八年级几何专题学习2参考答案Word下载.docx

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﹣2α，

∵CA＝CE，

∴∠AEC＝∠EAC＝45°

+α，

∴∠AED＝45°

∴∠AHE＝45°

∴AE＝AH，

∵AB＝AC，

∴△ABE≌△ACH（SAS），

∴∠AEB＝∠AHC＝135°

∴∠CHD＝90°

过点A作AK⊥ED于H，

∴∠AKD＝∠CHD＝90°

∵AD＝CD，∠ADK＝∠CDH，

∴△AKD≌△CHD（AAS）

∴DK＝DH，

∵AK⊥DF，AF＝AD，AE＝AH，

∴FK＝DK，EK＝HK，

∴DH＝DK＝KF＝EF＝

∴DE＝

，EH＝10，

∵△AEH是等腰直角三角形，AK⊥EH，

∴AK＝EK＝KH＝5，

∴S△EDC＝

•DE•CH＝

×

5＝

．

2．已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°

，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．

（1）如图1，若∠ACB＝90°

，B、A、D三点共线，连接CE：

①若CE＝

，求BD长度；

②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：

CE＝

EF；

（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．

【解答】

（1）①解：

如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD＝2x．

∵∠ACB＝90°

，∠ACB+∠AED＝180°

∴∠AED＝90°

∵CA＝CB，EA＝ED，

∴∠B＝∠D＝45°

∴∠BTD＝90°

∵∠TCA＝∠CTE＝∠TEA＝90°

∴四边形ACTE是矩形，

∴EC＝AT＝

∵TH⊥BD，

∴BH＝HD＝a，

∴TH＝HB＝HD＝a，

∵AB＝3，

∴AH＝a﹣3，

在Rt△ATH中，则有（

）2＝（x﹣3）2+x2，

解得x＝

或﹣

吧（不符合题意舍弃），

∴BD＝2x＝7．

②证明：

如图2中，延长BC交DE的延长线于T，连接TF．

∵∠B＝∠D＝45°

∴TB＝TD，

∵∠BTD＝90°

，BF＝DF，

∴TF⊥BD，∠FTE＝∠BTF＝45°

∴TF＝BF，∠BFT＝90°

∵四边形ACTE是矩形，

∴TE＝AC，

∴AC＝BC，

∴BC＝TE，

∵∠B＝∠FTE＝45°

∴△FBC≌△FTE（SAS），

∴FC＝EF，∠BFC＝∠TFE，

∴∠CFE＝∠BFT＝90°

∴△CFE是等腰直角三角形，

∴EC＝

EF．

（2）解：

如图3中，设∠EAD＝x，则∠BAC＝2x．

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA＝x，

∴2x+∠DEF＝180°

∵∠ACB+∠DEF＝180°

∴∠ACB＝2x，

∵CB＝CA，

∴∠B＝∠CAB＝2x，

∴∠C＝∠B＝∠CAB，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠CAB＝60°

，∠EAD＝30°

当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，

∵AB＝BC＝AC＝3，

∴AD＝

∴S△ADE的最小值＝

＝

3．【实践探索】

某校数学综合实践活动课上利用三角形纸片进行拼图探究活动．

（1）某小组用一幅三角板按如图①摆放，则图中∠1＝　15°

　；

（2）某小组利用两块大小不同等腰直角三角板△ABC和△EBD按图②摆放，点A、C、E在一直线上，连接CD交BE于点F，经小组同学探索发现CD⊥AE，请你证明此结论；

【拓展研究】

（3）课后，某小组自制了两块三角形纸片△ABC和△DEF（如图③），其中∠A＝∠D，AB＝DE，∠C+∠F＝180°

，他们把两块三角形纸片的AB与DE重叠在一起（A与D重合，B与E重合），C、F在AB两侧，过点B作BM⊥AC，垂足为M（如图④），经实践小组探索发现，线段AC、CM、AF之间存在某种数量关系，请你探究此关系并加以证明．

