高中数学必修3章末复习6Word文档格式.docx

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2．多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个面的面积，之后相加即可．

①对于圆柱（侧面展开图是矩形）、圆锥（侧面展开图是扇形）、圆台（侧面展开图是扇环），要分别弄清展开图中各数据与原几何体相应量之间的关系．

②球的表面不能展开为平面图形，其表面积公式为S＝4πR2.

3．柱体的体积公式为V＝Sh（S为底面面积，h为高），锥体的体积公式为V＝

Sh（S为底面面积，h为高），球的体积公式为V＝

πR3＝

SR（其中S为球的表面积，R为球的半径）．

四、线线关系

空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面三种．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．

1．证明线线平行的方法

①线线平行的定义；

②公理3：

平行于同一条直线的两条直线互相平行；

③线面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；

④线面垂直的性质定理：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

⑤面面平行的性质定理：

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2．证明线线垂直的方法

①线线垂直的定义：

两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；

②线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

五、线面关系

直线与平面之间的位置关系有线在面内、相交、平行三种．

1．证明直线与平面平行的方法

①线面平行的定义；

②判定定理：

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；

③平面与平面平行的性质：

α∥β，a⊂α⇒a∥β.

2．证明直线与平面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质定理：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质定理：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

六、面面关系

两个平面之间的位置关系有平行、相交两种．

1．证明平面平行的方法

①面面平行的定义；

②面面平行的判定定理：

a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；

③线面垂直的性质定理：

垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β；

④公理3的推广：

平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.

2．证明面面垂直的方法

面面垂直的判定定理：

a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.

七、在处理有关体积问题时应注意的几个问题

（1）等体积变换法：

当所给三棱锥的体积套用公式时某一量（面积或高）不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式计算体积．

（2）在解决锥体与台体的体积比问题时，注意应用以下性质：

＝对应线段的立方之比．

（3）割补法：

在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的（或复杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等．割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面．

（4）补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积．

八、证明空间线面平行或垂直需注意的三点

（1）由已知想性质，由求证想判定．

（2）适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一．

（3）用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．

九、“升降维”思想

用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．

平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．

题型一　三视图与直观图

三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．

例1　将正方体如图

（1）所示截去两个三棱锥，得到如图

（2）所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

答案　B

解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．

跟踪演练1　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

解析　所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的左视图不符合，只有B选项符合．

题型二　几何体的表面积与体积

几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．

例2　如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积．

解　连结A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．

设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是

V.

而四棱锥A′－BCC′B′的体积为

Sa，

故有

V＋

Sa＝V，即V＝

Sa.

跟踪演练2　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．16＋8πB．8＋8π

C．16＋16πD．8＋16π

答案　A

解析　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．

原几何体为组合体：

上面是长方体，下面是圆柱的一半（如图所示），其体积为V＝4×

2×

2＋

π×

22×

4＝16＋8π.

题型三　空间中的平行关系

在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；

而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．

例3　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？

若存在，请确定点F的位置；

若不存在，请说明理由．

解　

当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：

如图连结AC和BD交于点O，连结FO，那么PF＝

PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊

PB，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.

∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.

∴平面AFC∥平面PMD.

跟踪演练3　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：

QG∥平面PBC.

证明　

（1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

（2）连结OG并延长交AC于点M，

连结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．

又Q为PA中点，得QM∥PC，

又O为AB中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.

题型四　空间中的垂直关系

空间垂直关系的判定方法：

（1）判定线线垂直的方法：

①线线垂直的定义；

②线面垂直的性质（若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）；

③线面垂直的性质（若a⊥α，b∥α，则a⊥b）．

（2）判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；

②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）；

③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）；

⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．

（3）面面垂直的判定方法：

面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

例4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

证明　

（1）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.

又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2）因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由

（1）知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

跟踪演练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°

，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.

（1）EN∥平面PDC；

（2）BC⊥平面PEB；

（3）平面PBC⊥平面ADMN.

证明　

（1）∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC.

又平面ADMN∩平面PBC＝MN，AD⊂平面ADMN，

∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC.

又∵N为PB的中点，

∴M为PC的中点，

∴MN＝

BC.

∵E为AD的中点，DE＝

AD＝

BC＝MN，

∴DE綊MN，

∴四边形DENM为平行四边形，

∴EN∥DM.

又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，

∴EN∥平面PDC.

（2）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°

，E为AD中点，

∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB.

∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.

（3）由

（2）知AD⊥PB.

又∵PA＝AB，且N为PB的中点，

∴AN⊥PB.

∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.

又∵PB⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面ADMN.

1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．

另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．

2．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为