数学知识点湘教版八下35《梯形》word教案5篇总结.docx

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数学知识点湘教版八下35《梯形》word教案5篇总结

3.5梯形

梯形的中位线

教学目的：

1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理；

2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”；

3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力；

4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；

5.通过一题多解，培养学生对数学的兴趣。

重点难点：

教学重点：

梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．

教学难点：

梯形中位线定理的证明．

教学过程：

一、情景创设

上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形呢？

二、引入新课

1.梯形中位线定义：

连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.

　如图所示：

EF是

的中位线，回答下列问题：

（1）EF与BC有什么关系？

（

） 

（2）如果AD//BC，那么DF与FC，AD与GC是否相等？

为什么？

（3）EF与AD、BG有何关系？

[

]，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD的中位线.

由此得出梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

现在我们来证明这个定理.

已知：

如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，

A1

（第18题）

求证：

EF//BC，EF=

例题：

如图所示，有一块四边形的地ABCD，测得

，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.

三、【小结】（以回答问题的方式让学生总结）

（1）什么叫梯形中位线？

梯形有几条中位线？

（2）梯形中位线有什么性质？

　　（3）梯形中位线定理的特点是什么？

（4）怎样计算梯形面积？

怎样计算任意多边形面积？

3.5梯形

教学目标：

1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理

2．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力

3．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

教学重点：

梯形中位线性质

教学难点：

梯形中位线定理的证明．。

教学过程：

一、情景创设：

上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形呢？

二、引入新课

1.梯形中位线定义：

2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.

　如下图所示：

EF是△ABC的中位线，引导学生回答下列问题：

（1）EF与BC有什么关系？

（） 

（2）如果AD∥BC，那么AD与GC是否相等？

为什么？

（3）EF与AD、BG有何关系？

由此得出梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

定理符号语言表达：

在梯形ABCD中，AD∥BC

∵；

∴。

3归纳总结出梯形的又一个面积公式：

S梯=

（a+b）h设中位线长为l,则l=

（a+b）,S=l*h

三、典例分析

1、已知：

如图在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB＝AD＋BC，E为CD的中点，求证：

AE⊥BE

2如图，过平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D分别做四条平行线L1//L2//L3//L4设L1,L2,L3,L4与平行四边形ABCD外的一条直线交于A1,B1,C1,D1

证明AA1+CC1=BB1+DD1

2、已知：

如图在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为对角线BD，AC的中点，

求证：

MN∥BC，MN＝

（BC－

AD）

四、巩固练习

1.已知梯形的中位线长为24厘米,上、下底的比为1:

3,则梯形的上、下底之差是（）

A.24厘米B.12厘米;C.36厘米D.48厘米

2．若梯形的上底长为8cm,,中位线长10cm,则下底长为

3，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，则等腰梯形ABCD的周长

为

4．一个等腰梯形的对角线互相垂直，梯形的高为2cm,，则梯形的面积为

5若梯形的周长为80cm,中位线长于腰长相等，高为12cm,则它的面积为

6有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横木共200cm，其中最上端的横木长20cm，其他四根横木的长度（每两根横木的距离相等）

7如图：

在Rt△ABC中，AB是斜边，DE∥FG∥BC，且AE=EG=GC=3，DE=2。

求：

（1）FG；

（2）BC；

（3）S梓形BCED

8如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F是AD、BC中点，EF分别交AC、BD于M、N，求证：

OM＝ON

五拓展提高

1如图所示，有一块四边形的地ABCD，测得

，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.

