高中文科数学立体几何知识点总结.doc
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立体几何知识点整理（文科）
一．直线和平面的三种位置关系：
1.线面平行
符号表示：
2.线面相交
符号表示：
3.线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：
用线面平行实现。
方法二：
用面面平行实现。
方法三：
用线面垂直实现。
若，则。
方法四：
用向量方法：
若向量和向量共线且l、m不重合，则。
2.线面平行：
方法一：
用线线平行实现。
方法二：
用面面平行实现。
方法三：
用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量，且,则。
3.面面平行：
方法一：
用线线平行实现。
方法二：
用线面平行实现。
三．垂直关系：
1.线面垂直：
方法一：
用线线垂直实现。
方法二：
用面面垂直实现。
2.面面垂直：
方法一：
用线面垂直实现。
方法二：
计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：
方法一：
用线面垂直实现。
方法二：
三垂线定理及其逆定理。
方法三：
用向量方法：
若向量和向量的数量积为0，则。
三．夹角问题。
（一）异面直线所成的角：
（1）范围：
（2）求法：
方法一：
定义法。
步骤1：
平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：
解三角形求出角。
（常用到余弦定理）
余弦定理：
（计算结果可能是其补角）
方法二：
向量法。
转化为向量的夹角
（计算结果可能是其补角）：
（二）线面角
（1）定义：
直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，（图中）为直线l与面所成的角。
（2）范围：
当时，或
当时，
（3）求法：
方法一：
定义法。
步骤1：
作出线面角，并证明。
步骤2：
解三角形，求出线面角。
（三）二面角及其平面角
（1）定义：
在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
（2）范围：
（3）求法：
方法一：
定义法。
步骤1：
作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。
步骤2：
解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：
截面法。
步骤1：
如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：
解三角形，求出二面角。
方法三：
坐标法（计算结果可能与二面角互补）。
步骤一：
计算
步骤二：
判断与的关系，可能相等或者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：
几何法。
步骤1：
过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：
计算线段PO的长度。
（直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法）
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：
转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：
直接计算公垂线段的长度。
方法三：
公式法。
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，，则异面直线m和n之间的距离为：
A
B
C
D
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五．空间向量
（一）空间向量基本定理
若向量为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对，使得。
（二）三点共线，四点共面问题
1.A，B，C三点共线
，且
当时，A是线段BC的
A，B，C三点共线
2.A，B，C，D四点共面
，且
当时，A是△BCD的
A，B，C，D四点共面
（三）空间向量的坐标运算
1.已知空间中A、B两点的坐标分别为：
，则：
;
2.若空间中的向量，
则
六．常见几何体的特征及运算
（一）长方体
1.长方体的对角线相等且互相平分。
2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则
3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。
（二）正棱锥：
底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
（三）正棱柱：
底面是正多边形的直棱柱。
（四）正多面体：
每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
（只有五种正多面体）
（五）棱锥的性质：
平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：
各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（六）体积：
（七）球
1.定义：
到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。
3.球面距离：
经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式：
体积公式：
高考题典例
考点1点到平面的距离
例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：
平面；（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
解答过程（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
A
B
C
D
O
F
正三棱柱中，平面平面，
平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．
在正方形中，，平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由，得，．
点到平面的距离为．
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.
解答过程：
如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
为的中位线，∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，
在Rt中，
在Rt中，
又由于，即，解得故CD与SE间的距离为.
考点3直线到平面的距离
例3．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.
B
A
C
D
O
G
H
思路启迪：
把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.
解答过程：
解析一∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求
点O平面的距离,
，，平面,
又平面平面，两个平面的交线是,
作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.
在中，.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则
即BD到平面的距离等于.
小结：
当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.
考点4异面直线所成的角
例4如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：
平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．
解答过程：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，平面，
又平面．平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，．
又．在中，．
异面直线与所成角的大小为．
小结：
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：
①平移法：
在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：
把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：
.
考点5直线和平面所成的角
例5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．
解答过程：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
D
B
C
A
S
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得，．的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得，解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
小结：
求直线与平面所成的角时，应注意的问题是
（1）先判断直线和平面的位置关系；
（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：
①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.
考点6二面角
例6．如图，已知直二面角，，，，A
B
C
Q
P
，，直线和平面所成的角为．（I）证明
（II）求二面角的大小．
A
B
C
Q
P
O
H
过程指引：
（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，
从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）由（I）知，，又，，
，所以．过点作于点，连结，由三垂线定理知，．故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小为．
小结：
本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：
①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
考点7利用空间向量求空间距离和角
例7．如图，已知是棱长为的正方体，
点在上，点在上，且．
（1）求证：
四点共面；
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：
平面；
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
过程指引：
（1）如图，在上取点，使，连结，，则，．
因为，，所以四边形，都为平行四边形．从而，．
又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而．因此，四点共面．
（2）如图，，又，所以，
．
因为，所以为平行四边形，从而．
又平面，所以平面．
（3）如图，连结．因为，，所以平面，得．于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以
，．
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