一元一次方程专题复习Word格式.docx
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二、典型例题
专题一、一元一次方程的相关概念
题型一、方程及一元一次方程的定义
例1.下列各式中，方程；
一元一次方程（只填番号）＜
①x0:
②3a2:
③725:
④x29x；
1
⑤2x10；
®
13:
⑦52x1。
x
变式练习：
下列式子是方程的是；
是一元一次方程的是
①2x1
2x1
X;
②：
③x1:
④x2x
2;
⑤x2y
1;
52
3;
⑦4
7x:
⑧x
1y。
例2.如果3x2m
50是关于
壬口rnr[
m=
；
若（ab）x4是关
x的一兀
次方程，则
于x的一兀-
b=
。
变式练习1.关于x的方程（2-a）xla-11-21=3是一元一次方程，求a的值。
变式练习2.已知（k-1）x2+（k-1）x+3是关于x的一元一次方程，则k=
题型二、等式的基本性质
例1.下列变形中不正确的是（）
C若-3x=-3y，贝Ux=yD若x=y，贝U—y
aa
变式练习1-1.判断下列说法是否正确：
（1）若a=b,则1-a=1-b.（）
（2）若a=b,则-2a=-2b.（）
（3）若a=c,则ab=bc.（）
（4）若ab=ac，贝Ua=c.（）
ab
（5）若a=b,则一2—2•（）
mm
（6）若a=b,则一=—.（）
m2-1m21
题型三、一元一次方程的解法例1.解下列方程
（1）
3
（x5）
（2）x
0.170.2x1
0.7
0.03
变式练习1-1.解下列方程:
（1）0.6x0.30.9x0.2
（2）2（0.3x4）5（0.2x7）9
2
（3）2xx
5
4213
⑷2[3x（3x2）]4x
（5）
3x1
3x2
10
2x3
（6）
52m
67m
4
2m5
6
0.73x
0.8
0.3x1
0.4
0.01x0.27x0.18
（8）1
0.040.02
题型四、一元一次方程解的定义及应用
变式练习:
1.已知x5是方程23mx0的解，求m的值。
2.已知方程2x7
3与方程23m-X0有共同解，求
m的值。
题型五、一元一次方程解的三种情况
例1.求关于x的方程3x5abx1的解。
求关于x的方程axb4x8的解。
拓展：
较复杂方程的巧解
1.巧乘因数
例1.解下列方程2x1-_22
0.250.5
变式1：
解方程：
°
.1x0.2—3
0.020.5
2x
变式2:
解方程:
丄1亿仝°
^仝
0.20.30.6
0.3
0.1x0.2
0.05
10.5x
0.4x1
0.2
2.巧去括号：
例2.解下列方程：
丄{丄[丄（lx1）6]4}1
345
3.整体思想
12
例3.解下列方程：
—（x5）3（x5）
33
变式1解方程:
12押％6）
27
存6X）
5（z7）7（7
z）6123（9z）
4.巧分组通分
例4.解方程:
12x10
21
7x9
20
2x9x9
1514
变式1解方程：
错误!
5.巧用公式
例5.解下列方程:
xx
1223
2011
20112012
22
变式练习1：
若|a1|（ab2）
ab（a1）（b1）
（a2）（b2）
（a2001）（b2001）
2002的解。
6.带绝对值的方程
例6.解下列方程：
3|x2|1
变式1：
3-|x3|3|x3|12
专题二、一元一次方程的应用
题型一、日历中的方程
表格中的等量关系：
借助表格和图形可以帮助审题，并能帮助准确地分析题意，探索已知量
和未知量之间的数量关系，最终找出一个、两个或更多个等量关系。
注：
借助表格来分析复杂问题中的数量关系，表格一般有横、竖两个栏目，一般横栏表示问
题中所涉及的具体事件，用纵向栏目表示与具体事物相关的量及其变化情况。
例1、如图所示是某年某月的日历，现用一矩形在日历中任意框出四个数:
23：
4…5?
