自编数学五下校本教材.docx
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五年级下册数学校本课程
智慧数学
宁德市华侨小学五年级下册数学校本课程教材
卷首语
有一句著名的格言：
数学比科学大得多，因为它是科学的语言。
与其他国家相比，数学是我们擅长的学科。
中国人能用一只手表示1~10,而很多国家非用两只手不可。
中国人早就有位数的概念，而且采用最方便的十进制（不少国家至今还有十二进制，六十进制的残余）。
中国文字都是单音节，易于背诵，例如乘法表，学生很快就能掌握,再“傻”的人也都知道“不管三七二十一”。
但外国人，一学乘法，头就大了。
不信，
请你用英语背一下乘法表，真是难以成诵。
圆周率π=3.14159……背到小数点后五位,中国人很快就能完成。
可是俄国人为了背这几个数字专门写了一首诗，第一句三个单词，第二句一个……要背
π先背诗，这在我们看来简直是自找麻烦，可他们还作为记忆的妙法。
四则运算应用题及其算术解法,也是中国数学的一大特色。
从很早的时候开始，中国人就编了很多应用题,或联系实际,或饶有兴趣，解法简洁优雅,机敏而又多种多样,有助于提高学生的学习兴趣，启迪学生智慧，例如:
“一百个和尚一百个馒头,大和尚一个人吃三个,小和尚三个人吃一个,问有几个大和尚，几个小和尚?
”外国人多半只会列方程解，中国却有多种算术解法。
近几年，中国在各项国际数学竞赛中屡创佳绩，著名数学家陈省身先生还曾说：
“中国将在21世纪成为数学大国。
”愿同学们在数学学习过程中，都能
收获“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的体悟。
目
录
一、简易方程
第1讲 列方程解应用题
（一）第二讲 列方程解应用题
（二）
二、折线统计图
第三讲 折线统计图三、因数与倍数
第四讲分解质因数第五讲最大公因数第六讲最小公倍数
四、分数的意义和性质
第七讲 分数的基本性质与大小比较第八讲 分数加、减法计算
五、圆
第九讲 圆的周长第十讲 圆的面积
六、解决问题的策略第十一讲转化法第十二讲还原法
7、实践活动
《折线统计图》
简易方程
《数学手抄报》八、综合卷
第一讲
列方程解应用题
（一）
有一个三位数，个位上的数字是6，如果把个位上的数字移到百位上，原来百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小54。
原数是多少?
【思维导航】：
原三位数中只知道个位上的数字，百位上的数字和十位上的数字都不知道，如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的两位数为X，则原三位数可表示为10X+6，那么新数就可以表示为6X100+X=600+X。
1.一个两位数，十位上的
解：
设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的两位数为X。
10X+6=600+X+54
10X-X=600+54-6
9X=648
X=72
10×72+6=726
答:
原三位数是726.
数字是个位上数字的2.5倍,如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小27，求原来的数是多少?
2.一个三位数,十位上的数字是百位上数字的3倍，百位上的数字又是个位上数字的2倍,三个数位上的数字之和是9，这个三位数是多少?
3.甲、乙、丙三个数的和是249,甲数是乙数的6倍，丙数比甲数多15，这三个数各是多少?
你知道吗?
现存世界上最古老的方程出现在英国，考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，都是一些与方程有关的问题，共85个。
早在3600多年前，古埃及人和巴比伦人已经能用方程解决数学问题。
在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”，到唐宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段。
我国数学家李治在解决问题的过程中，系统地应用“天元术”解题。
“天元术”
是一种用数学符号列方程的方法，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似。
《九章算术》中解方程的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
第二讲
列方程解应用题
（二）
A、B两地相距593千米,甲车从A地开往B地，每小时行34千米。
甲车开出半小时后,乙车从B地开往A地，每小时62千米。
乙车开出几小时后与甲车相遇?
【思维导航】：
如果把乙车开出后与甲车相遇的时间用X表示，甲先走0.5小时的路程加上甲、乙合走X小时的路程等于总路程。
即甲车0.5小时走的路程+甲、乙合走
X小时的路程=593千米。
解:
设乙车开出X小时后与甲车相遇，则:
34×0.5+（34+62）X=593
17+96X=593
96X=593-17
96X=576X=6
答:
乙车开出6小时后与甲车相遇。
1.客车和货车同时从宁德开往厦门,客车每小时行75千米，货车每小时行60千米,客车到达厦门后1.05小时，货车也到达厦门。
求宁德与厦门之间的路程是多少千米?
2.侨侨从家到蕉城区体育馆参加活动，如果每分钟走55米，就会比计划迟到
2分钟。
如果每分钟走66米，就会比计划提前3分钟到达,侨侨家到体育馆多少米?
