B.a≥eC.a≥
D.a≥4
13.若函数f(x)=-
x2+alnx在区间(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为()
A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,1)
14.若函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是()
A.(3,+∞)B.[-3,+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)
二、填空题
15.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________.
16.函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调递减区间为(0,3),则m=________.
17.若函数y=a(x3-x)的单调减区间为(-
,
),则a的取值范围是________.
18.若函数y=-
x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是________.
19.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2],则b=________,c=________.
20.已知函数f(x)=
在(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围为________.
21.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围是________.
22.已知a>0,函数f(x)=lnx+
在[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
23.若函数y=ax+sinx在R上单调递增,则a的最小值为________.
24.若函数f(x)=
在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.
25.函数y=x3-ax+4在(1,+∞)上为增函数,则a的取值范围是________.
三、解答题
26.已知函数f(x)=2ax-
,x∈(0,1].若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
27.已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)是否存在a,使f(x)的单调减区间是(-1,1);
(2)若f(x)在R上是增函数,求a的取值范围.
28.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0).若f(x)的单调递减区间为(0,4),单调递增区间为(-∞,0)与(4,+∞),求k的值.
答案解析
1.【答案】D
【解析】y′=3ax2-1,∵函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,
则3ax2-1≤0在R上恒成立,
∴a=0或
∴a≤0.
2.【答案】D
【解析】由条件知f′(x)=k-
≥0在(1,+∞)上恒成立,
∴k≥1.
3.【答案】C
【解析】f′(x)=
-
=
.
∵f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
∴ax-1≥0在(1,+∞)上恒成立,
显然,需a>0,
∴函数y=ax-1在(1,+∞)上是增函数,
∴a-1≥0,a≥1,
∴实数a的取值范围是[1,+∞).
4.【答案】A
【解析】对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
>0恒成立,即f(x)为增函数.
则当x>0时,f′(x)>0恒成立,
f′(x)=
+x>0在(0,+∞)上恒成立,
则a>(-x2)max,
而-x2<0,则a≥0.
5.【答案】B
【解析】由f(x)=-x3+2ax,所以f′(x)=-3x2+2a,
因为f(x)=-x3+2ax在(0,1]上是单调递增函数,
所以f′(x)=-3x2+2a≥0在(0,1]上恒成立,
即2a≥3x2在(0,1]上恒成立.
因为函数y=3x2≤3在(0,1]上恒成立,
所以a≥
.
6.【答案】C
【解析】∵f(x)=ex-ax-1在R上单调递增,
∴f′(x)≥0恒成立,
即f′(x)=ex-a≥0恒成立,
即a≤ex,
∵ex>0,
∴a≤0.
7.【答案】B
【解析】∵a,b是正实数,函数f(x)=-
x3+ax2+bx在x∈[-1,2]上单调递增,
∴f′(x)=-x2+2ax+b,
且f′(x)=-x2+2ax+b≥0在区间[-1,2]上恒成立.
由于二次函数f′(x)=-x2+2ax+b的图象是抛物线,开口向下,对称轴为x=a,
故有f′(-1)≥0,且f′
(2)≥0,即
化简可得2a+2b≥5,a+b≥
,故a+b的取值范围为[
,+∞).
8.【答案】A
【解析】f′(x)=3x2+a,
∵函数f(x)=x3+ax在[1,+∞)上是增函数,
∴f′(x)=3x2+a≥0在[1,+∞)上恒成立,
∵f′(x)=3x2+a在[1,+∞)上是增函数,
∴3x2+a≥3×12+a=3+a,
∴3+a≥0,
∴a≥-3.
9.【答案】B
【解析】f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,
由Δ=4a2-12≤0得-
≤a≤
.
10.【答案】D
【解析】若函数f(x)=x-alnx在区间(0,2]上单调递减,则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立,
即1-
≤0,即
≥1,即a≥x,
∵011.【答案】C
【解析】∵f(x)=
x3+bx2+(b+2)x+3,
∴f′(x)=x2+2bx+b+2,
∵f(x)是R上的单调增函数,
∴x2+2bx+b+2≥0恒成立,
∴Δ≤0,即b2-b-2≤0,
则b的取值是-1≤b≤2.
