3T={X,,{a},{b},{a,c,d}}④T={X,,{a},{c},{a,c}}答案：
④
6设X={a,b,c}，下列集族中，（）是X上的拓扑.
①T={X,,{a},{b},{b,c}}②T={X,,{a,b},{b,c}}
③T={X,,{a},{a,c}}④T={X,,{a},{b},{c}}答案：
③
7、已知X={a,b,c,d}，拓扑T={X,,{a}},则{b}=（）
①©②X③｛b｝④｛b,c,d｝答案：
④
8、已知X二{a,b,c,d}，拓扑T二{X,,{a}},则{b,c,d}=（）
①©
②
X
③
{a}
11、
已知
X
={a,b,
c,d}，
拓扑T
①©
②
X
③
{a,b}
12、
已知
X
={a,b,
c,d}，
拓扑T
①©
②
X
③
{a,c}
④{b}
13、设X={a,b,c,d}
④{b,c,d}答案：
②
={X,,{a}},则{a}=（）
={X,,{a}},则{c}=（）
④{b,c,d}答案：
④
10、已知X={a,b}，拓扑T={X,,{a}},则{b}=（）
答案:
拓扑T={X,,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集个数
④4答案：
②
4
4答案：
②
④3答案：
①
4
3答案：
③
19、在实数空间中,
③3④4答案：
②
有理数集Q的内部0：
'是（
44答案：
④
③R-Q④R答案：
①
20、在实数空间中，有理数集Q的边界：
：
（Q）是（）
1'②Q③R-Q④R答案：
④
①'②Z③R-Z④R答案：
①
22、在实数空间中，整数集Z的边界：
：
（Z）是（）
①'②Z③R-Z④R答案：
②
26、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，则下列关系中错误的是（）
①d（AB）=d（A）d（B）②入_.毛=入_.B
③d（A-B）=d（A）-d（B）
③d（A-B）=d（A）-d（B）④A=A答案：
①
28、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集,则下列关系中正确的是（）
①d（A_.B）=a_"B②A-B=A-B
③d（A-B）=d（A）-d（B）④d（d（A））Ad（A）答案：
④
29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（）
①d（A）二②d（A）=X_A
31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（
①若A「，则d（A）「②若A二｛X。
｝,则d（A）二X
③若A={Xi,X2},则d（A）=X-A④若A={Xi,X2},则d（A）=A答案：
①
32、设X={a,b,c,d}，令B={{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（）
①{X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{X,,{c},{d},{c,d}}
③{X,,{c},{a,b,c}}④{X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案：
①
33、设X是至少含有两个元素的集合，p・X,T={GX|p・G}_{］是X的拓扑，则（）
是T的基.
①B={{p,X}|xX-{p}}②B={{x}|xX}
34、设X二｛a,b,c｝,则下列X的拓扑中（）以S=｛X,,｛a｝｝为子基.
④｛X,｝答案：
②
③{X,,{a},{b},{a,b}}
35、离散空间的任一子集为（）
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
③
36、平庸空间的任一非空真子集为（）
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
④
37、实数空间R中的任一单点集是（）
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：
②
3&
1
实数空间R的子集A=｛1,-,
11
JJ
},则A-（）
2
34
①©
②R③AU{0}
④A
答案：
③
39、
在实数空间R中，下列集合是闭集的是（
）
①整数集②a,b③有理数集④无理数集答案：
①
40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）
①整数集Z②有理数集
③无理数集④整数集z的补集z•答案：
④
41、已知X二｛1,2,3｝上的拓扑T二｛X,,｛1｝｝,则点1的邻域个数是（）
答案：
④
①1个②2个③3个④4个答案：
④
43、已知X={a,b,c},则X上的含有4个元素的拓扑有（）个
①3②5③7④9答案：
④
44、设（X,T）为拓扑空间,则下列叙述正确的为（）
①XT,■T②XTT
③当TT时，UU•T④当TT时，U•T答案：
③
UT'U.T'
45、在实数下限拓扑空间R中，区间［a,b）是（）
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：
③
46、设X是一个拓扑空间，代BX,且满足d（A）BA,则B是（）
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：
②
47、设X={123,T二他X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A={1,2},则X的子空间A的拓扑
为（）①T={,{2},{1,2}}②T={,X,{1},{2},{1,2}}
48、设X={1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A={1,3},则X的子空间A的拓扑
②T={,A,{1}}
为（）①T={,{1},{3},{1,3}}
答案：
②
③T={,X,{1},{3},{1,3}}④T<,X,{1}}
49、设,T={©,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A={2,3},则X的子空间A的拓扑
为（）①T珂,{3},{2,3}}②T讯，A,{2},{3}}
③T讯，X,{2},{3},{2,3}}④T讯，X,{3}}答案：
②
50、设,T=冲,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A={1},则X的子空间A的拓扑为
（）①T珂,{1}}②T讯，A,{1,2}}
③T讯，X,{1},{3},{1,3}}④T={,X,{1}}答案：
①
51、设X={1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A二{2},则X的子空间A的拓扑
为（）①TH,{2},{1,2}}②T彳,A}
52、设X.{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A二{3},则X的子空间A的拓扑
3T-{,X,{3}}④T-{,{3}}答案：
④
53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（）
①T={,Z}②T=P（Z）③T=Z④T={Z}答案：
②
54、设X=X^X241^X6是拓扑空间Xi,X2，川，X6的积空间•P是X到Xi的投射，则R是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
55、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,ll（,X6的积空间•P2是X到X2的投射，则R是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
56、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,|l（,X6的积空间•F3是X到X3的投射，则F3是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