3.华华和东东两人在环形道上练习跑步,已知华华每秒跑5米,东东比华华跑得快。
两人同时同地同向出发,每隔2分钟相遇一次;如果同时同地反向出发，每隔20秒相遇一次,求环形道的周长是多少米？
近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下一个公式A=X+Y+Z.并解释道:
“A代表成功，X代表艰苦的劳动，Y代表正确的方法，Z代表少说空话。
”
数学语言不仅用来表达和研究科学，而且可以精妙地表达人的思想、性格
及追求等，并且是那么言简意赅。
一些格言一方面折射出数学家伟大的人生，一方面折射出数学之美.
让我们喜欢数学，学好数学,用好数学;让我们也用那些数学写成的格言来描绘自己的人生轨迹，我们的人生价值和对人类的贡献将是无可限量的。
折线统计图
第三讲
折线统计图
◎学前导航◎
本单元内容是在我们已经学会用统计表和条形统计图表示数据，并已积累较多的统计活动经验的基础上进一步学习的。
通过学习，可以使我们进一步掌握描述数据的方法，增强处理和分析数据的能力，感受统计在现实生活中的广泛应用。
学习统计主要是为了学会用统计的方法分析和解决问题，发展初步的数据分析观念。
在本单元的学习中，我们要学会看图分析、提出问题、解决问题，更全面地理解和掌握统计方法，积累统计活动经验。
（1）小华骑车从家去距离住处5千米的图书馆借书，从所给的折线统计图可
以看出：
小华去图书馆的路上停车（ ）分钟，在图书馆借书用（ ）分钟；
（2）从图书馆返回家中，速度是每小时（ ）千米。
【思维导航】：
图中横轴表示时间，纵轴表示离家的距离，时间不停地增长，因为小华活动方式的不同，离家距离随着时间的发展而变化。
这一过程可分为以下几段：
①从家出发到途中休息前，这段时间里离家的距离越来越远；②途中休息，这段时间离家的距离不变；③途中休息后到图书馆的这段时间离家越来越远；④在图书馆借书，这段时间离家的距离不变，也是离家最远的距离5千米；⑤从图书馆回家，这段时间里离家越来越近，距离最后变为0千米；⑥往返速度是把总路程除以总时间。
因此停车时间40-20=20分钟；借书时间100-60=40分钟；速度是每小时5千米。
1.根据图中信息回答问题。
（1）哪天售出的图书最多？
哪天售出的图书最少？
售出的图书最多的一天比最少的一天多（ ）册。
（2）一星期共售出图书多少册？
2.下面是一辆汽车与一列火车的行程图表，根据图示回答问题。
（1）汽车的速度是每分钟（ ）千米。
（2）火车停站时间是（ ）分钟。
（3）火车停站后时速大约是每分钟（ ）千米。
（4）汽车比火车早到（ ）分钟。
3.请根据统计图回答下列问题：
（1）（ ）月份收入和支出相差最小；
（2）9月份收入和支出相差（ ）万元；
（3）全年实际收入（ ）万元；
（4）年平均每月支出（ ）万元；
（1）（ ）月份收入和支出相差最小。
（2）9月份收入和支出相差（ ）万元。
（3）全年实际收入（ ）万元。
（4）平均每月支出大约（ ）万元。
（5）你还获得了哪些信息？
因数与倍数
早在4000多年前的夏朝，我国就有了统计工作。
《尚书.禹贡》中把当时的中国分为九州，分别叙述了各地的物产、交通、植物特征等情况，又依照土质不同，按照复合分组的方式把田地及贡献分为九等。
这种描述与17世纪德国的国势派对一个国家国情的记述是很相似的。
第四讲
分解质因数
长、宽均为自然数，面积为105平方米的形状不同的长方形共有多少种？
【思维导航】：
在五年级上册时我们曾用一一列举的方法解决这道题，其实也可以用分解质因数的方法解决。
想：
面积为105，105是长与宽的乘积。
可把105分解质因数，再写成两
个自然数相乘的形式。
解：
105=3×5×7=1×105=3×35=5×21=7×15
答：
面积为105平方米的形状不同的长方形共有４种。
1.张大爷是养鸭专业户，他准备在空地上用篱笆围一个240平方米的长方形鸭圈，请你帮他算算，他至少要准备多少米长的篱笆？
2.布袋里有100个糖果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次
拿出的个数都要相等，并且最后一次正好拿完，共有几种拿法？
3.有四个学生的年龄恰好是四个连续的自然数，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄分别是多少?