（1）解：

如图①所示：

由题意得：

∠D＝30°

，∠DEF＝90°

，△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°

∴∠ACE＝90°

﹣45°

＝45°

∵∠ACE＝∠D+∠1，

∴∠1＝∠ACE﹣∠D＝45°

﹣30°

＝15°

；

故答案为：

15°

（2）证明：

∵∠ABC＝∠EBD＝90°

∴∠ABE＝∠CBD，

在△CBD和△ABE中，

∴△CBD≌△ABE（SAS），

∴∠BCD＝∠A，

∵∠ABC＝90°

∴∠A+∠ACB＝90°

∴∠BCD+∠ACB＝90°

∴∠ACD＝90°

∴CD⊥AE；

（3）解：

AC+2CM＝AF，理由如下：

作BG⊥AF于G，如图④所示：

则∠BGF＝∠BGA＝90°

∵BM⊥AC，

∴∠BMA＝90°

＝∠BGA，

∠BAM＝∠BAG，

在△ABM和△ABG中，

∴△ABM≌△ABG（AAS），

∴AM＝AG，BM＝BG，

∵∠ACB+∠F＝180°

，∠ACB+∠BCM＝180°

∴∠F＝∠BCM，

在△BCM和△BFG中，

∴△BCM≌△BFG（AAS），

∴CM＝FG，

∵AF＝AG+FG，AG＝AM＝AC+CM，

∴AC+CM+CM＝AF，

即AC+2CM＝AF．

4．四边形ABCD是正方形，AC是对角线，点E是AC上一点（不与AC中点重合），过点A作AE的垂线，在垂线上取一点F，使AF＝AE，并且点E和点F在直线AB的同侧，连结FD并延长至点G，使FD＝GD，连结GE．

（1）如图1所示

①根据题意，补全图形：

②求∠CEG的度数，判断线段GE和CE的数量关系并给出证明．

（2）若点E是正方形内任意一点，如图2所示，判断

（1）中的结论还成立吗？

如果成立，给出证明；

如果不成立，说明理由．

（1）①图象如图所示：

②结论：

EG＝

EC，

连接EF，DE，CG．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC＝45°

∵∠EAF＝90°

，AE＝AF，

∴∠DAF＝45°

∴∠DAE＝∠DAF，

∵DA＝DA，AF＝AE，

∴△DAF≌△DAE（SAS），

∴DF＝DE，

∵DF＝DG，

∴DE＝DF＝DG，

∴∠FEG＝90°

∵∠AEF＝∠AFE＝45°

∴∠CEG＝45°

∵∠AEF＝∠ACD＝45°

∴EF∥CD，

∵EF⊥EG，

∴EG⊥CD，

∵DG＝DE，

∴DG垂直平分线段EG，

∴CG＝CE，

∴∠CEG＝∠CGE＝45°

∴∠ECG＝90°

EC．

（2）如图2中，结论成立．

连接BE，CG．

∵∠FAE＝∠DAB＝90°

∴∠FAD＝∠EAB，

∵FA＝EA，DA＝BA，

∴△FAD≌△EAB（SAS），

∴DF＝BE，∠FDA＝∠ABE，

∵DG＝DF，

∴DG＝BE，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°

∴∠FDA+∠CDG＝90°

，∠ABE+∠CBE＝90°

∴∠CDG＝∠CBE，

∵DC＝BC，

∴△CDG≌△CBE（SAS），

∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，

∴∠GCE＝∠DCB＝90°

∴△GCE是等腰直角三角形，

∴GE＝

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°

，∠ABC＝30°

，AB＝12，△DEF中，∠DFE＝90°

，EF＝DF＝6，△DEF沿射线CB平移，直角边EF始终在射线CB上，连接AD、BD，设CE的长度为x．（0＜x＜6

）．

（1）是否存在点A在BD垂直平分线上的情况？

存在，求x的值；

不存在，说明理由；

（2）连接AE，当x为何值时，四边形AEBD是平行四边形？

说明理由；

（3）将△ABD绕点B逆时针旋转60°

，得到△A′BD′，是否存在x的值，使点D′落在△ABC的边上？

若存在，直接写出x的值；

若不存在，说明理由．

（1）∵在△ABC中，∠C＝90°

，AB＝12，

∴AC＝

AB＝6，BC＝AB•cos30°

＝6

∵△DEF中，∠DFE＝90°

，EF＝DF＝6，

∴AC∥DF，AC＝DF，

∴四边形ACFD是平行四边形，

∴AD＝CF＝CE+EF＝x+6，

当A点在BD的垂直平分线上时，有AD＝AB＝12，

∴x+6＝12，

∴x＝6，

故存在点A在BD垂直平分线上，此时x＝6；

（2）∵四边形ACFD是平行四边形，

∴AD∥BE，

当AD＝BE时，四边形AEBD是平行四边形，

此时有x+6＝6

﹣x，

解得，x＝3

﹣3，

∴当x＝3

﹣3时，四边形AEBD是平行四边形；

（3）①当D′在AB上时，如图1，则∠DBD′＝60°

∵∠ABC＝30°

∴∠CBD＝90°

∴点F与点B重合，

∴CE+EF＝BC，

即x+6＝6

∴x＝6

﹣6；

②当D点在BC上时，如图2，

则∠DBD′＝60°

∴BF＝

∴CF＝BC﹣BF＝6

＝4

∴x＝CE＝CF﹣EF＝4

③由上可知，当D′点在BC上时，∠ABD＝30°

当D′点在AB上时，∠ABD＝60°

此时BD＝2BF＝4

要使D′点落在AC上，则30°

＜∠ABD＜60°

此时，BD＜4

＜BC，

∴D′不可能在AC上，

综上可知，存在x的值，使点D′落在△ABC的边上，x的值为4

﹣6或6

﹣6．

6．

（1）如图①，在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD上的点，连接AP、AQ，且∠PAQ＝∠B．求证：

