北京市中考数学各地区模拟试题分类北京专版二三角形Word文件下载.docx

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“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？

”

译文：

“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？

如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为　　．

三．解答题

21．（2020•顺义区二模）已知：

在△ABC中，∠ABC＝90°

，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．

（1）依题意补全图形；

（2）AE与DF的位置关系是　　；

（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：

发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想

∠DAF＝　　°

，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：

想法1：

过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…

想法2：

过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…

请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．

22．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．

（1）如图1，当∠DBA＝30°

时：

①求证：

AC＝BD；

②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；

（2）如图2，当0°

＜∠DBA＜45°

时，EC与EB的数量关系是否保持不变？

对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；

通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；

尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；

想法3：

尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．

请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．

23．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，当α＝60°

．∠ADB＝30°

时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当α＝90°

，∠ADB＝45°

时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；

（提示：

尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

（3）当∠ADB＝

时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．

24．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：

EF平分∠BED．

25．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°

，与△ABC的外角平分线BM交于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：

AD＝AE；

（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．

AE∥CF；

②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为　　°

26．（2020•大兴区一模）已知：

如图，∠QAN为锐角，H、B分别为射线AN上的点，点H关于射线AQ的对称点为C，连接AC，CB．

（1）依题意补全图；

（2）CB的垂直平分线交AQ于点E，交BC于点F．连接CE，HE，EB．

△EHB是等腰三角形；

②若AC+AB＝

AE，求cos∠EAB的值．

27．（2020•北京一模）△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝BC＝

，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135°

，得到线段AN，连接BN．

∠BAN＝∠AMB；

（3）点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．

28．（2020•丰台区一模）已知∠AOB＝120°

，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°

得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．

（1）依据题意补全图1；

（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；

（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ＝4，并证明．

29．（2020•东城区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．

（2）若DM＝1，求线段EF的长；

（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．

30．（2020•平谷区一模）如图1，P是△ABC外部的一定点，D是线段BC上一动点，连接PD交AC于点E．

小明根据学习函数的经验，对线段PD，PE，CD的长度之间的关系进行了探究，

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）对于点D在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD，PE，CD的长度的几组值，如表：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置7

位置8

位置9

PD/cm

2.56

2.43

2.38

2.67

3.16

3.54

4.45

5.61

PE/cm

2.01

1.67

1.47

1.34

1.32

1.40

1.48

CD/cm

0.00

0.45

0.93

2.11

3.00

4.68

6.00

在PD，PE，CD的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出图2中所确定的两个函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

