学年华师版八年级数学下册 182 平行四边形的判定.docx

学年华师版八年级数学下册 182 平行四边形的判定.docx

《学年华师版八年级数学下册 182 平行四边形的判定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年华师版八年级数学下册 182 平行四边形的判定.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

学年华师版八年级数学下册182平行四边形的判定

18.2平行四边形的判定

第1课时平行四边形的判定

（1）

【知识与技能】

理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【过程与方法】

探索平行四边形的判定：

两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【情感态度】

能用平行四边形的判定和性质来解决问题

【教学重点】

平行四边形的判定方法及应用

【教学难点】

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用

一、情境导入,初步认识

1.什么叫平行四边形？

平行四边形有什么性质？

（学生口答，教师板书）

2.将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来.（如果……那么……）

根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？

除了定义还有什么方法？

平行四边形性质定理的逆命题是否成立？

【教学说明】引出课题，为本节课的学习做准备.

二、思考探究，获取新知

探究1：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”.逆向思考，互换题设与结论，可以得到：

“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？

如图，作一个两组对边分别相等的四边形．

把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

你能证明这个结论吗？

已知：

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

分析：

要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证AB∥DC，AD∥BC，因此需要连结对角线构造内错角．

证明：

连结AC，

∵AD=BC，AB=DC，AC=AC，

∴△ABC≌△CDA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的性质），

∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行），

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．

【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形

探究2：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：

“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”

如图，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．

我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．

已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

分析：

要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．

证明：

连结对角线AC，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．

又∵AB=CD，AC=AC，

∴△ABC≌△CDA，

∴BC=AD（全等三角形的性质），

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

【归纳结论】由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“平行且相等”常用符号“

”来表示．如课本P84图18.2.5，AB=CD且AB∥CD，可以记作“AB

CD”，读作“AB平行且等于CD”．

【教学说明】学生经历先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理的理解更透彻.

三、运用新知，深化理解

1.如图所示，DB∥AC，且DB=

AC，E是AC的中点，求证：

BC=DE．

证明：

∵E是AC的中点，

∴EC=

AC，

又∵DB=

AC，

∴DB=EC．

又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴BC=DE．

2.如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

求证：

AE与DF互相平分．

证明：

∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE=AF，

同理：

EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．

3.如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：

四边形MFNE是平行四边形．

证明：

由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，

∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC

∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF

∴四边形MFNE为平行四边形．

4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

证明：

（1）∵BF=DE，

∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

5.在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，

∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．

∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，∠BAE=∠DAB-∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．

∴△DCF≌△BAE．

∴DF=BE．

∴四边形BEDF是平行四边形．

四、师生互动，课堂小结

本节课我们学习了平行四边形的哪些判定定理？

1.布置作业:

教材P85“练习”.

2.完成本课时对应练习.

本节课学生通过学习，掌握平行四边形的识别条件，主要是关于平行四边形的边的判定定理.而这些判定定理，是由逆命题猜想、操作验证、逻辑论证的方法得出的.从中学生体验和经历数学探究过程，学会数学思维方法.

第2课时平行四边形的判定

（2）

【知识与技能】

理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形

【过程与方法】

探索平行四边形的判定：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

【情感态度】

能用平行四边形的判定和性质来解决问题

【教学重点】

平行四边形的判定方法及应用

【教学难点】

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用

一、情境导入,初步认识

上节课我们学习了利用四边形的边来判定一个四边形是否为平行四边形，那么我们能不能利用四边形的对角线来判定一个四边形是否为平行四边形？

二、思考探究，获取新知

探究1：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

由平行四边形的性质，得到又一个猜想：

“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.”

任意画两条线段，让两条线段的中点重合，连接两条线段的四个端点得到一个四边形.

观察这样得到的图形是什么图形？

根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．

已知：

如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

分析：

要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．

证明：

∵OA=CO.∠AOD=∠COB（对顶角相等）.

∴OB=OD.∴△AOD≌△COB.

∴AD=BC.同理△AOB≌△COD,

∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.

【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

探究2：

两组对角相等的四边形是平行四边形

思考：

我们已经知道，通过四边形的边或者对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？

由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．

已知：

如图，四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360°（四边形的内角和等于360°），

又∵∠A=∠C，∠B=∠D，

∴∠A＋∠B=∠A＋∠D=180°，

∴AD∥BC，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．

【归纳结论】于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

【教学说明】学生经过先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理理解更透彻.

三、运用新知，深化理解

1.如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：

四边形AECF是平行四边形．

证明：

连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，

∴OE=OF．

∴四边形AECF为平行四边形．

2.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

解：

猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：

平行且相等．

证明：

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，∠AOD=∠COE

∴△ADO≌△CEO，

∴AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴CD

AE．

3.如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，

∴OD=OB，∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

4.已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

证明：

如图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=

OA，OH=

OC，∴OG=OH．

又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

【教学说明】本组习题主要是对平行四边形的性质和判定定理的综合应用，先让学生独立完成，对有困难的学生可适当的引导、提示.

四、师生互动，课堂小结

我们学习了平行四边形的性质和判定定理，你对它们的应用有什么感受？

请同学们相互交流一下.

1.布置作业:

教材“习题18.2”中第3、4题.

2.完成本课时对应练习.

本节课通过以上“猜想——作图验证——逻辑论证”，学生经历发现平行四边形判定定理的过程，能直接体验和掌握数学思维方法，获得数学学习的快乐.例题的讲解，学生可及时巩固新知识，同时培养了学生思维的灵活性，提高解决问题能力.对于练习中反馈的问题，教师及时改进教学，帮助学生澄清疑问，学通弄懂.