57、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,|l（,X6的积空间•P4是X到X4的投射，则F4是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
58、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2,ll（,X6的积空间•F5是X到X5的投射，则F5是
（）
①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
59、设X=XiX2川X6是拓扑空间Xi,X2」l（,X6的积空间•F6是X到X6的投射，则F6是
（）①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
60、设Xi和X2是两个拓扑空间，XiX2是它们的积空间，AXi，BX2，则有（）
①AB=AB②AB=AB③（AB^-AB④；:
（AB）=「（A）：
：
（B）答案：
②
61、有理数集Q是实数空间R的一个（）
①不连通子集②连通子集
③开集④以上都不对答案：
①
62、整数集Z是实数空间R的一个（）
①不连通子集
②连通子集
③开集
④以上都不对
答案：
①
63、无理数集是实数空间
R的一个（）
①不连通子集
②连通子集
③开集
④以上都不对
答案：
①
64、设丫为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若YZY,则Z为（）
①不连通子集②连通子集③闭集④开集
答案：
②
65、设Xi,X2是平庸空间，则积空间XiX2是（）
①离散空间②不一定是平庸空间
③平庸空间④不连通空间
答案：
③
66、设Xi,X2是离散空间，则积空间XiX2是（）
①离散空间②不一定是离散空间
③平庸空间④连通空间
答案：
①
67、设Xi,X2是连通空间，则积空间XiX2是（）
①离散空间②不一定是连通空间
③平庸空间④连通空间
答案：
④
68、实数空间R中的连通子集E为（）
①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：
④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集
E为（
区间
）
④
以上都不对答案：
③
①开区间②闭区间
③
70、
实数空间R中的连通子集E为（
）
①开区间②闭区间
③
区间
④
区间或一点
答案：
④
71、
下列叙述中正确的个数为（
）
（I）单位圆周S1是连通的；
（□）
R-{0}是连通的
（E）R2-{（0,0）}是连通的（W）R2和R同胚
①1②2③3④4
答案：
②
二、填空题（每题1分）
1、设X={a,b},则X的平庸拓扑为；答案：
T={Xj}
2、设X={ab},则X的离散拓扑为；答案：
T={X,,{a},{b}}
3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫;答案：
拓扑不变性质
4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是.答案：
R
5、X，d（A）当且仅当对于x的每一邻域U有答案：
U「（A—{x}）—•
6设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d（A）=;答案：
X
7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，贝UA=;答案：
X
8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d（A）=;答案：
X
9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A=;答案：
X
10、设X={1,2,,3X的拓扑T二{X「，{2},{2,则X的子集A二{1,2}的内部为;答案：
{2}
11、设X={1,2,,3X的拓扑T={X/,{1},{2则X的子集A二{1,3}的内部
为;答案：
{1}
12、设X二{1,2,3}X的拓扑T二{X/,{1},{2,,则X的子集A二{1,2}的内部为答案：
{1}
13、设X={1,2,,3X的拓扑T二{X「，{2},{2,则X的子集A二{1,3}的内部
为;答案：
14、设X={a,b,c},则X的平庸拓扑为;答案：
T={X,}
15、设X={a,b,c},则X的离散拓扑为答案：
T={X,,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}
16、设X二{1,2,3}X的拓扑T={X/,{2},{3},{,2则X的子集A二{1,3}的内部
为;答案：
{3}
17、设X={1,2,3}X的拓扑T={X「{1},{3},{1则X的子集A二{1,2}的内部
为;答案：
{1}
18、f:
X>Y是拓扑空间X到丫的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f（X）
的一个同胚，则称映射f是一个.答案：
嵌入
19、f：
X>Y是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且丫的拓扑是对于映射f
而言的商拓扑，则称f是一个；答案：
商映射
20、设X,Y是两个拓扑空间，f:
X>Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f（U）是丫
中的一个开集，则称映射f是一个答案：
开映射
21、设X,Y是两个拓扑空间，f:
X>Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f（U）是丫
中的一个闭集，贝U称映射f是一个答案：
闭映射
22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B,使得A'B「，A一B=X,则X是一
个;答案：
不连通空间
23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集代B,使得A-B「，A一B=X,则X是一
个;答案：
不连通空间
24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个答案：
不连通空间
25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足丫ZY，则Z也是X的一
个；答案：
连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的
象所具有，则称这个性质是一个;
答案：
在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，
则称这个性质是一个;答案：
可商性质
28、若任意n—1个拓扑空间X1,X2dH,Xn,都具有性质P,则积空间X1X2川Xn也具有性质
P，则性质P称为;答案：
有限可积性质
29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集代B,使得A.B二X,则称X是
一个;答案：
不连通空间•
三•判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（）答案:
V
理由：
设X是离散空间，丫是拓扑空间，f:
X>Y是连续映射，因为对任意A丫，都有
f（A）X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f'（A）是工中的开集，所以f:
X>Y是连续的•
2、设Ti,T2是集合X的两个拓扑，贝UTX
理由：
因为
（1）Ti,T2是X的拓扑，故x,「Ti,x/T2,从而x,「trt2；
（2）对任意的A,B•Ti-T2，则有A,B•Ti且A,B•T2，由于Ti,T2是X的拓扑，故A^B三Ti且A'B・T2，从而A'B•Ti"T2;
（3）对任意的TT厂T2，则TT1,TT2，由于Ti,T2是X的拓扑，从而u・TUTi,
u「uT2,故uT，UTi-T2;
综上有Ti「T2也是X的拓扑.