12.【答案】B
【解析】f′(x)=
,
∵函数f(x)=
在[1,+∞)上为减函数,
∴f′(x)=
≤0在[1,+∞)上恒成立,
即1-lna≤lnx在[1,+∞)上恒成立,
∴1-lna≤0,
∴a≥e.
13.【答案】C
【解析】∵f′(x)=-x+
,
∵f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,
∴f′(x)=-x+
≤0在区间(1,+∞)上恒成立,
∴a≤x2在区间(1,+∞)上恒成立,
∵x2>1,∴a≤1.
14.【答案】B
【解析】因为f(x)=x3+ax-2,所以f′(x)=3x2+a,因为函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,所以f′(x)=3x2+a≥0在区间(1,+∞)内恒成立且不恒为零,即a≥-3x2在区间(1,+∞)内恒成立且不恒为零,又x∈(1,+∞)时,(-3x2)max=-3,所以实数a的取值范围是[-3,+∞).
15.【答案】(-∞,-3]
【解析】由题意得3ax2+6x-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立.
当a=0时,6x-1≤0,x≤
不满足题意,∴a≠0;
当a≠0时,由题意得
∴a≤-3.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-3].
16.【答案】
【解析】令f′(x)=3x2-2mx=0,解得x=0或x=
m,所以
m=3,m=
.
17.【答案】(0,+∞)
【解析】由f′(x)=a(3x2-1)=3a(x-
)(x+
)<0的解集为(-
,
),知a>0.
18.【答案】(0,+∞)
【解析】y′=-4x2+a且y有三个单调区间,
∴方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,
∴Δ=02-4×(-4)×a>0,∴a>0.
19.【答案】-
-6
【解析】∵y′=3x2+2bx+c,由题意知[-1,2]是不等式3x2+2bx+c<0的解集,
∴-1,2是方程3x2+2bx+c=0的根,由根与系数的关系得b=-
,c=-6.
20.【答案】(-∞,
)
【解析】f′(x)=
,由题意得f′(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立,∴解不等式得a≤
,但当a=
时,f′(x)=0恒成立,不合题意,应舍去,∴a的取值范围是(-∞,
).
21.【答案】[
,+∞)
【解析】对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,
即函数f(x)在R上为增函数,
即有f′(x)≥0在R上恒成立.
由f(x)=x3-x2+mx+2的导数为f′(x)=3x2-2x+m,
由3x2-2x+m≥0恒成立,
可得判别式Δ=4-12m≤0,
解得m≥
,
则所求m的取值范围是[
,+∞).
22.【答案】[1,+∞)
【解析】f′(x)=
-
=
,
若函数f(x)=lnx+
在[1,+∞)上是增函数(a>0),
则ax-1≥0在[1,+∞)恒成立,即a≥(
)max=1.
23.【答案】1
【解析】y′=a+cosx,
∵y=ax+sinx在R上单调递增,
∴a+cosx≥0,在R上恒成立.
∴a≥-cosx,
-cosx的最大值为1,
∴a≥1,
即a的最小值为1.
24.【答案】(0,+∞)
【解析】f′(x)=(ax-
)′=a+
,
由题意得,a+
≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以a≥-
在x∈(0,+∞)上恒成立,
故a≥0.
25.【答案】(-∞,3)
【解析】y′=3x2-a,
∵y=x3-ax+4在(1,+∞)上为增函数,
∴y′=3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,
∴a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
∵3x2>3在(1,+∞)上恒成立,
∴a≤3.
26.【答案】解 由已知得f′(x)=2a+
,
∵f(x)在(0,1]上单调递增,∴f′(x)≥0,即a≥-
在x∈(0,1]上恒成立.
而g(x)=-
在(0,1]上单调递增,
∴g(x)max=g
(1)=-1,
∴a≥-1,∴f(x)在(0,1]上为增函数,a的取值范围是[-1,+∞).
【解析】
27.【答案】解 f′(x)=3x2-a.
(1)∵f(x)的单调减区间是(-1,1),
∴-1∴x=±1是方程3x2-a=0的两根,∴a=3.
(2)∵f(x)在R上是增函数,
∴f′(x)=3x2-a≥0对x∈R恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵y=3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0.
【解析】
28.【答案】解 f′(x)=3kx2-6(k+1)x,
由题意知x=0或x=4为方程f′(x)=0的两根,
∴0+4=4=
,∴k=1.
【解析】