高等数学方明亮版第十一章答案文档格式.doc

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（2）；

（4）．

解注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；

含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．

（1）由两边对求导，得

代入原关系式，得所求的微分方程为

．

（2）由两边对求导，得

即

而，故所求的微分方程为

化简得

（3）由两边对求导，得

两边再对求导，得

这样便可得所求的微分方程为

（4）由两边对求导，得

将代入上式，并化简得

对上式两边再对求导，得

故所求的微分方程为

习题11-2

1．求下列微分方程的通解或特解：

（2）；

（4）；

（5），；

（6），．

解

（1）分离变量，得

两端积分，得

即

所以原方程的通解为

注该等式中的与等本应写为与等，去绝对值符号时会出现号；

但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．

（2）原方程分离变量，得

两端积分，得

故原方程的通解为

（3）原方程可化成

分离变量，得

两端积分，得，

即

是原方程的通解．

（4）分离变量，得

两边积分，得

即

（5）分离变量，得

由定解条件，知

，即，

故所求特解为

，即．

（6）将方程两边同除以，得

积分后得

（其中），

从而有

代入初始条件，得

因此，所求方程满足初始条件的特解为

即

2．一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程．

解设曲线的方程为，过点的切线与x轴和y轴的交点分别为及，则点就是该切线的中点．于是有

，即，且，

分离变量后，有

积分得

由定解条件，有

故为所求的曲线．

3．一粒质量为20克的子弹以速度（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问子弹穿过木板的时间．

