《23幂函数》导学案4Word文件下载.docx
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⑦y＝x－
⑧y＝x
的题号填入下面对应的图象中的括号内．
解析 先根据图象是否经过原点区分幂指数n的正负：
图象A，B，C，D，H的幂指数大于零；
而图象E，F，G的幂指数小于零．
再考察函数的定义域和值域．图象A对应的幂函数的定义域为[0，＋∞），对应函数为⑤y＝x
图象E对应的幂函数的定义域为（0，＋∞），对应函数为⑦y＝x－
图象D，H对应的幂函数的值域为[0，＋∞），再注意到图象分布规律，D对应函数为⑥y＝x
，H对应函数为①y＝x
图象G对应的幂函数的值域为（0，＋∞），对应的函数为②y＝x－4.
余下的图象B，C，F依次对应函数为③y＝x
，⑧y＝x
，④y＝x－
.
点评 以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．
幂函数常见错误剖析
本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考．
一、概念不清
例3下列函数中不能化为幂函数的是（ ）
A．y＝x0B．y＝2x2C．y＝x
D．y＝
错解 选A，或选C，或选D
剖析 错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：
y＝xα（α∈R）称为幂函数，因此，A，C，D中的函数均可化为幂函数，而B中的函数不能化为幂函数．
正解 B
二、忽视隐含条件
例4作出函数y＝4log2x的图象．
错解 y＝4log2x⇒y＝22log2x⇒y＝2log2x2⇒y＝x2.
故函数的图象如图所示．
剖析 在将函数式y＝4log2x变形为y＝2log2x2，即y＝x2时，定义域扩大了．
正解 y＝4log2x（x>
0）⇒y＝22log2x（x>
0）⇒y＝2log2x2（x>
0）⇒y＝x2（x>
0）．
作出幂函数y＝x2（x>
0）的图象，如图所示，即为函数y＝4log2x的图象．
三、思维片面
例5幂函数f（x）＝（m2－m－1）xm2－2m－1在区间（0，＋∞）上是增函数，求实数m的取值集合．
错解 由幂函数的定义，
可知f（x）可以写成f（x）＝xα的形式，
所以m2－m－1＝1，
解得m＝－1或m＝2.
剖析 求得m的值后，未检验是否符合题意．
正解 由幂函数的定义，
解得m＝－1，或m＝2.
当m＝－1时，f（x）＝x2在（0，＋∞）上是增函数；
当m＝2时，f（x）＝x－1在（0，＋∞）上不是增函数，舍去．
故所求实数m的取值集合为{－1}．
四、单调性理解不透彻
例6若（a＋1）－1<
（3－2a）－1，求实数a的取值范围．
错解 考查幂函数f（x）＝x－1，
因为该函数为减函数，
所以由（a＋1）－1<
（3－2a）－1，
得a＋1>
3－2a，解得a>
故实数a的取值范围是（
，＋∞）．
剖析 函数f（x）＝x－1在（－∞，0）和（0，＋∞）上均为减函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．
正解 考查幂函数f（x）＝x－1，由于该函数在（－∞，0）及（0，＋∞）上均为减函数，
（3－2a）－1，得
或a＋1>
3－2a>
0，
或3－2a<
a＋1<
解得a<
－1或
<
a<
故实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（
，
）．
幂函数的“杀手锏”
一、对幂函数的定义要掌握准确
形如y＝xα的函数叫幂函数（系数是1，α为实常数）．
例1如果f（x）＝（m－1）xm2－4m＋3是幂函数，则f（x）在其定义域上是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数
D．在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上也是减函数
解析 要使f（x）为幂函数，则m－1＝1，即m＝2.
当m＝2时，m2－4m＋3＝－1，∴f（x）＝x－1.
∴f（x）在（－∞，0）上是减函数，
在（0，＋∞）上也是减函数．
答案 D
二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系
从x轴的正方向按逆时针旋转到y轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．
如图为y＝xα在α取－2，2，－
四个值时的图象，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为2，
，－
，－2，其规律为在直线x＝1的右侧“指大图高”．
三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题
例2若（a＋1）－
（3－2a）－
，求a的取值范围．
解 y＝x－
为偶函数，其图象如图所示．
∴|a＋1|>
|3－2a|，∴
4.
图象帮你定大小
在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．
例3已知实数a、b满足等式a
＝b
，下列五个关系式：
①0<
b<
1；
②－1<
0；
③1<
b；
④－1<
⑤a＝b.
其中可能成立的式子有________．
解析 首先画出y1＝x
与y2＝x
的图象（如图所示），已知a
＝m，作直线y＝m.
如果m＝0或1，则a＝b；
如果0<
m<
1，则0<
如果m>
1，则1<
b.
从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.