AP＝AQ．

下面是小文对这道试题的思考，先研究特殊情况，再证明一般情况．

（Ⅰ）如图②，当AP⊥BC于点P时，请在下列框图中补全他的证明思路．

小文的证明思路

要证AP＝AQ，只要证△ABP≌△ADQ．由己如条件知四边形ABCD是菱形，可得AB＝AD，　∠B＝∠D　，故只要证∠APB＝∠AQD．由　AP⊥BC　，得∠APB＝∠APC＝90°

，故只要证∠AQD＝90°

．即证∠AQC＝90°

，易证∠PAQ+∠APC+∠C+∠AQC＝360°

，故只要证　∠PAQ+∠C＝180°

　．由已知条件知∠PAQ＝∠B，易证∠B+∠C＝180°

，即可得证．

（Ⅱ）如图①，当AP与BC不垂直时，……请你完成证明．

小文完成证明后，又进一步思考，提出下列问题，请你完成解答．

（2）如图③，在菱形ABCD中，P、Q分别是BC、CD延长线上的点，且∠PAQ＝∠B．若AB＝4，∠B＝60°

，∠APB＝45°

，则四边形ABCQ的面积是　6+6

　．

（1）：

（Ⅰ）要证AP＝AQ，

只要证△ABP≌△ADQ，

由己如条件知四边形ABCD是菱形，可得AB＝AD，∠B＝∠D，

故只要证∠APB＝∠AQD，

由AP⊥BC，得∠APB＝∠APC＝90°

故只要证∠AQD＝90°

因为∠PAQ+∠APC+∠C+∠AQC＝360°

故只要证∠APQ+∠C＝180°

．由已知条件知∠PAQ＝∠B，

可得∠B+∠C＝180°

∠B＝∠D，AP⊥BC，∠APQ+∠C＝180°

（Ⅱ）如图①中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．

∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，

∴AM＝AN，∠AMP＝∠ANQ＝90°

，AB∥CD，

∴∠B+∠C＝180°

∵∠PAQ＝∠B，

∴∠PAQ+∠C＝180°

∴∠APC+∠AQC＝180°

∵∠APM+∠APC＝180°

∴∠APM＝∠AQN，

∴△AMP≌△ANQ（AAS），

∴AP＝AQ．

（2）如图③中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．

同法可证，△AMP≌△ANQ（AAS），

∴∠APM＝∠AQN＝45°

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝CD＝4，∠B＝∠ADC＝60°

∵∠ANQ＝90°

，∠AQN＝45°

∴AN＝NQ＝AD•sin60°

＝2

，DN＝AD•cos60°

＝2，

∴CN＝DN＝2，CQ＝CN+NQ＝2+2

∴S四边形ABCQ＝

•（AB+CQ）•AN＝

•（4+2+2

）•2

＝6+6

故答案为6+6

7．等边△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．

（1）观察猜想：

如图1，当点D在线段BC上时，

①AB与CE的位置关系为　AB∥CE　；

②BC、CD、CE之间的数量关系为　BC＝CE+CD　．

（2）数学思考：

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？

若成立，请给予证明：

若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸：

①当点D在线段BC上时，已知AB＝2，以A、C、D．E为顶点的四边形的面积为　

②已知AB＝2，当点D在直线CB上运动的过程中，BE的值最小时，DE的长为　

①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°

又∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°

∴∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ABC＝∠ACE＝60°

∴∠BAC＝∠ACE，

∴AB∥CE，

AB∥CE；

②∵△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD，

∴BC＝CE+CD，

故答案为BC＝CE+CD；

（2）AB∥CE仍然成立，BC＝CE+CD不成立，数量关系为：

BC＝CD﹣CE

证明如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE，

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

∴BC＝CD﹣BD，

即BC＝CD﹣CE，

∵∠ABD+∠ABC＝180°

∴∠ABD＝120°

＝∠ACE，

∴∠ACE+∠BAC＝180°

∴AB∥CE；

（3）①∵△BAD≌△CAE，

∴S△ABD＝S△CAE，

∴S四边形ADCE＝S△ABC＝

22＝

②由图1可得∠ACE＝60°

，由图2可得∠ACE＝120°

∴点E在∠ACB的外角的角平分线所在的直线上，

由垂线段最短可得，当BE⊥CE时，BE有最小值，如图3，

∴∠EBC＝30°

，∠ABC＝60°

，BE⊥CE，

∴CE＝

BC＝1，BE＝

，∠ABE＝90°

∴DE＝AE＝