连接CP，当△PCD为等腰三角形时，CD的长度约为　　cm．（精确到0.1）

参考答案

1．解：

由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，

∴△OCF≌△OGF（SSS），

∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；

若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，

∴∠COG＝60°

，

∴∠AOB＝

∠COG＝30°

，故B选项正确；

∵OC＝OE，FC＝FG，

∴OF垂直平分CG，故C选项正确；

∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；

故选：

D．

2．解：

如图1，∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

∴∠BAC＝∠ABE，

∵∠AEB＝80°

∴∠BAC＝∠ABE＝50°

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝

＝65°

∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°

如图2，∵DE垂直平分AB，

∴∠BAE＝∠ABE，

∴∠BAE＝∠EBA＝50°

∴∠BAC＝130°

＝25°

∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°

3．解：

∵DE⊥AC，∠BDE＝140°

∴∠A＝50°

又∵AB＝AC，

∴∠C＝

∵EF⊥BC，

∴∠DEF＝∠C＝65°

所以A错，B错，C对，D错．故选C．

4．解：

∵BE是△ABC的高线，

∴求△ABC的面积正确的公式是S△ABC＝

CA•BE．

B．

5．解：

根据三角形中线的定义知线段AD是△ABC的中线，

6．解：

根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．

7．解：

△ABC的高是线段CQ，

8．解：

当5为腰，10为底时，

∵5+5＝10，

∴不能构成三角形；

当腰为10时，

∵5+10＞10，

∴能构成三角形，

∴等腰三角形的周长为：

10+10+5＝25．

二．填空题（共12小题）

9．解：

∵D、E分别为AB、AC边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝4，

故答案为：

4．

10．解：

如图，∵△ABD是等腰直角三角形，

∴∠ABD＝45°

∴∠ABC＝180°

﹣45°

＝135°

135．

11．解：

在Rt△AEC和Rt△DAB中

∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵∠EAC+∠ACE＝90°

∴∠EAC+∠ABD＝90°

∴∠AFB＝90°

，即∠CFD＝90°

∴∠ACD+∠BDC＝90°

故答案为90．

12．解：

3﹣2＝1，

1×

1＝1．

故图2中小正方形ABCD的面积为1．

1．

13．解：

如图所示：

由题意可得：

∠1＝∠3，

则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°

45°

14．解：

由勾股定理得：

AC＝

＝5，

S△ABC＝

BC×

AE＝

×

BD×

AC，

∵AE＝3，BC＝5，

即

解得：

BD＝3．

5，3．

15．解：

∵∠CPA＝45°

，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，

∴∠PAB+∠PBA＝45°

45．

16．解：

连接AE，PE，

则∠EAB＝∠PCD，

故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，

设正方形网格的边长为a，则PA＝

＝

，PE＝

，AE＝

a，

∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，

∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°

又∵PA＝PE，

∴∠PAE＝∠PEA＝45°

∴∠PAB﹣∠PCD＝45°

17．解：

延长BA交格点于D，连接CD，

则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，

∴AD2+CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°

18．解：

过点A作直线BC的垂线，垂足为D，则AD＝BD，

∵∠ADB＝90°

∴∠BAC+∠BCA＝∠ABD＝45°

19．解：

如图，连接CG、AG，

AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，

∴AC2+AG2＝CG2，

∴∠CAG＝90°

∴△CAG是等腰直角三角形，

∴∠ACG＝45°

∵CF∥AB，

∴∠ACF＝∠BAC，

在△CFG和△ADE中，

∵

∴△CFG≌△ADE（SAS），

∴∠FCG＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°

20．解：

设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，

根据勾股定理得：

x2+62＝（20﹣x）2．

故答案为x2+62＝（20﹣x）2．

三．解答题（共10小题）

21．解：

（1）补全图形如图1：

（2）AE与DF的位置关系是：

AE⊥DF，

理由是：

∵点B关于直线AD的对称点为E，

∴AB＝AE，BD＝DE，

∵AD＝AD，

∴△ABD≌△AED（SSS），

∴∠AED＝∠B＝90°

∴AE⊥DF；

AE⊥DF；

（3）猜想∠DAF＝45°

；

证明如下：

如图2，过点A做AG⊥CF于点G，

依题意可知：

∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°

∵AB＝BC，

∴四边形ABCG是正方形，

∴AG＝AB，∠BAG＝90°

∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°

，∠BAD＝∠EAD，

∴AG＝AE，

∵AF＝AF，

∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），

∴∠GAF＝∠EAF，

∵∠BAG＝90°

∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°

∴∠EAD+∠EAF＝45°

即∠DAF＝45°

如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，

∠ABC＝∠BCF＝90°

∴AB∥FG，

∵AF∥BG，

∴四边形ABGF是平行四边形，

∴AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，

∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED＝90°

∴AE＝BC，

∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），