解依题意有

即

两端积分得，

（其中20克＝0.02千克），

代入定解条件，得

故有．

设子弹穿过木板的时间为秒，则

又已知时，米/秒，于是

从而，

为此有

所以

（秒），

故子弹穿过木板运动持续了（秒）．

4．求下列齐次方程的通解或特解：

（4）；

（6），．

解

（1）原方程变形，得

令，即，有，则原方程可进一步化为

两端积分得

即

将代入上式并整理，得原方程的通解为

（2）原方程变形，得

两端积分，得

（其中）．

（3）原方程变形，得

令，有，则原方程可进一步化为

两端积分，得

即

（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数，故令，即，有，则原方程可化为

整理并分离变量，得

（5）原方程可化为

令，有，则原方程可进一步化为

两端积分，得

将代入上式，得

代入初始条件，得

（6）原方程可写成

令，即，有，则原方程成为

分离变量，得

两端积分，得

即

代入并整理，得通解

由初始条件，得．于是所求特解为

5．设有连结原点O和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成图形的面积为，求曲线弧的方程．

解设曲线弧的方程为，依题意有

y

x

O

1

A（1,1）

P（x,y）

上式两端对x求导，

即得微分方程

令，有，则微分方程可化为

积分得

因，故有

又因曲线过点，故．于是得曲线弧的方程是

6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：

（2）．

解

（1）原方程可写成

令，解得交点为，．作坐标平移变换，，有

所以原方程可进一步化为

（*）

这是齐次方程．

设，则，，于是（*）式可化为

变量分离，得

两端积分，得

即

，

将代入上式，得原方程的通解为

（2）原方程可写成

该方程属于类型，一般可令．

令，有，则原方程可化为

积分得

习题11-3

1．求下列微分方程的通解：

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

解

（1）

（2）原方程可化为

故通解为

（3）原方程可化为

（4）所给方程的通解为

．

（5）方程可化为

（6）

．

2．求下列微分方程的特解：

（2），；

（3），．

代入初始条件，得．故所求特解为

（2）

，

代入初始条件，得，故所求特解为

（3）

，

3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于．

解设曲线方程为，依题意有，即．从而

．

由，，得．故所求曲线的方程为

4．设曲线积分在右半平面（）内与路径无关，其中可导，且，求．

解依题意及曲线积分与路径无关的条件，有

记，即得微分方程及初始条件为

，．

于是，

代入初始条件，得，从而有

5．求下列伯努利方程的通解：

（3）；

解

（1）方程可以化为

令，则，即．代入上面的方程，得

即

其通解为

（2）原方程化为

其通解为

（3）原方程化为

令，则，于是原方程化为

其通解为

，

（4）原方程化为

令，则，则原方程化为

其通解为

，

或写成

习题11-4

1．求下列全微分方程的通解：

（3）．

解

（1）易知，，．因为

所以原给定的方程为全微分方程．而

，

故所求方程的通解为

（2）易知，，．因为

，

（3）易知，，．因为

在的区域内为全微分方程，故

．

所求方程的通解为

，（或），

2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：

（2）．

解

（1）用乘方程，便得到了全微分方程

（2）原方程可化为

用乘方程，便得到了全微分方程

3．用积分因子法解下列一阶线性方程：

（2）．

解

（1）将原方程写成

此方程两端乘以后变成

（2）方程两端乘以，则方程变为

，

习题11-5

（2）；

（3）．

解

（1），

（2），

，

．

（作为最后的结果，这里也可以直接写成）．

（3）令，则有，可知，从而有

再逐次积分，即得原方程的通解

2．求下列微分方程的通解：

（2）；

（4）．

解

（1）令，则，且原方程化为

利用一阶线性方程的求解公式，得

再积分，得通解

（2）令，则，且原方程化为

积分得

再积分，得通解

（3）令，则，且原方程化为

故

再分离变量，得

由于，故上式两端积分，

两边平方，得

（4）令，则，且原方程化为，即

若，则．是原方程的解，但不是通解．

若，由于的连续性，必在的某区间有．于是

分离变量，得

积分得

亦即

也可写成

由于当时，，故前面所得的解也包含在这个通解之内．

3．求下列初值问题的解：

（1），，；

（2），，；

（3），，；

（4），，．

解

（1）易知，，，

由初值条件，知，得；

由，知，得．故特解为

再两端积分，得

由初值条件，有

解得，

故所给初值条件的微分方程的特解为

，即，

积分得，

代入初始条件，，得

亦即

分离变量后积分

于是得符合所给初值条件的特解为

（4）令，则，且原方程化为

从而，

再分离变量，得

，即

从而有满足所给初始条件的特解为

或写成

4．试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线．

解由于直线在处的切线斜率为，依题设知，所求积分曲线是初值问题

的解．由，积分得

再积分，得

代入初始条件，，解得

于是所求积分曲线的方程为

5．对任意的，曲线上的点处的切线在轴上的截距等于，求的表达式．

解设曲线的方程为，其中有二阶导数，则在点处的切线方程为

令，知切线在轴上的截距为

据题意，有

两端求导，得

已知，故有

令，则，且原方程化为

再对两端积分，得

习题11-6

1．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的．

（2），；

（4），．

解

（1）因为，满足：

常数，

所以函数组，是线性无关的．

（2）因为，满足：

所以函数组，是线性相关的．

（3）因为，满足：

（4）因为，满足：

2．验证及都是方程的解，并写出该方程的通解．

证明由，得，；

由，得，．

可见，

故及都是方程的解．

又因为常数，故与线性无关．于是所给方程的通解为

3．验证及都是方程的解，并写出该方程的通解．

由，得，．

因为

；

所以及都是方程的解．

又因为常数，故与线性无关，于是所给方程的通解为

4．若，，都是方程

（）

当，，都是连续函数时，求此方程的通解．

解因为，，所以及都是方程对应齐次方程的特解．又因为常数，所以与线性无关．因此，所给方程的通解为

习题11-7

1．求下列微分方程的通解．

（2）；

（4）；

（5）；

（6）．

解

（1）所给方程对应的特征方程为

解之，得

（2）所给方程对应的特征方程为

（3）所给方程对应的特征方程为

（4）所给方程对应的特征方程为

（5）所给方程对应的特征方程为

（6）所给方程对应的特征方程为

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（2）；

（4）．

3．设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量．

解设x轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点A在水平面处，又设在时刻t，点A的位置为，此时它受到的恢复力的大小为（是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有

其中m是浮筒的质量．

记，则得微分方程

解其对应的特征方程，得，故

，，．

由于振动周期，故，即

从中解出浮筒的质量为

（千克）．

习题11-8

1．求下列微分方程的特解的形式（不必求出待定系数）．

（2）；

（4）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）．

解

（1）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为

易知，不是特征方程的根，所以特解的形式为

（这里A、B和C为待定系数）．

（2）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为

易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为

（这里A和B为待定系数）．

（3）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为

易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为

（其中A为待定系数）．

（4）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为

易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为

（5）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为

（其中A和B为待定系数）．

（6）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为

易知，是不是特征方程的根，所以特解的形式为

（其中A、B和C为待定系数）．

（7）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为

易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为

（其中A、B为待定系数）．

（8）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为

易知，是特征方程的根，所以应设其特解为

（9）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为

易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为

（其中A、B、C和D为待定系数）．

（10）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为

2．求下列各微分方程的通解．

（2）；

（3）;

（4）．

解得

故对应齐次方程的通解为

因为不是特征方程的根，所以特解的形式为

代入原方程得

消去，有，即

因为是特征方程的单根，所以特解的形式为

代入原方程并消去，得

比较系数，得

因为是特征方程的二重根，所以特解的形式为

（4）