直线方程的几种建立方式及其适用范围.doc
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直线方程的几种建立方式及其适用范围
罗村高级中学黄勉
确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。
因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。
下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考：
一、点斜式
若直线过定点，斜率为，则直线的方程为；
它不适用平行于轴（包括轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为）的直线。
当斜率不存在时，直线的方程为：
；特别地，当＝0时，其方程为。
例1、已知直线过点A（1，2）,B（），求直线的方程。
分析：
因为直线经过点B（）,且m是一个参数，因此需要对m进行分情况讨论。
解：
当m＝1时，直线的倾斜角为，其斜率是不存在的，故此直线的方程为。
当m1时，直线的斜率为，又因为直线通过点A（1，2），所以直线的方程为：
。
例2、已知直线经过点P（—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程。
分析：
不难看出，直线在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。
因此，需要对这两种情况分类讨论。
解：
若直线经过原点，则直线的斜率为，从而直线的方程为：
，即。
若直线不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：
即。
二、斜截式
若直线的斜率为且在轴上的截距为，则直线的方程为：
；
它不适用于平行于轴（包括轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜角为）的直线。
也就是说，斜截式与点斜式的适用范围是一样的。
例3、已知直线经过点,若直线在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程。
分析：
由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，且经过点，因此可建立方程分别求出此直线的斜率和在斜率上的截距，从而利用斜截式建立直线的方程。
解：
设直线的斜率为，在轴上的截距为，从而直线的方程可设为：
；
由于直线经过点，令＝0，得解得或，
所以所求的直线方程为，即。
三、两点式
若直线经过两点（），则直线的方程为：
。
它适用于不平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线，若将此方程改写成：
，则它适用于任何直线。
特别地，当时，直线方程为；当时，直线方程为。
例4、已知直线：
，，过点引一条直线与分别交于点M，N两点，若P恰为MN的中点，求直线的方程。
分析：
由于M，N以P为中点，也就是说M,N关于点P对称，从而可用求对称点的问题分别求出点M，N的坐标，利用两点式建立直线方程。
解：
设M（），则N点的坐标为（）
又点M,N分别在直线，上，，解得，
从而M,N两点的坐标分别为M（）,N
所以直线的方程为：
，整理得。
四、截距式
若直线在轴上的截距分别为，则直线的方程为：
；
它不适用于平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线和经过原点的直线。
但若将此直线改写成，则适用于任何直线。
例5、若直线在两坐标轴上的截距相等，其截距之和为12,求直线的方程。
分析：
由于直线在两坐标轴上的截距相等，且两截距之和等于12，则其截距不可能为零，从而可求出两截距的值利用截距式建立直线方程。
解：
设直线在上的截距分为，则且，从而
所以所求的直线方程为整理得。
例6、若直线在x轴上的截距的截距是它y轴上的截距的2倍，且两截距之和等于12，求直线的方程。
分析：
同上题一样，由于直线在x轴上的截距的截距是它y轴上的截距的2倍，且两截距之和等于12，所以其截距不可能为零，从而可求出两截距的值利用截距式建立直线方程。
解：
设直线在上的截距分为，则且解得，所以所求的直线方程为整理得。
五、一般式
直线的方程的一般形式为；它适用于任何直线。
例7、过点引一条直线，使A（2,3）,B（）到它的距离相等，求这条直线的方程。
解：
设此直线的方程为，
直线过点且A（2,3）,B（）到它的距离相等，从而有，解得A=4B或3A－B－C=0；
A=4B,C=－6B或2A=3B,－7A=3C
直线的方程为，
即。
例8、若求过点P（1,2）且与直线平行的直线的方程。
分析：
由于所求直线与直线平行，所以可用一般式建立所求直线的方程，再用待定系数法求出C，从而写出所求的直线方程。
解：
设所求直线方程为，因为它过点（1,2），将点（1,2）代入直线方程，解得C=－8，从而所求的直线方程为：
。
重点提示：
由以上分析可以看出：
1、倾斜角为（平行于轴）的直线不能用点斜式和截距式来建立其方程；
2、平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线不能用两点式和截距式来建立其方程；
3、过原点的直线不能用截距式来建立其方程。
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