∴∠EAF＝∠CBG，

∵∠BCG＝90°

∴∠BGC+∠CBG＝90°

∴∠BAF+∠EAF＝90°

∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF＝90°

∵∠BAD＝∠EAD，

22．解：

（1）①如图1，

过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°

∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，

∴AC＝2DF，

在Rt△DFB中，∠DBA＝30°

∴BD＝2DF，

∴AC＝BD；

②∵△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACD＝45°

∵∠DBA＝30°

∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴∠BDE＝45°

∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°

在Rt△ADC中，AC＝

DC，

在Rt△BDE中，BD＝

BE＝

DE，

由①知，AC＝BD，

∴BE＝CD＝ED，

∴△CDE是等边三角形，

∴DE＝CE，

∴EC＝EB；

（2）如图2，

过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，

∴∠BDG＝90°

＝∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDG，

∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED，

∴∠BED＝90°

，∠DBE＝45°

∴∠DGE＝90°

﹣∠DBE＝45°

＝∠DBE，

∴BD＝GD，

∵AD＝CD，

∴△ADB≌△CDG（SAS），

∴∠DCG＝∠DAB，

∵∠ACD＝45°

∴∠BCG＝∠ACG＝90°

在Rt△BDG中，DB＝DG，∠BED＝90°

∴EG＝EB，

∴BE＝BE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）．

23．解：

（1）AD2+BD2＝CD2，

理由：

如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE，

则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°

∵∠ADB＝30°

∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°

在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，

∴BD2+AD2＝BE2，

∵∠DAE＝∠BAC＝60°

∴∠BAE＝∠CAD，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴BE＝CD，

∴AD2+BD2＝CD2；

（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，

∴∠ADE＝45°

∵∠BDA＝45°

∴∠BDE＝90°

根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，

∵DE2＝2AD2，

∴2AD2+BD2＝BE2，

∵∠DAE＝∠BAC＝90°

∴2AD2+BD2＝CD2；

（3）如图3，

将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，

∴∠ADE＝

（180°

﹣∠DAE）＝90°

﹣

α，

∵∠ADB＝

∵∠DAE＝∠BAC＝α，

∴DE2+BD2＝CD2，

过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF，

∴∠DAF＝90°

﹣∠ADE＝

在Rt△ADF中，sin∠DAF＝

∴DF＝AD•sin∠DAF＝AD•sin

∴DE＝2DF＝2AD•sin

即：

（2AD•sin

）2+BD2＝CD2．

24．证明：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠BDE＝∠CBD，

∴EB＝ED，

∵EB＝ED，F是BD中点，

∴EF平分∠BED．

25．解：

（1）补全图形如图1所示；

（2）由旋转知，∠DAE＝60°

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°

∴∠DAE＝∠BAC，

∵BE是△ABC的外角的平分线，

∴∠ABM＝

﹣60°

）＝60°

＝∠C，

在△ABE和△ACD中，

∴AD＝AE；

（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，

∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，

∴AF＝AC，

∴∠AFC＝∠ACF，

设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，

∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°

﹣2α，

∴∠ACF＝

﹣∠CAF）＝60°

+α，

由

（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°

﹣α，

∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°

﹣α+60°

＝120°

∴∠ACF+∠CAE＝60°

+α+120°

﹣α＝180°

∴AE∥CF；

②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，

∵点F是点B关于AD的对称点，

∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°

∴∠ABG＝90°

∵∠ABC＝60°

∴∠CBG＝30°

连接DF，则BD＝DF，

∴∠CDF＝2∠CBG＝60°

由

（2）知，△ABE≌△ACD，

∵BE+CF＝AB，

∴CD+CF＝BC＝BD+CD，

∴BD＝CF，

∴DF＝CF，

∴∠DCF＝∠CDF＝60°

由①知，∠ACF＝60°

∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，

∴60°

﹣2α＝α，

∴α＝20°

即∠BAD＝20°

20．

26．

（1）解：

图形如图1所示：

（2）①证明：

如图2中，

∵C，H关于AQ对称，

∴∠CAE＝∠EAH，AC＝AH，

∵AE＝AE，

∴△ACE≌△AHE（SAS），

∴EC＝EH，

∵EF垂直平分线段BC，

∴EC＝EB，

∴EH＝EB，

∴△EHB是等腰三角形．

②解：

如图2﹣1中，作EM⊥AB于M．

∵EH＝EB，EM⊥BH，

∴HM＝MB，

∴AC+AB＝AH+AB＝AM﹣HM+AM+BM＝2AM，

∵AC+AB＝

AE，

∴4AM＝

在Rt△AEM中，cos∠EAB＝

∴cos∠EAB＝

27．解：

（1）根据题意，补全图形，如图1，

（2）∵∠ACB＝90°

，AC＝BC，

∴∠ABM＝45°