67«
910:
E112:
131415
-s---I»
托17181?
202]22
232415站272329
x，这九个数的和为y，试用的代
请用一个等式表示ab、c、d之间的关系；
（2）设由任意九个数形成的阴影方框中，中间一个数为数式表示;
（3）你能发现这九个数之间的哪些关系?
例2、
（1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用
含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是。
（2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用个正方形框出16个
数（如图）。
1图中框出的这16个数的和是；
2在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000,2004，是否可能？
若不可
能，是说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。
日一
三匹五
g
（5
7
23
11
12
15
16
17
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29
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57
38
39
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丄
-
1财
2DOi
1、将连续的奇数135,7,9，…排列如图所示数表:
5—
2-11
13
35
JT
41
45
47
4P
51
53
55
61
S3
（1）十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？
（2）设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和；
（3）若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？
（4）十字框的五个数之和能等于2010吗？
若能，请写出这五个数；
若不能，请说明理由。
2、下列数阵由50个奇数排列而成，如图所示：
（1）图中框内的4个数有什么关系？
（2）在数阵图中任意做一类似
（1）中的框，设其中的一个数为，那么其他三个数怎样表示?
（3）如果四个数的和是168,能否求出这四个数？
（4）如果四个数的和是322,能否求出这四个数？
'
Vt*
91
93
95
题型二、形积变化问题
学法指导：
在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出
不变的量，也就是找出等量关系，列出方程。
此类问题常见的有以下几种情况：
（1）形状发生了变化，而体积不变，相等关系：
变化前后体积相等；
（2）形状、面积发生了变化，而周长不变，相等关系：
变化前后周长相等；
（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系。
相关公式：
①周长公式：
C正方形
=4a,C长方形=2（ab）,C圆
2rd
②面积公式：
s三角形
=2ah，S正方形=a[s长方形
ab,S弟形=
扣
b）h,S^=
r2；
③体积公式：
V长方形
abc?
V正方形a，V圆柱
r2h,V圆锥
r2h,V球
4R3。
例1、一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围城，现有长为35米
的竹篱笆，小王打算用它围城一个鸡场，其中长比宽多5米；
小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？
按照他的设计，鸡场的面积是多少？
1、用8块相同的长方形地砖拼成一块长方形的地面，地面周长为150cm，地砖的拼成方式
如图所示，试求地砖的长和宽。
2、按学校规划要求，现要将校园区域内的一块用篱笆围成的直径为50米的圆形植物园改建
成长方形的形状，使得它的长比宽多5米，并恰好能用原来的篱笆围起来。
请问长方形的长和宽各是多少？
（结果精确到0.1米）试比较改建后的植物园的面积与原来的面积相比有何变化？
例2、将一个长、宽、高分别为15cm、12cm、8cm的长方体钢块锻造成一个底面是正方形且底面边长为12cm的长方形零件钢坯。
（1）求锻造后的长方形零件钢坯的高；
（用一元一次方程解决问题）
（2）锻造前的长方形钢块的表面积大还是锻造后的长方形零件钢坯的表面积大？
大多少？
1、在一个底面直径为5厘米，高18厘米的圆柱形杯内装满水，将杯内的水倒入一个底面直径为6厘米，高13为厘米的圆柱形瓶中，问能否完全装下？
若装不下，那么杯内的水还有多高？
若未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是多少？
2、一个底面边长分别为20cm、25cm，高为60cm的长方形铁桶内装有深的水，现把一个
底面为30cm正方形，边长为10cm，高为40cm的长方形铁块放入铁桶中，铁桶内的水将升高多少？
题型三、打折销售问题
打折销售中的几个常用概念：
（1）进价：
购进商品时的价格（有时也叫成本价）
（2）售价：
在销售商品时的售出价（有时也叫成交价，卖出价）
（3）标价：
在销售时标出的价（有时称原价，定价）
（4）利润：
在销售商品的过程式中的纯收入。
（5）利润率：
利润占进价的百分率，即利润率二利润进价100%
（6）打折：
卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称将标价进行了几折。
或理
解为：
销售价占标价的百分率。
例如某种服装打8折即按标价的百分之八十出售，或按标价
的十分之八出售•
成本价、标价、售价、打折、利润率等之间的基本关系式：
折扣数
（1）售价二标价—
（2）1件商品利润二售价成本；
总利润二总售价-总成本二1件商品利润销售数量
（3）利润率二利润+成本100%;
（4）利润二成本利润率二售价成本
（5）售价二成本+利润二成本价（1+利润率）
例1、白玉兰商店把某种服装成本价提高50%后标价，又以7折（即按标价70%卖出，结
果每一件仍然获利20元，这种服装每件的成本是多少？
1、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因季节变化，甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价。
例2、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；
而按定价的9折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少?