答案 ①③⑤
例4函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，则m，n，p的大小关系是____________．
解析 结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x＝a（0<
1），可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是an<
am<
ap，根据指数函数y＝ax（0<
1）是单调减函数可得n>
m>
p.
答案 n>
p
点评 以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．
三种数学思想在幂函数中的应用
一、分类讨论的思想
例5若（a＋1）－
，试求a的取值范围．
分析 利用函数y＝x－
的图象及单调性解题，注意根据a＋1，3－2a是否在同一单调区间去分类．
解 分类讨论
或
点评 考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1，3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
二、数形结合的思想
例6已知x2>
x
，求x的取值范围．
解 x2与x
有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα（其中α＝2，
），所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<
0或x>
1.
点评 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
三、转化的数学思想
例7指出函数f（x）＝
的单调区间，并比较f（－π）与f（－
）的大小．
解 因为f（x）＝
＝1＋
＝1＋（x＋2）－2，
所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．
所以f（x）在（－2，＋∞）上是减函数，在（－∞，－2）上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．
又因为－2－（－π）＝π－2，
－
－（－2）＝2－
所以π－2<
2－
故－π距离对称轴更近，
所以f（－π）>
f（－
点评 通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．
联想加分析
“联想”加“分析”是正确求解数学问题的关键．有时面对一道题，从该题的某个条件上看出某一类问题的“影子”，于是“联想”便展开了．很快有了基本思路，再运用“分析”使思路严谨化，解题过程就诞生了，请看下面两例：
例8若（a＋2）－1>
（4－a）－1，求实数a的取值范围．
联想 这是一道涉及幂函数y＝x－1的应用问题，我们知道此函数在（－∞，0）及（0，＋∞）上均为减函数，
故
由
⇒－2<
⇒a∈∅，
则实数a的取值范围为（－2，1）．
分析 此题又不同于幂函数，我们可以看出，当
即a>
4时不等式也成立；
于是本题的正确求解要分三种情况．
正确的结果是实数a的取值范围为（－2，1）∪（4，＋∞）．
例9若函数f（x）>
0且满足f（xy）＝f（x）·
f（y），若x>
1时，f（x）>
1，求使f（x－3）<
f（2x－5）成立的x的范围．
联想 由于f（x）＝xn在（0，＋∞）上满足“f（x）>
0且f（xy）＝f（x）·
f（y）”，于是想到这是一道与幂函数有关的抽象函数问题．
令x＝y＝1得f
（1）＝1.
又f
（1）＝f（x·
）＝f（x）·
f（
），
所以f（
）＝
则f（
）＝f（x·
设0<
x1<
x2，则
>
由已知得f（
）>
1，即
故f（x2）>
f（x1）．所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
因此，由f（x－3）<
f（2x－5）⇒
⇒x>
3.
故使f（x－3）<
f（2x－5）成立的x的范围为（3，＋∞）．
分析 表面上看没有任何问题，但深入想一下可以发现：
条件中并没有x－3>
0及2x－5>
0的限制，这个是求解时强加的，是片面的，应该这样来解：
令x＝y＝－1得f（－1）＝1，
则f（－x）＝f（x）·
f（－1）＝f（x）．
即f（x）为偶函数．
于是由f（x－3）<
f（2x－5）及f（x）在（0，＋∞）
上单调递增得|x－3|<
|2x－5|
∴（x－3）2<
（2x－5）2
∴（3x－8）（x－2）>
∴x<
2或x>
即为所求．
可以看出：
丰富的联想再加上必要的分析是产生正确结论的保障！
但愿这两点你都拥有．
三类抽象函数问题的解法
大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．
一、以正比例函数为模型的抽象函数
例10已知f（x）的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且x>
0时，f（x）<
0，f
（1）＝－2，求f（x）在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
分析 由条件f（x＋y）＝f（x）＋f（y）联想正比例函数f（x）＝kx，其中k<
0，满足已知条件．由此猜想函数f（x）是区间[－3，3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．
解 因为对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），于是取x＝0，可得f（0）＝0，同时设y＝－x，得f（x－x）＝f（x）＋f（－x），所以f（x）＋f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），知函数f（x）为奇函数．
下面证明它是减函数：
任取－3≤x1<
x2≤3，则x2－x1>
又x>
0，即f（x2－x1）<
f（x2－x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2）－f（x1）<
0.
所以函数f（x）在区间[－3，3]上是减函数．
当x＝－3时，函数f（x）取最大值；
当x＝3时，函数f（x）取最小值．
f（x）max＝f（－3）＝－f（3）＝－f（1＋2）
＝－[f
（1）＋f
（2）]＝－[f
（1）＋f
（1）＋f
（1）]
＝－3f
（1）＝6；
f（x）min＝f（3）＝3f
（1）＝－6.
