概率论与数理统计习题集及答案.docx

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概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论的基本概念

§1.1随机试验及随机事件

1.

（1）一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：

S=

（2）—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：

S=;

2.

（1）丢一颗骰子.A:

出现奇数点，贝UA=;B:

数点大于2，则B=

（2）一枚硬币连丢2次，A:

第一次出现正面，则A=;

B:

两次出现同一面，则=;C:

至少有一次出现正面，则C=

§1.2随机事件的运算

1•设A、BC为三事件，用ABC的运算关系表示下列各事件：

（1）A、B、C都不发生表示为：

.

（2）A与B都发生，而C不发生表示为：

（3）A与B都不发生，而C发生表示为：

.（4）A、BC中最多二个发生表示为：

（5）A、B、C中至少二个发生表示为：

.（6）A、BC中不多于一个发生表示为：

2.设S

{x:

0x5},A{x:

1

x3},B{x:

2

4}:

则

（1）

A

B,

（2）

AB

（3）Ab

（4）

A

B=,

（5）

AB=

。

§1

.3

概率的定义和性质

1.已知P（AB）0.8,P（A）0.5,P（B）0.6，则

（1）P（AB）,

（2）（P（AB））=,（3）P（AB）=.

2.已知P（A）0.7,P（AB）0.3,则P（AB）=.

§1.4古典概型

1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:

（1）正好有2个女同学的概率

（2）最多有2个女同学的概率,（3）至少有2个女同学的概率.

2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1•丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是

2.已知P（A）1/4,P（B|A）1/3,P（A|B）1/2,则P（AB）。

§1.6全概率公式

1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中’的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

§1.7贝叶斯公式

1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求

（1）该厂产品能出厂的概率，

（2）任取一出厂产品，求未经调试的概率。

2.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，

B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:

2，若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？

§1.8

随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

AB

/

L1

Cd

R

CD

/

3.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率：

（1）恰好命中一次，

（2）至少命中一次。

第1章作业答案

§1.11：

（1）S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};

（2）S{0,1,2,3}

2：

（1）A{1,3,5}B{3,4,5,6};

（2）A{正正，正反},B{正正，反反},C{正正，正反，反正}。

§1.21:

（1）ABC;

（2）ABC；（3）ABC；（4）ABC；（5）ABACBC;

（6）AB

AC

BC

或ABCABCABCABC；

2：

（1）AB

{x:

1

x4}

；⑵AB

{x:

2x3};（3）AB{x:

3x4}；

（4）A

B{x:

:

0x

1或2

x5}；（5）AB{x:

1x4}。

§1.31:

（1）P（AB）=0.3,

（2）P（AB）=0.2,（3）P（AB）=0.7.2：

P（AB））=0.4.

1.4

28101019

1:

（1）C8C22/C30,

（2）（（C22C8C22

c；c；2）/c30，（3）1-（c22c8c；2）/c30.

2:

P43/43.

§1.51:

.2/6;2:

1/4。

§1.61:

设A表示第一人“中”，则P（A）=2/10

设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=_21_82_2

10910910

两人抽“中‘的概率相同，与先后次序无关。

2:

随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：

p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45

§1.71:

（1）94%

（2）70/94;2:

0.993;

§1.8.1:

用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=ABUCD,

从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）

=P（A）P（B）+P（C）P（D）-P（A）P（B）P（C）P（D）

22424

PPP2pp

2:

（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38;

（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球

中的最大号码.，试写出X的分布律.

2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，—次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为

止，用X表示射击的次数，试写出X的分布律。

§2.201分布和泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；

（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；

⑶每分钟最多有1次呼叫的概率；

2设随机变量X有分布律：

X23,Y〜n（X）,试求：

p0.40.6

（1）P（X=2,Y<2）;

（2）P（YW2）;（3）已知Y<2,求X=2的概率。

§2.3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻

（1）恰有2台计算机被使用的概率是多少？

（2）至少有3台计算机被使用的概率是多少？

（3）至多有3台计算机被使用的概率是多少？

（4）至少有1台计算机被使用的概率是多少？

2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率

不小于0.9？

§2.4随机变量的分布函数

0

x

1

1设随机变量X的分布函数是：

F（x）=

0.5

1

x1

1

x1

（1求P（X<0）；P0X

1;P（X>1）,

（2）写出X的分布律。

Ax°

x0

2设随机变量X的分布函数是：

F（x）=

1x，求

（1）常数A，⑵P1

0x0

§2.5连续型随机变量

（3）用二种方法计算P（-0.5

0x1

2设连续型随机变量x0勺分布函数为：

F（x）=inx1xe

⑵并用二种方法计算P（X>0.5）.

