参考高中数学第1章计数原理章末分层突破学案2Word下载.docx

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【精彩点拨】　解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理．

【规范解答】　

（1）完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12（种）．

（2）完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×

4×

3＝60（种）．

（3）选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×

4＝20种选法；

同样，选外语书、物理书各1本，有5×

3＝15种选法；

选数学书、物理书各1本，有4×

3＝12种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47（种）．

应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：

1要做什么事；

2如何去做这件事；

3怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：

分类用加法，分步用乘法.

[再练一题]

1．如图11为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电．

图11

【解析】　先分三类．第一类，经过支路①有3种方法；

第二类，经过支路②有1种方法；

第三类，经过支路③有2×

2＝4（种）方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.

【答案】　8

排列、组合的应用

排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决．

（1）某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

（2）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．

①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

【精彩点拨】　按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般．

【规范解答】　

（1）因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种；

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A种方法，所以共有3A种方法；

③若乙参加而甲不参加同理也有3A种；

④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A种，共有7A种方法．

所以共有不同的派遣方法总数为A＋3A＋3A＋7A＝4088种．

（2）①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5040种方法；

第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法．

根据分步乘法计数原理，一共有5040×

24＝120960种．

②第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“□”），一共有A＝720种方法．

×

□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×

”的位置），这样相当于7个“×

”选4个来排，一共有A＝7×

6×

5×

4＝840种．

根据分步乘法计数原理，一共有720×

840＝604800种．

③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法．

解排列、组合应用题的解题策略

1．特殊元素优先安排的策略．

2．合理分类和准确分步的策略．

3．排列、组合混合问题先选后排的策略．

4．正难则反、等价转化的策略．

5．相邻问题捆绑处理的策略．

6．不相邻问题插空处理的策略．

7．定序问题除序处理的策略．

8．分排问题直排处理的策略．

9．“小集团”排列问题中先整体后局部的策略．

10．构造模型的策略．

简单记成：

合理分类，准确分步；

特殊优先，一般在后；

先取后排，间接排除；

集团捆绑，间隔插空；

抽象问题，构造模型；

均分除序，定序除序．

2．

（1）一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（　　）

A．40　　　　　　B．74

C．84D．200

（2）（2016·

山西质检）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（　　）

A．60种B．48种

C．30种D．24种

【解析】　

（1）分三类：

第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个；

第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；

第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个．由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.

（2）由题意知，不同的座次有AA＝48种，故选B.

【答案】　

（1）B　

（2）B

二项式定理问题的处理方法和技巧

对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项．另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．

（1）（2014·

湖北高考）若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）

A．2B.

C．1D.

沈阳高二检测）已知（1＋x＋x2）n（n∈N*）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.

（3）设（3x－1）6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a6＋a4＋a2＋a0的值为________．

【精彩点拨】　

（1）、

（2）利用二项式定理的通项求待定项；

（3）通过赋值法求系数和．

【规范解答】　

（1）二项式7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C（2x）7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.

（2）n展开式的通项是Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n，

由于（1＋x＋x2）n的展开式中没有常数项，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝Cxn－4r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常数，则n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因为2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5.

（3）令x＝1，

得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.

令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝（－4）6＝4096.

两式相加，得2（a6＋a4＋a2＋a0）＝4160，

所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.

【答案】　

（1）C　

（2）5　（3）2080

1．解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式．

2．解决二项展开式项的系数（或和）问题常用赋值法．

3．

（1）（2014·

浙江高考）在（1＋x）6（1＋y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）＝（　　）

A．45　　　B．60C．120　　　D．210

（2）设a∈Z，且0≤a<

13，若512016＋a能被13整除，则a＝（　　）【导学号：

97270028】

A．0B．1

C．11D．12

【解析】　

（1）因为f（m，n）＝CC，

所以f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）

＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.

（2）512016＋a＝（13×

4－1）2016＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512016＋a能被13整除．

【答案】　

（1）C　

（2）D

排列、组合中的分组与分配问题

n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；

将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况．分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的．对于后者必须先分组再排列．

　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本．

【精彩点拨】　这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．

【规范解答】　

（1）无序不均匀分组问题．先选1本有C种选法，再从余下的5本中选2本有C种选法，最后余下3本全选有C种选法．故共有CCC＝60（种）．

（2）有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第

（1）问基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360（种）．

（3）无序均匀分组问题．先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则CCC种分法中还有（AB，EF，CD），（AB，CD，EF），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15（种）．

（4）有序均匀分组问题．在第（3）问基础上再分配给3个人，共有分配方式·

A＝CCC＝90（种）．

（5）无序部分均匀分组问题．共有＝15（种）．

（6）有序部分均匀分组问题．在第（5）问基础上再分配给3个人，共有分配方式·

A＝90（种）．

（7）直接分配问题．甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法．共有CCC＝30（种）．

均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

4．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？

【解】　取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：

1144,2233,1234.

所取卡片是1144的共有A种排法．

所取卡片是2233的共有A种排法．所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A种．所以共有18A＝432种.

1．（2015·

全国卷Ⅰ）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）

A．10　　　　B．20　　　　C．30　　　　D．60

【解析】　法一：

（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C（x2＋x）3·

y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为Cx4·

x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.

法二：

（x2＋x＋y）5为5个（x2＋x＋y）之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.

【答案】　C

2．（2013·

全国卷Ⅰ）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝（　　）

A．5B．6C．7D．8

【解析】　（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C，

∴a＝C.

同理，b＝C.

∵13a＝7b，∴13·

C＝7·

C.

∴13·

＝7·

.

∴m＝6.

【答案】　B

3．（2014·

安徽高考）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°

的共有（　　）

A．24对B．30对

C．48对D．60对

【解析】　

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角线AC成60°

角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60°

角的面对角线也有8条．因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对．又正方体共有6个面，所以共有16×

6＝96（对）．又因为每对被计算了2次，因此成60°

的面对角线有×

96＝48（对）．

4．（2013·

山东高考）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A．243B．252C．261D．279

【解析】　0,1,2，…，9共能组成9×

10×

10＝900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有9×

9×

8＝648（个），

∴有重复数字的三位数有900－648＝252（个）．