数学建模真题 艾滋病2.docx

数学建模真题 艾滋病2.docx

《数学建模真题 艾滋病2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模真题 艾滋病2.docx（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

数学建模真题艾滋病2

艾滋病疗法的评价及疗效的预测

———全国大学生数学建模竞赛题目

学生姓名：

刘琰博（专升本051班）

指导老师：

张国志

摘　要：

目前控制爱滋病的主要手段就是尽量减少爱滋病毒（HIV）在人体内的数量，所以本文根据美国爱滋病医疗机构所给的两组数据（附件1和附件2），运用Excel及Matlab软件对其进行处理，分别拟合出CD4和HIV的浓度随时间变化的函数关系式和问题中所给4种疗法中CD4的变化图象，然后利用Logistic模型，稳定性模型，最大曲边面积模型及层次分析法可分别得到同时服用3种药物的病人的最佳治疗终止时间是167.4117周；在4种疗法中疗法三对30岁以下的患者效果最好，疗法四对30岁以上的患者效果最好；考虑4种疗法的费用后，疗法一是最经济的．

关键词：

CD4细胞；HIV；最佳治疗时间；抑制率；相对增长率；对比图；预测

目　　录

1　问题的提出……………………………………………………1

2　问题的解决……………………………………………………2

2.1问题的假设………………………………………………2

　2.2符号说明…………………………………………………2

　2.3问题分析…………………………………………………2

　2.4模型的建立与求解………………………………………3

3　模型的评价与改进……………………………………………8

　3.1模型的评价………………………………………………8

　3.2模型的改进………………………………………………9

参考文献…………………………………………………………10

TheEvaluationofTheTherapyofAIDSandPredictionofItsCurativeEffect

——Thetopicofchinaundergraduatemathematicscontestinmodeling

Student：

LiuYan-bo（Class051）

Instructor：

ZhangGuo-zhi

Abstract：

Currently，themainmeanswhichcontrolsAIDSistodecreasasmuchaspossibletheamountofHIVinthehumanbody．SothearticleisrelatetotwosetsofdatafromtheAIDSmedicaltreatmentorganizationoftheUnitedStates（accessory1andaccessory2），thenusingtheExcelandMatlabsoftwaretodealwiththem，andrespectivelygetthefunctionwhichresponsesachangeaboutthedensityofCD4adHIVgoingalongwithtime，andthepictureonachangeabout4kindsoftherapiesintheproblem．ThenmakeuseofLogisticmodel，stabilitymodel，thebiggestareamodelofcoveringwiththecurve，andthemethodofanalysisinlayerscangetthebesttreatment＇sterminatetimeforthepatientwhotake3kindsofmedicineatthesametimeis167.4116weeks；Amongthe4kindsoftherapies，thethirdoneisthebestoneforthepatientundertheageof30andtheforthoneisthebestoneforthepatientovertheageof30；whenconsideringtheexpensesofthe4kindsoftherapies，thefirstoneisthemostprofitable．

Keywords：

CD4cell；HIV；Thebesttreatmenttime；Repressrate；Oppositegrowthrate；Contrastdiagram；Estimate

1　问题的提出

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，它的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的．这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命．人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作．

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力．

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高．许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法．

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据．ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）．193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）．4种疗法的日用药分别为：

600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他滨）；600mgzidovudine加400mgdidanosine；600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韦拉平）．

请你完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）．

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间．

（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：

600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元．如果病人需要考虑4种疗法的费用，对

（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变．

2　问题的解决

2.1　问题的假设

1.在适合的条件下，HIV独立生存是以指数规律增长．

2.在适合的条件下，CD4细胞独立生存是以二分裂的形式增长．

3.CD4细胞均无记忆性．

　4.病人服用药物后直接作用于CD4细胞，增加CD4细胞的数量来抑制HIV．

5.人群的年龄最大可以达到70岁．

6.四个星期为一个月，一个月为30天．

2.2　符号说明

x（t）：

t时刻HIV的数量．

y（t）：

t时刻CD4细胞的数量．

：

HIV的相对增长率（为常量）．

：

CD4细胞的固有增长率（为常量）．

：

病人服用问题

（1）中所提到的药物进入人体后人体内CD4细胞数量的增长率．

：

每周每个CD4细胞对HIV的抑制数量与HIV数量的比例系数,即抑制率（为常量）．

：

每周每个单位的HIV对CD4细胞的感染和裂解的数量与CD4细胞数量的比例系数（为常量）．

：

第

（

1，2，3，4）种药物的费用．　　

：

第

（

1，2，3，4）种疗法的费用．

2.3问题分析

问题

（1）的分析：

因为问题

（1）是要预测继续治疗的效果，或者确定最佳的治疗终止时间．同时由已知条件中可知在人类免疫系统中CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要的作用，即是说CD4细胞对HIV有着一定的抵制作用，在一定程度上可以控制HIV的增长，而HIV又会对CD4细胞感染裂解，根据这些关系列出模型，同时可以从数据中分析得到CD4细胞及HIV与时间变化的关系，从而可确定出最佳治疗时间就是要确定什么时间的时候CD4