1xe

（1）求X的密度函数f（x），画出f（x）的图形,

§2.6均匀分布和指数分布

4x2+4Kx+K+2=0

1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布，求方程

有实根的概率。

2假设打一次电话所用时间（单位：

分）X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面

走进电话亭，试求你等待：

（1）超过10分钟的概率；

（2）10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布

1随机变量X〜N（3,4）,⑴求P（22）,P（X>3）;

（2）确定c,使得P（X>c）=P（X

2某产品的质量指标X服从正态分布，卩=160,若要求P（1200.80，试问最多取多大？

§2.8随机变量函数的分布

1设随机变量X的分布律为；

X

0

1

2

p

0.3

0.4

0.3

Y=2X-1,求随机变量X的分布律。

YX2;求随机变量Y的密度函数。

3.

2lnX，求随机变量Y的密度函数。

设随机变量X服从（0,1）上的均匀分布，丫

第2章作业答案

§2.11:

X|345

p0.10.30.6

2:

X12345

p0.40.6为.40.6为.6J0.40.6&6为.6E.40.6为.6J0.6E.6X

§2.21:

（1）P（X=1）=P（X>1）-P（X>2）=0.981684-0.908422=0.073262,

（2）P（X>1）=0.981684,

（3）P（X<1）=1-P（X>2）=1-0.908422=0.091578

P（X=2,YW2）=P（X=2）P（YW2|X=2）=0.4（e^2e22e2）=2e2

由全概率公式：

P（Y<2）=P（X=2）P（YW2|X=2）+P（X=3）P（Y<2|X=3）

2173

=0.4+0.61e=0.27067+0.25391=0.52458

2

由贝叶斯公式：

P（X=2|YW2）=旦冬空引0.270670.516

P（Y2）

2:

（1）

f（x）

1/x1

0其

xe

他

（2）P（X

2）

1In2

§2.61

3/5

2

:

（1）e2

（2）e2e4

§2.71:

（1）0.5328,0.9996,0.6977,0.5;

（2）c=3

2:

dW31.25。

§2.81:

Y

-1

1

3

P

0.3

0.4

0.3

2:

fY（y）

1

（1

0y1

3:

fY（y）

1y/2

_e

2

0

其他

0

第3章多维随机变量

§3.1二维离散型随机变量

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：

x\y

0

1

2

试根据卜列条件分别求a和b的值；

0

0.1

0.2

a

（1）P（X1）0.6;

1

0.1

b

0.2

⑵P（X1|Y2）0.5；（3）设F（x）是Y的分布函数，F（1.5）0.5。

§3.2二维连续型随机变量

求

（1）常数k;

（2）P（X+Y<1）;（3）P（X<1/2）o

§3.3边缘密度函数

f（x,y）

xc

f（x,y）

e0yx

0其他

§3.4随机变量的独立性

1.（X,Y）的联合分布律如下，

试根据下列条件分别求a和b的值;

⑴P（Y1）1/3；

1/9

⑵P（X1|Y2）0.5;（3）已知X与Y相互独立。

2.（X,Y）的联合密度函数如下，求常数

c,并讨论X与丫是否相互独立?

f（x,y）

2

cxy0x1,0y1

0其他

第3章作业答案

§3.11:

X\Y

1

2

1

0.4

0.3

0.7

2

0.3

0.

0.3

0.7

0.3

1

§3.2

2：

（1）a=0.1b=0.3

（2）a=0.2b=0.2

（3）a=0.3b=0.1

§3.4

1：

（1）k=

:

1；

2：

（1）k=

:

8；

1：

fx

（x）

§3.3

J（y）

2：

fx（x）

1：

2：

§4.1

1.盒中有

（A）1；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）=1/8

（2）P（X+Y<1）=1/6;（3）P（X<1/2）=1/16。

（3）P（X+Y<1）=1/3

21厂dy

2（1x2）（1y2）

（1x

（4）P（X<1/2）=3/8。

2（1

）（1

-^dx

y）（1

y2）

x

xe

J（y）

（1）a=1/6c=6,

b=7/18;

X与Y相互独立。

⑵a=4/9b=1/9；

随机变量的数字特征

数学期望

5个球，其中2个红球，随机地取3个，用

1.5;

（B）1.2；

（C）

（3）

a=1/3,b=2/9。

X表示取到的红球的个数，则EX是:

（D）2.

3x2

2.设X有密度函数：

f（x）8

求E（X）,E（2X1）,E（匕），并求X

X

大于数学期望E（X）的概率。

3.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为:

已知E（XY）0.65,

则a和b的值是：

（A）a=0.1,b=0.3;（B）a=0.3,b=0.1;

X\y

0

1

2

0

0.1

0.2

a

1

0.1

b

0.2

（C）a=0.2,b=0.2;

（D）a=0.15,b=0.25。

4•设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下:

EX,EY,E（XY

1）。

f（x,y）

xy

0

1,0

§4.2数学期望的性质

相互独立。

§4.3方差

§4.4常见的几种随机变量的期望与方差

1设X〜

（2），丫〜B（3,0.6），相互独立，则E（X2Y）,D（X2Y）的值分别是:

（A）-1.6和4.88；（B）-1和4;（C）1.6和4.88；（D1.6和-4.88.

