卡尔曼滤波的MATLAB实现Word格式.doc
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（a）求出卡尔曼增益矩阵，并得出最优估计和观测矢量之间的递归关系。
（b）通过一个标量框图（不是矢量框图）表示出状态矢量中元素和估计值的计算过程。
（c）用模拟数据确定状态矢量的估计值并画出当k＝0，1，…，10时和的图。
（d）通常，状态矢量的真实值是得不到得。
但为了用作图来说明问题，表P8.1和P8.2给出来状态矢量元素得值。
对于k＝0，1，…，10，在同一幅图中画出真实值和在（c）中确定的的估计值。
对重复这样过程。
当k从1变到10时，对每一个元素i＝1，2，计算并画出各自的误差图，即。
（e）当k从1变到10时，通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出和，而，。
（f）讨论一下（d）中你计算的误差与（e）中方差之间的关系。
二、实验原理
1、卡尔曼滤波简介
卡尔曼滤波是解决以均方误差最小为准则的最佳线性滤波问题，它根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。
它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值（常常是状态变量的估计值）的形式给出其信号模型是从状态方程和量测方程得到的。
卡尔曼过滤中信号和噪声是用状态方程和测量方程来表示的。
因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和测量方程。
它不需要知道全部过去的数据，采用递推的方法计算，它既可以用于平稳和不平稳的随机过程，同时也可以应用解决非时变和时变系统，因而它比维纳过滤有更广泛的应用。
2、卡尔曼滤波的递推公式
………
（1）
………
（2）
………（3）
………（4）
3、递推过程的实现
如果初始状态的统计特性及已知，并
令
又
将代入式（3）可求得，将代入式
（2）可求得，将此代入式
（1）可求得在最小均方误差条件下的，同时将代入式（4）又可求得；
由又可求，由又可求得，由又可求得，同时由与又可求得……；
以此类推，这种递推计算方法用计算机计算十分方便。
三、MATLAB程序
%卡尔曼滤波实验程序
clc;
y1=[3.29691969,3.38736515,7.02830641,9.71212521,11.42018315,15.97870583,22.06934285,28.30212781,30.44683831,38.75875595];
%观测值y1（k）
y2=[2.10134294,0.47540797,3.17688898,2.49811140,2.91992424,6.17307616,5.42519274,3.05365741,5.98051141,4.51016361];
%观测值y2（k）
p0=[1,0;
0,1];
p=p0;
%均方误差阵赋初值
Ak=[1,1;
%转移矩阵
Qk=[1,0;
%系统噪声矩阵
Ck=[1,0;
%量测矩阵
Rk=[1,0;
0,2];
%测量噪声矩阵
x0=[0,0]'
;
xk=x0;
%状态矩阵赋初值
fork=1:
10
Pk=Ak*p*Ak'
+Qk;
%滤波方程3
Hk=Pk*Ck'
*inv（Ck*Pk*Ck'
+Rk）;
%滤波方程2
yk=[y1（k）;
y2（k）];
%观测值
xk=Ak*xk+Hk*（yk-Ck*Ak*xk）;
%滤波方程1
x1（k）=xk
（1）;
x2（k）=xk
（2）;
%记录估计值
p=（eye
（2）-Hk*Ck）*Pk;
%滤波方程4
pk（:
k）=[p（1,1）,p（2,2）]'
%记录状态误差协方差矩阵
end
figure%画图表示状态矢量的估计值
subplot（2,1,1）
i=1:
10;
plot（i,x1（i）,'
k'
）
h=legend（'
x1（k）的估计值'
set（h,'
interpreter'
'
none'
subplot（2,1,2）
plot（i,x2（i）,'
x2（k）的估计值'
X1=[0,1.65428714,3.50300702,5.997852924,9.15040740,12.50873910,16.92192594,21.34483352,25.89335144,31.54135330,36.93605670];
%由模拟得到的实际状态值X1（k）
X2=[0,1.65428714,1.84871988,2.47552222,3.17187816,3.35833170,4.41318684,4.42290758,4.54851792,5.64800186,5.394470340];
%由模拟得到的实际状态值X2（k）
figure%在同一幅图中画出状态矢量的估计值与真实值
i,X1（i+1）,'
b'
x1（k）的真实值'
i,X2（i+1）,'
x2（k）的真实值'
fori=1:
10%计算x（k）的误差
e1（i）=X1（i+1）-x1（i）;
e2（i）=X2（i+1）-x2（i）;
figure%画出误差图
plot（i,e1（i）,'
r'
x1（k）的误差'
plot（i,e2（i）,'
x2（k）的误差'
figure%通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出E[ε1（k/k）^2]和E[ε2（k/k）^2]
plot（i,pk（1,i）,'
h=legend（'
由状态误差协方差矩阵得到的E[ε1（k/k）^2]'
Interpreter'
plot（i,pk（2,i）,'
h=legend（'
由状态误差协方差矩阵得到的E[ε2（k/k）^2]'
四、实验结果分析
（a）卡尔曼增益矩阵：
估计值与观测值之间的递归关系为：
（b）状态矢量估计值的计算框图：
+
（c）和的图：
（d）真实值与估计值的比较图：
各自的误差图：
（e）通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出的和：
（f）分析：
（e）中的方差是（d）中的误差平方后取均值，是均方误差。
误差直接由真实值减去估计值，有正有负，而均方误差没有这个缺陷，更能综合的表示滤波的效果。
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