点评 本题求解有两个特点：
一是赋值；
二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．
二、以指数函数为模型的抽象函数
例11设函数f（x）的定义域为实数集R，满足条件：
存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2），对任意x和y，有f（x＋y）＝f（x）·
f（y）．
（1）求f（0）；
（2）对任意x∈R，判断f（x）值的正负．
解 由已知猜想f（x）是指数函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）>
（1）将y＝0代入f（x＋y）＝f（x）·
f（y），
得f（x）＝f（x）·
f（0），于是有f（x）[1－f（0）]＝0.
若f（x）＝0，则对任意x1≠x2，有f（x1）＝f（x2）＝0，
这与已知题设矛盾，所以f（x）≠0，从而f（0）＝1.
（2）设x＝y≠0，则f（2x）＝f（x）·
f（x）＝[f（x）]2≥0，
又由
（1）知f（x）≠0，所以f（2x）>
由x为任意实数，知f（x）>
故对任意x∈R，都有f（x）>
点评 从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f（x）[1－f（0）]＝0，直接得出f（0）＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．
三、以对数函数为模型的抽象函数
例12设函数f（x）是定义域（0，＋∞）上的增函数，且f（
）＝f（x）－f（y）．
（1）求f
（1）的值；
（2）若f（6）＝1，求不等式f（x＋3）＋f（
）≤2的解集．
解 由已知猜想f（x）是对数函数y＝logax（a>
0，且a≠1）的抽象函数．
（1）将x＝y＝1代入f（
）＝f（x）－f（y），
得f
（1）＝f
（1）－f
（1），所以f
（1）＝0.
（2）因为f（6）＝1，所以2＝f（6）＋f（6），
于是f（x＋3）＋f（
）≤2等价于f（x＋3）－f（6）≤f（6）－f（
），即f（
）≤f（6x），
而函数f（x）是定义域（0，＋∞）上的增函数，
所以
，解得x≥
因此满足已知条件的不等式解集为[
点评
（1）对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；
（2）本题是增函数概念“若x1<
x2，则f（x1）<
f（x2）”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f”，从而使问题得以解决．
例谈函数模型法
例13定义在实数集R上的函数y＝f（x）具有下列两条性质：
①对于任意x∈R都有f（x3）＝[f（x）]3；
②对于任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有f（x1）≠f（x2）．则f（－1）＋f（0）＋f
（1）的值为（ ）
A．1B．2C．－1D．0
分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．
解析 根据题设条件设f（x）＝
则可以求得f（－1）＋f（0）＋f
（1）＝0，答案为D.
例14已知f（x）是R上的增函数，且f（x1＋x2）＝f（x1）·
f（x2），若f
（2）＝4，则f（2x＋1）>
8的解集是________．
分析 性质f（x1＋x2）＝f（x1）·
f（x2）类似于指数函数的性质am＋n＝am·
an，故可以构建指数函数模型．
解析 设f（x）＝ax（a>
1），则由f
（2）＝4可得a＝2，
所以f（x）＝2x.
由f（2x＋1）>
8，则22x＋1>
8，解得x>
故不等式f（2x＋1）>
8的解集是（1，＋∞）．
答案 （1，＋∞）
例15已知函数f（x）是定义域为R的增函数，且值域为（0，＋∞），则下列函数中为减函数的是（ ）
A．f（x）＋f（－x）B．f（x）－f（－x）
C．f（x）·
f（－x）D.
分析 指数函数y＝ax（a>
0，a≠1）中，在a>
1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R；
②增函数；
③值域为（0，＋∞）．
解析 不妨设f（x）＝2x，通过观察四个选项，可以得出
＝（
）x符合题意，故选D.
幂函数高考考点透视
本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y＝xα（α＝1，2，3，
，－1）的图象和性质研究多项式函数，分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．
1．（陕西高考）函数f（x）＝
（x∈R）的值域为（ ）
A．[0，1]B．[0，1）
C．（0，1]D．（0，1）
解析 ∵1＋x2≥1，∴0<
≤1
∴f（x）＝
的值域是（0，1]．
答案 C
2．（课标全国高考）下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝x3B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|
解析 ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝（
）|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对．
答案 B
3．（北京高考）函数f（x）＝
的定义域为______________．
解析 要使函数f（x）＝
有意义，
则必须有
⇒
即x∈[－1，2）∪（2，＋∞）．
答案 [－1，2）∪（2，＋∞）
4．（山东高考）设函数f1（x）＝x
，f2（x）＝x－1，f3（x）＝x2，则f3（f2（f1（2007）））＝________.
解析 f3（f2（f1（2007）））＝f3（f2（2007
））
＝f3（2007－
）＝2007－1＝
答案
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