定积分教学设计.doc

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定积分的简单应用

一、教学目标

1、知识与技能目标：

（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；

（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。

2、过程与方法目标：

通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

3、情感态度与价值观目标：

通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。

二、教学重点与难点

1、重点：

应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2、难点：

将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。

三、教学过程

（一）创设问题情境：

复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？

2、定积分的几何意义是什么？

x

y

N

M

O

a

b

A

B

C

D

3、微积分基本定理是什么？

引入：

．计算2．计算

思考：

用定积分表示阴影部分面积

选择X为积分变量，曲边梯形面积为

（二）研究开发新结论

1计算由抛物线在上与X轴在第一象限围成图形的面积S.

2计算由抛物线在上与X轴在第一象限围成的图形的面积S.

总结解题步骤：

1找到图形----画图得到曲边形.

2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.

4计算定积分.

（三）巩固应用结论

例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.

分析：

两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

y=x2

O

x

y

解：

，所以两曲线的交点为（0，0）、

（1，1），面积S=，所以=

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习计算由曲线和所围成的图形的面积.

例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.

分析：

首先画出草图（图1.7一2），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与x轴的交点．

解：

作出直线，曲线的草图，所求面积为图1.7一2阴影部分的面积．

解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4）.

直线与x轴的交点为（4,0）.

因此，所求图形的面积为S=S1+S2

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

（四）总结概括结论

求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤：

（1）做出示意图（找到所求平面图形）

（2）求交点坐标（确定积分上、下限）

（3）确定被积函数

（4）列式求解

（五）练习

x

y

o

y=－x2+4x-3

1、求直线与抛物线所围成的图形面积。

答案：

2、求由抛物线及其在点M（0，－3）

和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。

略解：

，切线方程分别为、

，则所求图形的面积为

3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。

略解：

所求图形的面积为

x

x

O

y=x2

A

B

C

4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲

线以及轴所围成的面积为.试求：

切点A的坐标以及切线方程.

略解：

如图由题可设切点坐标为，则切线方程

为，切线与轴的交点坐标为

，则由题可知有

，所以切点坐标与切线方程分别为

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