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25
注意：
在
（2）小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.
［例5］公式的逆用
（1）（x+y）2－（x－y）2
（2）252－242
逆用平方差公式可以使运算简便.
（1）（x+y）2－（x－y）2
=［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］
=2x·
2y
=4xy
（2）252－242
=（25+24）（25－24）
=49
Ⅲ.随堂练习
1.（课本P32）计算
（1）704×
696
（2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）
（3）x（x－1）－（x－
）（x+
）
（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠）
696=（700+4）（700－4）
=490000－16=489984
=（x2－4y2）+（x2－1）
=x2－4y2+x2－1
=2x2－4y2－1
=（x2－x）－［x2－（
）2］
=x2－x－x2+
－x
2.（补充练习）
解方程：
（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）=（7x+1）（x－1）
（先由学生试着完成）
（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）
=（7x+1）（x－1）
（2x）2－1+3（x2－4）=7x2－6x－1
4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1
6x=12x=2
Ⅳ.课时小结
［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.
［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.
［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.
［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a（a+1）－（a+b）（a－b）一定要先算乘法，同时减号后面的积（a+b）（a－b）,算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.
……
Ⅴ.课后作业
课本习题1.12.
Ⅵ.活动与探究
19902－19892+19882－19872+…+22－1.
［过程］先做乘方运算，再做减法，那么计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.
［结果］原式=（19902－19892）+（19882－19872）+…+（22－1）
=（1990+1989）（1990－1989）+（1988+1987）（1988－1987）+…+（2+1）（2
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