近年高考理科立体几何大题汇编docxWord格式文档下载.docx
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)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
3
7.(翻折)(2016年全国II高考)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,
AB5,AC6,点E,F分别在AD,CD上,AECF5,EF交BD于点H.将
4
DEF沿EF折到D'
EF位置,OD10.
(Ⅰ)证明:
DH平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角BDAC的正弦值.
8.(动点问题)(2018年II卷)如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,
PAPBPCAC
4,O为AC的中点.
P
(1)证明:
PO
平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角MPA
C为30
求PC与平面PAM所成角的正弦值.
A
O
C
M
B
(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
1.解:
(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,
所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.
又BCICM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
uuur
(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz.
当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.
由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),
uuuuruuuruuur
AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0)
设n(x,y,z)是平面MAB的法向量,则
5
n
uuuur
0,
2x
y
z0,
AM
0.
即
AB
2y
可取n
(1,0,2).
DA是平面MCD的法向量,因此
nDA
cosn,DA
|n||DA|
sin
25
n,DA
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是
5.
新课标全国卷Ⅱ]如图1-3,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥
平面ABCD,E为PD的中点.
,AP=1,AD=
3,求三棱锥E-ACD的体积.
图1-3
2,解:
(1)证明:
连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO?
平面AEC,PB?
平面AEC,所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
→
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,|AP
|
D(0,
为单位长,建立空间直角坐标系
A-xyz,则
3,0),E0,2
,2
,AE=
0,
,2.
6
3,0).
设B(m,0,0)(m>
0),则C(m,3,0),AC=(m,
设n1=,
z)
为平面
ACE
的法向量,
(xy
n1
mx+
3y=0,
·
AC=0,
即3
则
=0,
y+z=0,
AE
可取n1=m3,-1,3.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设易知|cos〈n1,n2〉|=2,即
.
2=,解得m=
3+4m
因为E为PD的中点,所以三棱锥
E-ACD的高为
1三棱锥
E-ACD
的体积
V
=1×
2.
13132×
3×
2×
2=8.
新课标Ⅰ卷)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,
AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°
,求二面角A﹣PB﹣C
的余弦值.
3.【答案】
(1)证明:
∵∠
BAP=∠CDP=90°
,∴PA⊥AB,PD⊥CD,
∵AB∥CD,∴AB⊥PD,
又
∵PA∩PD=P
且
PA?
平
面
PAD,
PD
面PAD
∴
⊥
PAD
PAB
;
(2)解:
∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形
ABCD为平行四边形,
由
(1)知
AB⊥平面PAD,∴AB⊥
AD
四
边
形
ABCD
为
矩
7
在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°
,可得△PAD为等
腰直角三角形,
设PA=AB=2a,则
取AD中点O,BC中点以O为坐标原点,分别以
AD=.
E,连接PO、OE,
OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则:
D(),B(),P(0,0,),C().
,,.
设平面PBC的一个法向量为,
由
,得
取
y=1,
得
∵
AB⊥平
AD?
AB⊥
AD,
PA
PA∩AB=A
∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.
∴cos<>==.
由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为.
课标全国卷Ⅰ]如图三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°
,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
4解:
连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.
又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.
8
由于AO?
平面ABO,故B1C⊥AO.
又B1O=CO,故AC=AB1.
(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.
又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两垂
直.
以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
因为∠CBB1=60°
,所以△CBB1
为等边三角形,又
AB=BC,则A
,,
3,
B(1,0,0),B1
3,0,C,-
3,0
,,-
AB1=,
,-
,A1B1=AB=
,0.
B1C1=BC=-1,-
设n=(x,y,z)是平面AA11的法向量,则
n·
AB=0,
y-
z=0,
所以可取n=(1,
3,3).
11=0,
AB
x-3z=0.
设m是平面A1
BC
m·
A1B1=0,
同理可取m=(1,-
1=0,
则cos〈n,m〉=
m
|n||m|=
7.
9
所以结合图形知二面角A-A1B1-C1的余弦值为7.
【2015高考新课标1】如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°
,E,
F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(Ⅰ)证明:
平面AEC⊥平面AFC;
5.,【答案】
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)33
又∵AE⊥EC,∴EG=3,EG⊥AC,
在Rt△EBG中,可得BE=
2,故DF=
2.
在Rt△FDG中,可得FG=6.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=
2,DF=
可得EF=
2,
∴EG2
FG2
EF2,∴EG⊥FG,
∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC,
10
EG
面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC
⋯⋯6分
uuuruuuruuur
(Ⅱ)如,以G坐原点,分以GB,GC的方向x,y正方向,|GB|
位度,建立空直角坐系
G-xyz,由(Ⅰ)可得A(0,-
3,0),E(1,0,
2),F(-1,0,2
),(
,3
),∴
=(1,
2),CF=(-1,
C0
2)
-3,
⋯分
uuuruuur
故cos
AE?
CF
AE,CF
|AE||CF|
所以直AE与CF所成的角的余弦
3.
分⋯⋯12
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
5.解:
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
11
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3
.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得PH
EH
则H(0,0,0),
P(0,0,
3),D(1,
(1,3
3),
3)为平面ABFD的
0),DP
HP(0,0,
法向量.
设DP与平面ABFD所成角为
HPDP
,则sin|uuur
uuur|
|HP||DP|
43.
34
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
(翻折)(
2016
年全国
II
高考)如图,菱形ABCD的对角线AC与
BD
交于点O,
AB5,AC
6,点E,F分别在AD,CD上,AECF
5,EF交BD于点H.将
EF位置,OD10.
DH
平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角B
DAC的正弦值.
7.【解析】⑴证明:
∵AECF5,∴AECF,
4ADCD
∴EF∥AC.∵四边形ABCD为菱形,∴
12
ACBD,
∴EFBD,∴EFDH,∴EFDH.
∵AC6,∴AO3;
又AB5,AOOB,∴OB4,
∴OHAEOD1,∴DHDH3,∴OD2OH2D'
H2,∴
AO
D'
HOH.又∵OHIEFH,∴D'
H面ABCD.
⑵建立如图坐标系Hxyz.
B5,0,0,C1,3,0,D'
0,0,3,A1,3,0,
1,3,3
AD'
AB430
ur
设面ABD'
法向量n1
x,y,z,
AC0,6,0,
uur
4x3y0
x
n1AB0
,取y
由uur
4,∴n1
45
3y3z
z
同理可得面AD'
C的法向量n2
3,0
,1
∴cos
n2
75,∴sin
95.
52
25
PAPBPCAC4,O为AC的中点.
13
PO平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.