细胞的数量和HIV的数量保持平衡，即在此时CD4细胞不在减少且HIV的数量不再增加．

问题

（2）的分析：

在附件2中给出了年龄这个变量，以及CD4的log（cd4count+1）的值，可以预测到结果当中应该是不同疗法的疗效与年龄这个变量有关．

对于给出的大量数据，要求解出哪种疗法具有更好的疗效，我们可以通过对大量的数据进行整理，从而找出CD4与测量时间的对应关系，拟合出图象，对图象进行分析，预测在该年龄阶段哪种疗法更好，并预测该疗法继续治疗的效果．

问题（3）的分析：

可以认为问题（3）是对问题

（2）的补充，需要进一步考虑费用问题，可以考虑引

用层次分析模型来解决该问题．

2.4　模型的建立和求解

模型I

因为CD4细胞与HIV在病人体内的增加与减少都是相互制约的，所以该模型是一种相互作用的模型，它是对Logistic规律的推广应用，从而对于HIV规模

的变化情况的方程就为

，

同时对CD4细胞数量

就满足下面的方程

，

这样便可以得到CD4细胞与HIV相互作用的数学模型

这是一个非线形微分方程组,对此进行讨论:

令

解得系统的两个平衡位置为

（0，0），

，作变换:

，

将坐标系平移，系统化为

在所作变换下，

点变为

（0，0），它是上式所对应线形系统的中心点．系统的解

，

都是周期解．尽管CD4细胞和HIV的规模在周期时间内的平均值却分别保持常数，而且正好分别等于平衡位置

处CD4细胞和HIV的规模，即

，

，

其中

为周期解

，

的周期，这里的周期

即为所求．

因为CD4细胞增长是属于两分裂的，所以它在单位时间内自身的固有增长率b＝1．

根据附件1中所给的数据，剔除掉一些数量残缺的数据后对剩余数据中有规律的数

据通过Matlab程序进行六维拟合得到CD4细胞数量及HIV数量与时间的关系的图象及函数表达式如下：

　图2-1CD4细胞数量与时间的关系

，

图2-2HIV的数量与时间的关系

，

然后将

，

的表达式带入到上面的非线形微分方程组的数学模型中取三组数：

5.7211，　　　

2.9631；

3.1792，　

127.168；

3.4017，　

134.9535；

则可计算出各未知系数的值：

0.7103，

0.0230，

．

代入由周期式

，

得周期（即最佳终止用药时间）T=167.4116周．

　　模型II

　　利用Excel软件对附件2中的大量数据统计出每种疗法中患者的数量，这样就将全部患者按疗法分成四组，分别对每组数据按年龄进行排序，便于研究我们将年龄分成0－30，30－40岁，40－50岁，50－70岁四个阶段．然后按比例随机抽取不同年龄的患者，分析他们体内CD4细胞的数量，从而也就可以拟合出每个固定的测量时刻CD4细胞数量与年龄的变化曲线关系，也即分别作出在t=0，t=8，t=16，t=24，t=32，t=40（单位：

周）时刻时的图形．图形如下：

图2-1图2-2

图2-3图2-4

　　　　　　　图2-5图2-6

对六个图形进行数据的分析，我们利用曲线的面积模型，各种疗法在以上六幅图中各个不同的年龄段曲线所覆盖的面积，所得的面积就是该年龄段所测量的时刻患者体内CD4细胞的总数量，然后得到每种疗法在我们所取的各个年龄段中，患者体内CD4细胞的总数量与时间的关系（见表2，其中每个表格第一行表示测量时刻，以下的数据表示所得的面积值）．