907除以一个两位数，余数是88，求这个两位数是多少。
【思维导航】：
根据有余数的除法各部分之间的关系可以知道，除数与商的积是907－88＝819，我们把819分解质因数：
819＝3×3×7×13，由于题目中的余数是88，而除数必须比余数大，所以819＝9×91，即这个两位数是91.
1.251除以一个两位数，得到的余数是41，求这个两位数。
2.47÷（ ）=（ ）……５，在括号里填入适当的数，使等式成立，有几种不同的填法？
３.三个质数的和是９０，这三个质数的最大乘积是多少？
约瑟夫问题与因式分解
有一个古老的传说，有64名战土被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1,2,3,……64。
敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。
最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号?
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。
给大家一个提示，敌人从1号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战土全杀死了。
剩下的32 名战土需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。
按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？
答案:
由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4,6,8,……64。
把它们全部用
2除，得1，2,3,4, 32。
这是第二圈重新编的号码。
第二圈杀过之后，
又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。
如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。
64=2×2×2×2×2×2,它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。
从64=2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。
第五讲
最大公因数
有3根铁丝，长度分别是16米,24米和40米，李师傅要把它们剪成长度相等的小段。
为了最大限度地利用材料，每小段最长多少米?
一共可以剪成多少段?
【思维导航】：
要剪成相等的小段，且无剩余，每段的长度应该是16,24,40的公因数,
每小段最长即为16,24,40的最大公因数。
16
24
40
解:
8
2 3 5
16,24,40的最大公因数是8,所以每小段最长为8米。
16米可以剪成:
16÷8=2（段）
24米可以剪成:
24÷8=3（段）
40米可以剪成:
40÷8=5（段）
一共可以剪成:
2+3+5=10（段）
答;每小段最长8米，共可以剪成10段。
1.华侨小学三年级同学参加公益劳动,男同学有54名，女同学有45名。
现在把男、女同学混合编组,各组中男生人数相等,女生人数也相等，最多可编为多少组?
每组中男、女同学各多少人?
2.红花有91朵，白花有78朵,要用小盒进行包装，每盒的红花朵数要相同,白花朵数也要相同，刚好包装完。
每小盒最多可装多少朵?
至少用多少个小盒?
3.把长102厘米、宽60厘米、厚36厘米的木料锯成尽可能大的、同样大小的正方体木块，锯后不许有剩余（损耗不计）,能锯成多少块?
用220、172还有292除以同一个数都余4,求这个数最大是多少?
【思维导航】：
根据题意，如果将220,172,292同时都减去余数4,所得的差应都是这个整数的倍数，而这个数就是它们的最大公因数。
解:
220-4=216, 172－4＝168, 292-4=288
（216,168,288）=24
216,168,288的最大公因数为24。
答:
这个数最大是24。
1.用635和779除以同一个整数,余数都是23,求这个数。
2.同一个数，250除以它余数是5，300除以它余数是6，400除以它余数是8，求这个数。
3.如果把100本练习本平均分给二年（3）班的同学，则少5本；如果把250本练习本平均分给这个班的同学，还多5本。
如果把210本练习本平均分给这个班的同学，则正好分完。
请问二年（3）班最多有多少名同学?
完全数
一个自然数的所有因数的和，刚好等于这个数的两倍，或者说这个自然数的所有真因子（即除了本身以外的因数）的和，恰好等于它本身，这样的自然数，数学家给他起了一个美丽而动听的名字:
“完美的数!
”后来又称为完全数。
例如6，它有因数1、2、3、6,除去它木身外，其余三个数相加，1+2+3=6,所以6是完全数。
又如28，除去本身28外，它有5个因数:
“1、2、4、7、14,而1+2+4+7+14-28.所以28是完全数。
再如496,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496，所以496也是一个完全数。
8128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064。
这4个完全数的发现，还是很早以前的事。
起先人们认为这4个数之间的间隔不算太大，可能存在不少的完全数。
谁知人们找呀找，竟相隔了一千几百年，直到1461年才发现了第5个完全数33550336。
一直到16世纪末又发现了另三个完全数。
而第九个完全数到19世纪才被发现，他竟是一个37位数。
有些数学家曾探索寻找完全数的规律，虽然曾取得一点进展但实际作用不大。
完全数究竟是有限个，还是无穷多?
人们至今还无
法下结论呢!
完全数有许多奇妙的性质，比如每一个完全数都可以写成连续自然数之和:
6=1+2+3；
28=1+2+3+4+5+6+7；
496＝1+2+3+……+30+31。
除6以外的完全数，还可以表示成奇数连乘积的和，28=1×1×1+3×3×3；496=1×1×1+3×3×3+5×5×5+7×7×7
第六讲
最小公倍数
◎学前导航◎
A、B两个数的最大公因数是12，最小公倍数是252，且A小于B，求A、
B两个数分别是多少?
