第1讲学生4份 一元二次方程的概念及解法1直接开平方法.docx

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第1讲学生4份一元二次方程的概念及解法1直接开平方法

第1讲一元二次方程

学习目标

1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

2．使学生会用直接开平方法解一元二次方程．掌握一些转化的技能．

学习重点：

一元二次方程的概念及其一般形式；运用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；领会降次——转化的数学思想．

学习难点：

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

通过根据平方根的意义解形如x2＝n（n≥0），（x＋m）2＝n（n≥0）的方程．

学习过程

一、一元二次方程的概念

问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2：

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

探究：

（1）方程①②中未知数的个数各是多少？

．

（2）它们最高次数分别是几次？

．

归纳：

方程①②的共同特点是：

这些方程的两边都是____，只含有____未知数（一元），并且未知数的最高次数是____的方程．

1．一元二次方程的定义

等号两边都是____，只含有____个未知数（一元），并且未知数的最高次数是____（二次）的方程，叫做一元二次方程．

点评：

（1）都只含一个未知数x；

（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，____是二次项系数，____是一次项，____是一次项系数，____是常数项．

注意：

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

二、练习

1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－2x2＋5＝0；　　

（2）x2＝1；（3）5x2－2x－

＝x2－2x＋

；

（4）2（x＋1）2＝3（x＋1）；（5）x2－2x＝x2＋1;（6）ax2＋bx＋c＝0.

2．将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

例题精讲

例1．将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

注意:

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。

例3．求证：

关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

合作探究：

1．求证：

关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

2、.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？

在什么条件下此方程为一元一次方程？

3.当m为何值时,方程（m+1）x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

例题精讲

例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值

练习:

关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值

例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0

跟踪练习

1．判断下列方程是否为一元二次方程．

（1）1－x2＝0;

（2）2（x2－1）＝3y；（3）2x2－3x－1＝0;（4）

－

＝0；

（5）（x＋3）2＝（x－3）2;（6）9x2＝5－4x.

2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．

3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

总结．

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），特别强调a≠0.

3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

对应训练

1.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a=

2、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方程。

二、一元二次方程的解法---

（1）直接开平方法

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）²=n（n≥0）的方程,其解为x=±√n+m.

问题1：

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为____dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

由此可得，

根据平方根的意义，得x＝，

即x1＝____，x2＝____．

可以验证____和都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为____dm.

探究：

对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（2x－1）2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?

方程（2x－1）2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变

为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得

到方程（2x－1）2＝5的两个解为x1＝，x2＝．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成（x＋___）2＝4，进行降次，得到，方程的根为x1＝____，x2＝____.

归纳：

在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，那么可得x＝±

或mx＋n＝±

.

例题精讲

例4、解下列方程：

（1）2y2＝8；　　　　　　　

（2）2（x－8）2＝50；

（3）（2x－1）2＋4＝0;（4）4x2－4x＋1＝0.

方法点拨：

观察以上各个方程能否化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

例5、如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

例6．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

小结：

1.解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：

把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

2.用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±

转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±

，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解

合作探究：

1．用直接开平方法解下列方程：

（1）（3x＋1）2＝7;

（2）y2＋2y＋1＝24；（3）9n2－24n＋16＝11.

方法点拨：

运用开平方法解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

2．已知关于x的方程x2＋（a2＋1）x－3＝0的一个根是1，求a的值．

跟踪练习：

用直接开平方法解下列方程：

（1）3（x－1）2－6＝0;

（2）x2－4x＋4＝5；

（3）9x2＋6x＋1＝4;（4）36x2－1＝0；

（5）4x2＝81;（6）（x＋5）2＝25；

（7）x2＋2x＋1＝4.

总结．

1．用直接开平方法解一元二次方程．

2．理解“降次”思想．

3．理解x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）中，为什么p≥0?

对应训练

一、填空题

1、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零，该方程可以是_____________。

2．方程4x（x-1）=2（x+2）+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,

常数项是______.

3．关于x的方程mx

-3x=x

-mx+2是一元二次方程,则m___________．

4、关于

的一元二次方程

有一个根为0，则

．

5．将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

t（t+3）=28

2x

+3=7x

x（3x+2）=6（3x+2）

（3–t）

+t

=9

二．选择题：

1．在下列各式中

①x

+3=x;②2x

-3x=2x（x-1）–1;③3x

-4x–5;④x

=-

+2

2．是一元二次方程的共有（）

A0个B1个C2个D3个

3．一元二次方程的一般形式是（）

Ax

+bx+c=0Bax

+c=0（a≠0）

Cax

+bx+c=0Dax

+bx+c=0（a≠0）

4．方程6x

-5=0的一次项系数是（）

A6B5C-5D0

二．一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

三．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

（1）

为何值时，关于

的方程

是一元二次方程？

四、用直接开平方法解下列方程：

（1）3x2－1＝5；　　　

（2）4（x－1）2－9＝0；（3）4x2＋16x＋16＝9.

（4）

（5）

（6）（x+5）2=16

（7）x2=64（8）5x2-

=0（9）8（3-x）2–72=0

（10）

（11）

（12）

作业

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-

=0

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．

A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、解答题

1、（探究过程题）用直接开平方法解一元二次方程4（2x-1）2-25（x+1）2=0. 

解:

移项，得

移项得4（2x-1）2=25（x+1）2，①

直接开平方得2（2x-1）=5（x+1），②

∴x=-7.③

上述解题过程，有无错误如有，错在第步，原因是，请写出正确的解答过程.

2、用直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）、

（2）、

（3）、

（4）、

（5）

；（6）

；

（7）

；（8）

．

四、综合提高题

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=

x-（x+1）是一元二次方程？

2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？

为什么？

3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：

设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：

x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：

第一步：

x

1

2

3

4

x2-3x-1

-3

-3

所以，________

第二步：

x

3.1

3.2

3.3

3.4

x2-3x-1

-0.96

-0.36

所以，________

（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．