（A）0和8；

（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.

§4.6独立性与不相关性矩

1.下列结论不正确的是（）

（A）X与丫相互独立，则X与丫不相关；

（B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；

（C）E（XY）E（X）E（Y），则X与Y相互独立;

（D）f（x,y）fx（x”Y（y），则X与丫不相关;

2.若COV（X,Y）0，则不正确的是（）

（D）既不必要，也不充分。

X与丫不相关，但不独立。

D（X）D（Y）；

（C）D（XY）D（X）D（Y）；（D）D（XY）

X、Y

-1

0

1.

-

-1

1/8

1/8

1/8

0

1/8

0

1/8

1

1/8

1/8

1/8

3.（X,Y）有联合分布律如下，试分析

X与Y的相关性和独立性。

4.E（XY）E（X）E（Y）是X与丫不相关的（）

（A）必要条件；（B）充分条件：

（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。

5.E（XY）E（X）E（Y）是X与丫相互独立的（）

（A）必要条件；（B）充分条件：

（C）充要条件;

6.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：

试验证

第4章作业答案

§4.11:

B;2:

3/2,2,3/4,37/64;3:

D;4:

2/3,4/3,17/9;

§4.21:

D;

§4.31:

7/2,35/12;2:

11/36;

§4.41:

A2:

B;

§4.51:

0.2,0.355;2:

-1/144,—1/11;

§4.61:

C;2:

C;3:

X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4:

C;5:

A;

第5章极限定理

*§5.1大数定理§5.2中心极限定理

1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元

件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.22:

0.1788;3:

0.889,0.841;

第6章数理统计基础

§6.1数理统计中的几个概念

1.有n=10的样本；1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4，则样本

均值X=，样本均方差S，样本方差S2。

2•设总体方差为b2有样本X1,X2,,Xn,样本均值为X，则Cov（X-X）。

§6.2数理统计中常用的三个分布

1.查有关的附表，下列分位点的值：

Z°.9=,為（5）=,t0.9（10）=

2•设X1,X2,,Xn是总体2（m）的样本，求E（X）,D（X）。

§6.3一个正态总体的三个统计量的分布

22

1•设总体X~N（,），样本X1,X2,,Xn，样本均值X，样本方差S，贝y

xX

§6.3

1.N（0,1）,t（n1）,2（n

1）,

2（n）;

第6章作业答案

第7章参数估计

§7.1矩估计法和顺序统计量

鼠法

1.设总体X的密度函数为：

f（x）

■,x

一10x

1

”r,

有样本X1,X2,,Xn，求未

0

其

丿、

他

知参数的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X

~（）

，为估计

的值，

在实地随机地调查了20次，

每次1分钟，结果如下：

次数：

2

34

5

6

量数：

9

53

7

4

试求的一阶矩估计和二阶矩估计。

§7.2极大似然估计

1.设总体X的密度函数为：

f（x）

（、

1）x0

x

1

，有样本X1,X2,,Xn,求

0

其

丿、

他

未知参数的极大似然估计。

§7.3估计量的评价标准

1.设总体X服从区间（a,1）上的均匀分布，有样本X1,X2,,Xn，证明召2X1是a的无偏估计。

2

2.设总体X〜（），有样本X1,X2,,Xn，证明aX（1a）S是参数的无偏估计

（0a1）。

§7.4参数的区间估计

1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度X~N（,2）,抽取9根纤维，测

量其纤度为：

1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47，试求的置信度为0.95的置信区间，

（1）若20.0482,

（2）若2未知

2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x12.075mm,s=0.0494mm,设另件长度X~N（,2）,取置信度为0.95,

（1）求2的置信区间，

（2）求的置信区间。

第7章作业答案

X2

§7.11：

（）2；2:

5，4.97；

1X

§7.211）2；

InXi

i1

§7.3

§7.41:

（1.377，1.439），（1.346，1.454）；2:

（0.0013，0.0058）；（0.036,0.076）

第8章假设检验

§8.1假设检验的基本概念

1.某种电子元件的阻值（欧姆）X〜N（1000,400）,随机抽取25个元件，测得平均电

阻值X992，试在0.1下检验电阻值的期望是否符合要求？

2.在上题中若2未知，而25个元件的均方差S25，则需如何检验，结论是什么？

§8.2假设检验的说明

1.设第一道工序后，半成品的某一质量指标X~N（,64）,品质管理部规定在进入下一工

序前必需对该质量指标作假设检验H0:

0，H1:

0；n16，当X与0的绝

对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。

§8.3一个正态总体下参数的假设检验

1.成年男子肺活量为3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一

定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为x3808毫升，设方差为21202，试检

验肺活量均值的提高是否显著（取0.02）？

第8章作业答案

§8.1

1：

拒绝H0:

1000-2:

?

J•

接受H。

：

1000；

§8.2

1:

0.1；

§8.3

1：

拒绝H0；