【思维导航】：
A、B两个数分别除以它们的最大公因数12,所得的商一定是互质的两个数。
设这互质的两个教分别为x和y,用短除法可以很快地解答。
解:
12
A
B
x,y是互质的两个数，
x
y
12×x×y=252,x×y=21,
乘积是21的且互质的有1和21,3和7两组，它们分别表示x和y,因此求得两种结果:
答案一:
A=1×12=12,答案二:
A=3×12=36，
B=21×12=252; B=7×12=84。
答:
A、B两个数分别是12和252或36和84。
1.甲乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是144，已知甲数是36，求乙数。
2.两个自然数的乘积是360，最小公倍数是120，求这个数。
3.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？
乙数是多少？
福福、宁宁和明明三位同学定期去图书馆看书，他们分别６天、８天、９天去一次。
如果５月１日同时在图书馆相会，那么他们下一次在图书馆相会的
日期是几月几日？
【思维导航】：
福福第6天、第12天、第18天……支图书馆；宁宁第8天、第16天、第24天……去图书馆；明明第9天、第18天、第27天……去图书馆．下一次他们三个相会的日期是第［6，8，9］＝72。
解：
［6，8，9］＝72
从5月1号起，再经过72天，应是7月12日。
答：
他们下一次在图书馆相会的日期是７月12日。
1.某班在夏令营中，分为5人一组,9人一组，15人一组都恰好分完，这个班至少有多少个学生?
2.小希、小明和小兰沿环形跑道跑步，小希跑一圈需要6分钟,小明跑一圈需要4分钟,小兰跑一圈需要7分钟，他们三个同时从A点出发，几分钟后，三人又会在A点相会?
３.有一批图书，总数在1000本以内。
若按24本打一包,最后一包差2
本;若按28本打一包,最后一包还是差2本;若按32本打一包,最后一包也是差
2本。
这批图书有多少本?
猜质数拳
两人同时伸出一只手，以伸出的手指个数计算，握拳为零，同时口里说出一个质数，如果这个数刚好等于两人伸出的手指个数和，就获胜，加10分，如果两人同时猜对，就各加5分。
共猜十次，得分高者获胜。
猜拳游戏可以三个人玩，其中两个人出拳，另一个人当裁判，角色轮换进行。
分数的意义和性质
第七讲 分数的基本性质与大小比较
例1.分母是39的真分数一共有多少个？
其中最简真分数有多少个？
【思维导航】：
真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。
只要分子是比39小的自然数，都能与分母39组成真分数，所以分母是39的
真分数有38个：
1
2 3L37
38。
在1--38之间的除1外的39的质因数有：
3和
，
3939
，，，，
39 3939
13，要求最简真分数，因此分子中凡是3和13的倍数都应该去掉。
在1--38中，3的倍数有12个，13的倍数有2个，这样分子的选择有：
38-12-
2=24个。
1.分母是24的最简真分数的和是多少？
2.x+11是最简真分数，那么x可取的数有几个？
64
3.一个分数的分子与分母之和是34，分子增加4，分母减少3，得到的分数可
以化简为1，求原来的分数。
4
分数的历史，得从3000多年前的埃及说起。
3000多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数。
2000多年前，中国有了分数，但是秦汉时期的分数的表现形式不一样。
印度出现了和我国相似的分数表示法。
再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。
200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长
的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是7米．像7就是一种新的数，我们把它叫做分数。
3 3
为什么叫它分数呢？
分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。
例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？
从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。
最早使用分数的国家是中国。
我国古代有许多关于分数的记载。
在《左传》
一书中记载，春秋时代，诸侯的城池，最大不能超过周国的1，中等的不得超
3
过1，小的不得超过1。
5 9
秦始皇时期，拟定了一年的天数为365又1天。
4
《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法。
在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着悠久
的历史，多么灿烂的分数的文化啊！
第八讲
算
分数加、减法计
1+1+1+1+1+1
+1+1+1+1
2 6 12 20 30
42 56 72 90
110
【思维导航】：
在计算中可以运用公式：
1
n（n+1）
=1-
n
1
n+1
。
因此原式可以改写为：
1+（1-1）+（1-1）+（1-1）+（1-1）+（1-1）+（1-1）+（1-1）+（1-1）+（1-1）
2 23 34 45 56 67 78 89 910 1011
1+1-1
=1-1=10
去括号之后得出结果为：
2 211
11 11
1. 1 +
2´3
1 +
3´4
1 +
4´5
1
5´6
+L+
1
2017´2018
2. 1 +
2019
2 + 3
2019 2019
+L+2017+2018
2019 2019
3.
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