表2-1三十岁以下

0

8

16

24

32

40

疗法一

4013.832

5665.7

-254.2

-2018.89

2010.339

-7699.21

疗法二

6091.7

-3729.9

4.31

-1337.5

290.811

1492.905

疗法三

-824.5

-815.6

4632

1714.878

6416.642

-2090.74

疗法四

1563.2

3976

2523.7

83.742

315.279

-2090.74

表2-2三十岁-四十岁年龄段

0

8

16

24

32

40

疗法一

60.2

711.7

66

779.97

675.439

-75.196

疗法二

-684.2

-558.7

6.3

-688.015

-147.327

-281.312

疗法三

123.7

393.6

-313.3

-75.961

127.874

409.525

疗法四

-90.7

477.2

166.4

66.321

607.399

409.525

表2-3四十岁-五十岁年龄段

0

8

16

24

32

40

疗法一

1174.7

12663.9

10999.9

12888.91

11826.33

-2669.24

疗法二

-10993.2

-10483.2

9832.2

-12516.2

-3079.86

-4652.92

疗法三

1743.2

6213.1

-5518.2

-1337.82

2620.298

5362.951

疗法四

-1935.5

8703

2347.6

729.591

9962.699

5362.95

表2-4五十岁-七十岁年龄段

0

8

16

24

32

40

疗法一

120.4

1875.2

1742.6

136.191

1587.219

1049.745

疗法二

-1880.5

-1531.7

1576.8

-1897.9

-444.129

-801.452

疗法三

281.2

985.03

-918

-250.42

308.704

1049.745

疗法四

-289.9

1193.8

374.6

131.191

1587.219

1041.745

利用Matlab软件绘出图形，可以得出在四个不同的年龄段患者体内的CD4细胞与时间的关系，具体图形如下：

图2-7图2-8

图2-9图2-10

　　通过对图2-7到图2-10的分析，年龄为三十是一个疗效的分界点.

三十岁以下疗法三的效果最佳，三十岁以上疗法四的效果最佳．而对于疗法二而言，

CD4的数量处于一个相对较低的状态，并且他的波动急剧．疗法二的疗效最差．同时分析以上的四幅图像，可以得出疗法与年龄的变化无关系．

从整体来看疗法四的治疗效果相对稳定，疗法一与疗法三次之．

本文对四种疗法评价的标准有两个：

整体的CD4数量相对较高，它的波动相对较小，亦即方差较小．

模型III

由问题

（2）中的条件可得各疗法的费用分别为：

其中

1.60，

0.85，

1.85，

1.20（单位：

美元），设t=30（单位：

天），

则

102.3，

207，

147，

219（单位：

美元）．

根据该条件，使用层次分析，设目标层为选择疗法，准则层为最经济，方案层为

，

，

，

，则可得成对比较阵（正互反阵）为

，

由归一法可得该模型的权向量矩阵w=

，和它的最大特征根

，从矩阵中可以看出疗法一所占的权重最大，所以疗法一是最经济的疗法．

所以当病人考虑上四种疗法的费用后，对问题

（2）中的评价和预测发生了变化，因为经济原因，患者可选择疗法一来治疗．

3模型的评价与改进

3.1模型的评价

模型的优点：

（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高．

（2）建立的数学模型都有相应的专用软件支持，算法简便，编程实现简单，推广容

易．

（3）利用数学工具，通过Matlab,Excel的方法，严格地对模型求解，具有科学性．

（4）在曲线的拟合中采取多维拟合，从而使所得函数关系更接近于实际状况，使结果更准确．

（5）问题

（2）中将年龄分段进行分析，更具推广意义．

模型的缺点：

（1）在问题

（1）的建模过程中，没有考虑到血液中主要有两类CD4细胞：

幼稚细胞记忆细胞．HIV对它们的分解和感染的能力是不同的，但这两种细胞的比例关系是很难确定的，以及每个人免疫力是不同的，且对药物的吸收也是不同的，影响它们的因素太多，不容易确定其比例关系，所以只能将其影响降到最低．

（2）所给数据太多，只能对其中一部分进行分析，所以可能在数据的抽取时略掉一些重要的变化点．

3.2　模型的改进

问题

（1）中模型应考虑到CD4细胞中幼稚细胞及记忆细胞的比例关系，因为HIV感染以后首先出现幼稚细胞的减少，使用喊蛋白酶抑制剂的三联药物治疗后，CD4细胞数的反弹可以分成三个阶段：

首先是CD4细胞在淋巴组织中的再分布；然后是CD4记忆细胞的大量流入，同时T细胞活性降低，对记忆抗原的反应增强；第三个阶段是HAART治疗至少12周以后出现幼稚细胞的增加．所以如果能将他们具体对HIV的影响加入模型中，更能贴近实际；另外再加入对药物的吸收率，则问题更加完善，更具推广性．

问题

（2）中对待数据的处理上，很难做到对数据的全面处理．若能用数学软件对这些数据进行编程，所输出结果更加接近真实值．从而使数学模型更具有科学性，合理性．

参考文献：

[1]［美］约翰G.．，巴特利特，乔尔．爱滋病病毒感染的诊断与治疗［M］．北京：

北京科学出版社，2002．

[2]　吴建国．数学建模案例精编［M］．北京：

中国水利水电出版社，2005．

[3]　姜启源．数学建模［M］．北京：

高等教育出版社，2003．

[4]　马知恩．种群生态学的建模与研究［M］．合肥：

安徽教育出版社，1996．