1、某商场把售价为400元的商品按售价的九折销售再返还30元现金，仍获利10%，求该
商品的进价为多少元？
例3、某工厂出售一种耳机，其成本每个24元，若直接由厂家们销售，每个32元，消耗其
他费用每月2400元；
若委托某商店销售，出厂价每个28元，求：
两种销售方式下每月售出
多少个时盈亏平衡？
若销售量每月达到2000个，则采用哪种销售方式取得的利润多？
1、某商店有某种商品，若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润（按进货价而定）可
由目前的X%增加到（X10）%，求X。
135元出售，按成本计算，其
例4、某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都以中一件盈利25%，另一件亏本25%，试问：
1在这次买卖中，该商贩是赚还是赔，还是不赚不赔？
2把题中的135元改为任何正数a，情况如何？
1、甲商品的进价是1400元，按标价的1700元的九折出售，乙商品的进价是400元，按标价560元的八折出售，两种商品哪种利润率更高些？
2、商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%，现计划节日期间按原定售价让利10%售出至多100件商品，而在销售淡季按原定售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？
例5、某市百货商场10月1日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元而不超过500元优惠10%;
超过500元的，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元，问：
（1）此人两次购物时的物品不打折分别值多少钱？
（2）在这次活动中他节省了多少钱？
（3）若此人将这两次购买的物品合起来一次购物是不是更合算？
说明你的理由。
1、某超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100兀，不享受优惠；
（2）—次性购
物超过100元，但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折•某人两次
购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款多少？
例6、依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定，有收入的公民
依照下表中规定的税率交纳个人所得税：
级别
全月应纳税所得额
税率
不超过1500兀部分
3%
超过1500兀至4500兀部分
10%
超过4500兀至9000兀部分
20%
超过9000兀至35000兀部分
25%
2011年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减除3500元后的余额。
例如某
人月收入7500元，减除3500元，应纳税所得额是4000元，应交个人所得税是
15005%4000150010%295元。
魏英每月收入是相同的，且2014年3月交纳
个人所得税1688元，问魏英每月收入多少元？
1、为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算方式：
每月不超过100度，按每度0.5
元计算，每月超过100度，超出部分按每度0.4元计算。
计算
（1）若某用户某月交电费68
元，问该月用电多少度？
（2）若该用户某月平均每度电费为0.48元，问该月用电多少度？
2、某城市出租车收费标准是：
2km以内（含2km）起步价为7兀；
超过2km，每千米加
价1.4元，不足1km按1km计算。
另外每车次加收1元“特别消费”
题型四、储蓄问题
理解储蓄的几种方式。
常用的基本公式：
禾il息
（1）利率二利100%
本金
（2）利息二本金利率期数
（3）本息和二本金利息二本金本金利率期数二本金（1利率期数）
（4）税后利息二利息（1税率）
例1、为了使贫困学生能够顺利地完成大学学业，国家设立了助学贷款。
助学贷款分别0.5~1年期、1~3年期、3~5年期，5~8年期四种，贷款利率分别为5.85%，5.95%，
6.03%,6.21%，贷款利息的50%由政府补贴。
某大学一位新生准备贷6年期的款，他预
计6年后最多能够一次性还清20000元，他现在至多可以贷多少元？
1、某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.5%，乙
种存款的年利率为3.5%，该公司一年共得利息4600元，求甲、乙两种存款各多少万元？
2、李明的父亲2006年12月30日存入一笔钱，已知存款的年息为2.25%，按照中华人民
共和国公民存款需要缴纳20%的利息税（即利息税是按利息的20%进行缴纳，这个税由银