六小结：

1、基本知识：

梯形中位线定理（位置关系：

梯形的中位线平行于上、下底；数量关系：

梯形的中位线等于上下底和的一半。

把梯形的中位线定理与三角形中位线定理进行比较，三角形实质上可以理解为上底为零的一种特殊的梯形）

2梯形另一面积计算公式

3数学思想方法：

化归、几何建模、数形结合

七布置作业

评价与反思

A1

（第18题）

3.5梯形

一、明确目标：

１、掌握梯形的有关概念和性质

２、梯形的有关分类

[学习重点]梯形的性质。

二、研读教材，目标解读（完成下列预习作业）：

１、回忆：

平行四边形的性质和判定？

矩形、菱形、正方形的性质和判定？

２、梯形的定义____________________________________.在下面作一个梯形。

指出梯形的底（上底、下底）高，梯形的面积公式。

3、你学过哪些特殊的梯形？

并且画一个。

观察一下有什么性质？

用你所学过的知识证明你所得到的结论。

（1）等腰梯形的同一底边上的两底角相等。

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

问题:

等腰梯形还有其它的性质吗？

应该从哪些方面来了解它的性质？

（3）分析讲解107页例1，109页习题1、2、5、6

小结：

解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：

把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：

使两腰在两个直角三角形中（图2）；

　　（3）“平移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

　　（4）“延腰”：

构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

三、巩固练习，达成目标（合作探究，解决问题）：

1、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30度，∠C=45度AD=AB=8cm，求腰CD和下底BC的长度。

2、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD的中点，则△ABE是_______

A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形

3、在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A:

∠B:

∠C:

∠D可能为__________

A、3:

5:

6:

4B、3:

4:

5:

6C、5:

4:

6:

3D、6:

5:

4:

3

4、下列命题是假命题的是_______

A、等腰三角形的两条对角线相等B、对角线相等的四边形是等腰三角形

C、等腰三角形是轴对称图形D、梯形的两底之和小于两对角线之和

5、等腰梯形中上底：

腰：

下底=1：

2：

3，则下底角的度数为_____________

6、梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8m,BC=17m,∠C=70度，∠B=55度，求BC的长度。

7、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求证：

BE＝CD．

8、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．

求证：

CE=（AB+CD）．

3.5梯形

教学目标

知识与技能

1、通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．

 2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

过程与方法

经历探索梯形的判定条件的过程，发展学生合情推理能力。

情感态度与价值观

增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值。

重点

掌握等腰梯形的判定方法并能运用．

难点

等腰梯形判定方法的运用

教学过程

备注

教学过程与师生互动

第一步：

温习故知

第二步：

学习新知：

【提出问题】：

前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？

命题：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

问：

这个命题是否成立？

能否加以证明，引导学生写出已知、求证．

启发：

能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．

已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．

求证：

AB=CD．

　　分析：

我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．图一

　　证明方法一：

过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．

　　∵AB∥DE，∴∠B=∠1，

　　∵∠B=∠C，∴∠1=∠C．　∴DE＝DC．

　　又∵AD∥BC，　∴DE＝AB=DC．

证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．

证明方法二：

用常见的梯形辅助线方法：

过点A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，垂足分别为E、F（见图一）．

图二

证明方法三：

延长BA、CD相交于点E（见图二）

      通过证明：

验证了命题的正确性，从而得到：

等腰梯形判定方法

  等腰梯形判定方法在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

几何表达式：

梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．

【注意】等腰梯形的判定方法：

1先判定它是梯二 形，

②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．

第三步：

应用举例：

例1（教材P119的例2）

例2（补充）证明：

对角线相等的梯形是等腰梯形．

已知：

如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

　　分析：

证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC≌ΔDCB得到AB=DC．

　证明：

过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，

又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC．

　∵AC=BD，∴DE=BD∴∠1=∠E

　∵∠2=∠E，∴∠1=∠2

　又AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴AB=CD．

∴梯形ABCD是等腰梯形．

　　说明：

如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以

后解题提供思路．

问：

能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．

例3（补充）已知：

如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：

四边形ABGE是等腰梯形．

　　分析：

先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．

　　例4（补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

　　分析：

梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．

如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成

AECD的画图．

　　画法：

①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．

.

　　②延长BE到C使EC=4cm.