3、从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（）答案：
V
理由：
设f:
X>Y是任一满足条件的映射，由于丫是平庸空间，它中的开集只有YJ,易知它们在f下的原象分别是X,,均为X中的开集，从而f:
X—；Y连续.
4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d（）答案：
V
理由：
设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，
所以｛p｝是X的开子集，且有dnA-「p.；i=；，即p'dA,从而d（A）h-:
.
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，贝UdA（）答案：
X
理由：
设A二｛y｝,则对于任意X,x=y,x有唯一的一个邻域X，且有*X'A-x）,从而X-（A-x）=■-，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X「（A-y）二-，所以有dA二X-A=.
6设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，贝UdA二X（）答案：
V
理由：
对于任意X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X・（A-x）i，因此x是A的一个凝聚点，即d（A），所以有dAi；=X.
7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A-B二',A_.B二X（）答案：
V
理由：
设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A-B二X,显然
Ap|B「•，并且这时有：
B二B-X=（B-A）一（B-B）=B
从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足
A1B=,A、，B=X
8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间（）V理由：
这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令A，则A,B都是X中的
非空闭子集，它们满足A_.B二X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.五•简答题（每题4分）
1、设X是一个拓扑空间，代B是X的子集，且AB.试说明d（A）d（B）.
答案：
对于任意d（A）,设U是x的任何一个邻域，则有U「（A—{x}）由于AB，从而
U-（B-{x}）=U-（A-{x}）=，因此xd（B），故d（A）d（B）.
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:
X>Y,g:
Y>Z都是连续映射，试说明gQf：
x>Z也是连续映射.
答案：
设W是Z的任意一个开集，由于g:
Y>Z是一个连续映射，从而g-1（W）是丫的一个开集，由f:
X>Y是连续映射，故f」（g'（W））是X的一开集，因此（gQf）'（W）=f-（'（W））是X的开集，所以g0f:
XrZ是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：
若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答案：
对于-x・A,则x^A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U、（A-{x}）「，
因此U-A二，即UA,所以对任何xA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.
4、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：
若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.
答案：
设x-A,则A,由于A•是一个开集，所以A■是x的一个邻域，且满足A、A»,因
此xA,从而A二A,即有A二A，这说明A是一个闭集.
5、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y=x,y（-：
：
1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,二）
设在这个等价关系下得到的商集丫={[0],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.
答案：
T珂,Y,{[0]},{[0],[1]}}
6、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y=x,y（-打]或者x,y（1,2]或者x,y（2,：
：
）
设在这个等价关系下得到的商集丫二{[1],[2],[3]},试写出丫的商拓扑T.
答案：
T={,Y,{[3]},{[2],[3]}}
7、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y：
=x,y（-：
：
1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,二）
设在这个等价关系下得到的商集丫={[-1],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.
答案：
T珂,Y,{[-1]},{[-1],[1]}}
8、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y=x,y（-：
：
1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,二）
设在这个等价关系下得到的商集丫={[-2],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.
答案：
T={,Y,{[-2]},{[-2],[1]}}
9、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y=x,y（7,1]或者x,y（1,2]或者x,y（2,：
：
）
设在这个等价关系下得到的商集丫二{[0],[2],[3]}，试写出丫的商拓扑T.
答案：
T={,Y,{[3]},{[2],[3]}}
10、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y=x,y（f,1]或者x,y（1,2]或者x,y（2,：
：
）
设在这个等价关系下得到的商集丫二{[0],[2],[4]}，试写出丫的商拓扑T.
答案：
T珂,丫,{[4]},{[2],[4]}}
11、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y二x,y（-：
：
1]或者x,y（1,2]或者x,y（2,
设在这个等价关系下得到的商集丫二{[-1],[2],[4]}，试写出丫的商拓扑T.
答案：
T={,丫,{[4]},{[2],[4]}}
六、证明题（每题8分）
1、设f:
X>Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f（
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