专题13 空间直线平面的垂直知识精讲解析版文档格式.docx

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①定义法（不常用，但由线面垂直可得出线线垂直）；

②判定定理最常用：

要着力寻找平面内哪两条相交直线（有时作辅助线）；

结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．

（2）平行转化法（利用推论）：

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

4.求斜线与平面所成角的步骤：

（1）作图：

作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

（2）证明：

证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

（3）计算：

通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

5.证明线线平行常用如下方法：

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点；

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线；

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行；

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直；

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行．

6.求二面角大小的步骤

（1）找出这个平面角；

（2）证明这个角是二面角的平面角；

（3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．

7．确定二面角的平面角的方法：

（1）定义法：

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

（2）垂面法：

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

8.证明面面垂直常用的方法：

即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理法：

在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；

（3）性质法：

两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

9.证明或判定线面垂直的常用方法：

（1）线面垂直的判定定理；

（2）面面垂直的性质定理；

（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a、b为直线，α为平面）；

（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；

10．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线．

三.知识点贯通

知识点1异面直线所成的角

异面直线所成的角

（1）定义：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（2）异面直线所成的角θ的取值范围：

0°

<

θ≤90°

.

（3）当θ＝90°

时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

例题1.如图，已知正方体ABCDA′B′C′D.

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？

（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

【解析】　

（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°

，所以直线BA′和CC′的夹角为45°

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．

知识点二直线与平面垂直的判定

1．直线与平面垂直

定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法

l⊥α

有关概念

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足

图示

画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

2.直线与平面垂直的判定定理

文字语言

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

例题2：

　如图，在三棱锥SABC中，∠ABC＝90°

，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

【证明】

（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC.

（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由

（1）知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.

知识点三线面垂直性质定理的应用

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

作用

①线面垂直⇒线线平行

②作平行线

例题3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：

MN∥AD1.

【证明】因为四边形ADD1A1为正方形，

所以AD1⊥A1D.

又因为CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1.

因为A1D∩CD＝D，

所以AD1⊥平面A1DC.

又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

知识点四平面与平面垂直的判定

1．平面与平面垂直

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）画法：

（3）记作：

α⊥β.

（4）判定定理：

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

例题4．如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°

，∠BSA＝∠CSA＝60°

，又SA＝SB＝SC.

求证：

平面ABC⊥平面SBC.

【证明】　

（1）法一：

（利用定义证明）

因为∠BSA＝∠CSA＝60°

，SA＝SB＝SC，

所以△ASB和△ASC是等边三角形，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，

令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．

取BC的中点D，如图所示，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，

所以∠ADS为二面角ABCS的平面角．

在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，

所以SD＝

a，BD＝

＝

a.

在Rt△ABD中，AD＝

a，

在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，

所以∠ADS＝90°

，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.

法二：

（利用判定定理）

因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°

，

所以SA＝AB＝AC，

所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．

因为△SBC为直角三角形，

所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD⊥平面SBC.

又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.

知识点五面面垂直性质定理的应用

平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

⇒a⊥β

①面面垂直⇒线面垂直

②作面的垂线

例题5.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：

BC⊥AB.

【证明】如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

知识点六线线、线面、面面垂直的综合应用

垂直问题转化关系如下所示：

例题6.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA.

【证明】　

（1）设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，

则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，

所以BC⊥CF，DF⊥EC，

所以DE＝

又因为DB⊥平面ABC，

所以DA＝

所以DE＝DA.

（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊

CE綊DB.

所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.

又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.

又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.

所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.

（3）由

（2）知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA.

五易错点分析

易错一直线与平面所成的角

例题7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

【证明】　

（1）∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，

设A1A＝1，则AC＝

，∴tan∠A1CA＝

（2）连接A1C1交B1D1于O（见题图），

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴BB1⊥A1C1，

又BB1∩B1D1＝B1，

∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△A1BO中，A1O＝

A1C1＝

A1B，

∴∠A1BO＝30°

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°

误区警示

求直线与平面所成的角，要先把角作出，然后放直角三角形中，求角。

易错二二面角的计算问题

例题8.如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值．

【解析】　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.

由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角．

设点H是△BCD的重心，

则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．

在Rt△AMH中，AM＝

×

2＝

HM＝

2×

，则cos∠AMB＝

即二面角的余弦值为

错误区警示

求二面角的的大小，应先根据定义作出二面角的平面角，然后构造三角形，在三角形中求角。