　　③分别过A、C作AD∥BC，CD∥AE，AD、CD交于点D．

　　四边形ABCD就是所求的等腰梯形．

　　解：

梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm．

　　答：

梯形周长为26cm，面积为24

．

例5：

.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积。

（方法一，过点C作CE∥AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm。

然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知

，从而在Rt△AGD中求出高DG=4cm。

）

第四步：

随堂练习

1．下列说法中正确的是（）．

（A）等腰梯形两底角相等

（B）等腰梯形的一组对边相等且平行

（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度

（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角

2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm．

3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．

4．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，求证：

四边形ABCD是等腰梯形．

（略证

，AD=BC，

，∴AB∥DC）

5．已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底AD、BC的中点，且EF⊥BC，求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

第五步：

课后练习

1．等腰梯形一底角

，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，高为______，面积是_________．

2．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．

3．已知：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB与CD不平行，且AB=CD．求证：

四边形ABCD是等腰梯形．

4．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求证：

CE=

（AB+CD）．

第六步：

课堂小结

　等腰梯形的判定方法：

一般是先判定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．判定一个四边形是梯形时，根据梯形定义，判定另两边不平行比较困难，可以通过判定平行的两边不相等来说明．

　　梯形的画图：

一般先画出有关的三角形，在此基础上再画出有关的平行四边形，最后得到所求图形．（三角形奠基法）

课后反思：

3.5梯形

教学目标

知识与技能

1、知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等．

2、会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算．

3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

过程与方法

经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用。

情感态度与价值观

增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值。

重点

等腰梯形的性质及其应用．

难点

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

教学过程

备注

教学设计与师生互动

第一步：

复习引导

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质

边

角

对角线

平行四边形

矩形

菱形

正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

平行四边形

矩形

菱形

正方形

第二步：

课堂引入

1．创设问题情境——引出梯形概念．

【观察】（教材P117中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？

它们有什么共同的特点？

2．画一画：

在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，

【思考】

（1）怎样画才能得到一个梯形？

（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？

梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

（强调：

①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）

（1）一些基本概念（如图）：

底、腰、高．

底：

平行的一组对边叫做梯形的底。

（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）

腰：

不平行的一组对边叫做梯形的腰。

高：

两底间的距离叫做梯形的高。

直角梯形：

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

（2）等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（3）直角梯形：

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．

在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．

【问题一】　图中有哪些相等的线段？

有哪些相等的角？

这个图形是轴对称图形吗？

学生画图并通过观察猜想；

【问题二】　这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？

结论：

①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．

②等腰梯形同一底上的两个角相等．

③等腰梯形的两条对角线相等．

解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：

把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：

使两腰在两个直角三角形中（图2）；

　　（3）“平移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

　　（4）“延腰”：

构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1图2图3图4图5

　　综上所述：

解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．

第三步；应用举例：

例1（教材P118的例1）略．

（延长两腰梯形辅助线添加方法三）

例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，

∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．

分析：

设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：

平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．

解（略）．

例3（补充）已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求证：

BE＝CD．

分析：

要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：

平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．

证明（略）

另证：

如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

例4：

求证：

等腰梯形的两条对角线相等

已知：

求证：

例5：

如图4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长。

例6：

已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长。

已知：

求证：

例4：

已知：

如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：

AD+BC=DC。

第四步：

课堂练习

1、填空

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=。

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和。

（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=。

2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，AB＝

，

（1）求梯形的各角。

（2）求梯形的面积。

3、

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC=．

（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．

（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=．

4．已知：

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）

第五步：

课后练习

1．填空：

已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为，最小角为．

2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．

3．已知：

如图，梯形ABCD中，CD//AB，

，

．求证：

AD=AB—DC．

4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：

AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）

第六步：

课堂小结

1、梯形的定义及分类

2、等腰梯形的性质：

（1）具有一般梯形的性质：

AD∥BC。

（2）两腰相等：

AB=CD。

（3）两底角相等：

∠B=∠C，∠A=∠D。

（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线。

（5）两条对角线相等：

AC=BD。

两条对角线的交点在对称轴上。

两腰延长线的交点在对称轴上。

课后反思：

A1

（第18题）