行代扣代收），最后李明的父亲拿到了16288元。
求李明父亲一年前存入银行的本金是多少
元？
题型五、工程问题
解调配问题时，列表格有助于分析题意，解决问题。
常用公式：
全部数量二各部分的数量之和。
工作量二工作效率工作时间
甲、乙合作效率二甲的工作效率+乙的工作效率
例1、某车间有100个工人，每人每天可加工螺栓18个或螺母27个，要使每天加工的螺栓
1、50张桌面或300条桌腿，现有5m木料，那么多少木料做桌面，多少木料做桌腿，正
好配成方桌多少张（一个桌面四条腿）？
2、红光服装厂要生产一批学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上
衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？
共生产多少套？
例2、某装潢公司接到一项业务，如果由甲组织做需10天完成，由乙组织做需15天完成,
为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后，甲组因另有任务，余下部分由乙组单独做
完，冋还需几天完成？
1、甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人
工效相同，结果提前两天完成任务•设甲计划完成此项工作的天数是X，则x的值是题型六、优化方案问题
例1、某同学在AB两家超市发现他看见的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包的单价和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街恰赶上商家促销，超市A所有商品打8折销售，超市B全场购物满
100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元，如果他只在一家超市他看中的这两样物品，你能说明他可能选择哪一家购买吗？
若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
1、在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同在某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？
说明理由。
票价
蔬人：
毎张35元学牛：
按成人魁倂折饶忠
前怵奠ci&
Ati上含IE人】:
按成\義6折优惑*
2、市场调查获取信息：
生产一种绿色食品，若市场直接销售，每吨利润1000元，
经粗加工后销售每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨利润可达7500元。
一家食品
公司加工生产能力是：
如果进行粗加工，每天可加工16吨；
如果进行精加工，每天可加工
6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节影响，该公司共有140吨食品必须在15天加工销售完毕，为此公司研究了可行方案。
（1）将食品全部进行粗加工后销售，则可获利润元多少元？
（2）将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润多少元?
（3）将部分蔬菜进行精加工，其余全部粗加工，并恰好在15天完成，则可以获得多少利润？
题型七、行程问题
解此类题的关键是抓住两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就
能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
行程问题中三个量之间的关系：
路程二速度时间；
速度二路程时间；
时间二路程速度。
几种常用基本等量关系：
（1）相遇问题
1直线相遇问题：
甲行驶的路程+乙行驶的路程二全程；
2曲线相遇问题：
甲行驶的路程+乙行驶的路程二曲线长
（2）追及问题
1同地不同时的追及问题：
慢者行驶的路程+先行行驶的路程二快者行驶的路程
2同时不同地的追及问题：
快者行驶的路程慢者行驶的路程二间隔行驶的路程
3曲线追及问题（同时同地）：
快者行驶的路程慢者行驶的路程二曲线长
（3）流速问题
1顺水速度二静水速度+水流速度；
2逆水速度二静水速度水流速度；
3顺水速度逆水速度二2水流速度
（4）环形跑道上的行程问题
1同向而行，属于追及问题，其等量关系式：
快者行驶的路程慢者行驶的路程二一圈长；
2背向而行，属于相遇问题，其等量关系式：
快者行驶的路程+慢者行驶的路程二一圈长。
例1、甲、乙两人分别同时从相距100千米的A、B两地出发，相向而行，甲每小时行6千
米，乙每小时行4千米，甲带一只狗和他同时出发，假如狗以每小时10千
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