微分方程教案docxWord文档格式.docx
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把
（1）式两端积分
得（称为微分方程的通解
）
y
2xdx
即y
x2
C
（3）
其中C是任意常数
把条件“x
2”代入（3）
式
得
2
1
由此定出
把C
代入（3）
得所求曲线方程（称为微分方程满足条件
y|x12
的
解）
例
2列车在平直线路上以
20m/s（相当于72km/h）的速度行驶
当制动时列车获得加速度
4m/s2
问开始制动后多少时间列车才能停住
以及列车在这段时间里行驶了多少路程
?
解设列车在开始制动后
t秒时行驶了s米
根据题意
反映制动阶段列车运动规律的函
数s
s（t）应满足关系式
d2s
0.4
（4）
dt2
此外
未知函数s
s（t）还应满足下列条件
t
0时
s
v
ds
20
简记为s|t0=0
s|t0=20
（5）
dt
把（4）式两端积分一次
0.4t
（6）
再积分一次
2t
（7）
Ct
这里C1C2都是任意常数
把条件v|t0
20代入（6）得
20C1
把条件s|
t0
0代入（7）
得0C
C的值代入（6）及（7）
式得
v04t20（8）
t2
（9）
在（8）式中令v0
得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
50（s）
t0.4
再把t50代入（9）
得到列车在制动阶段行驶的路程
502
2050
500（m）
几个概念
微分方程
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程
叫微分方程
常微分方程
未知函数是一元函数的微分方程
叫常微分方程
偏微分方程
未知函数是多元函数的微分方程
叫偏微分方程
微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
叫微分方程的阶
x3y
x2y
4xy
3x2
y（4）
4y
10y
12y
5y
sin2x
y（n）
一般n阶微分方程
F（x
f（x
y（n1））
微分方程的解
满足微分方程的函数
（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式
）叫做该
确切地说
设函数y
（x）在区间I上有n阶连续导数
如果在区间I上
F[x
（x）
（n）
（x）]0
那么函数y
（x
）就叫做微分方程
（n）
0在区间I上的解
通解
如果微分方程的解中含有任意常数
且任意常数的个数与微分方程的阶数相同
这样的解叫做微分方程的通解
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
x0时
y0y
一般写成
yxx0y0
特解
确定了通解中的任意常数以后
就得到微分方程的特解
即不含任意常数的解
初值问题
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程
y）满足初始条件y
xx
y的解的问题
记为
f（x,y）
yx
x0y0
积分曲线
微分方程的解的图形是一条曲线
叫做微分方程的积分曲线
例3验证
函数
1cos
kt
2sin
是微分方程
d2x
的解
dt2
k
解求所给函数的导数
kC1sinkt
kC2coskt
C1
cos
sin
ktk
2（
ktkC2
ktC2
将
d2x
及x的表达式代入所给方程
（
2sin
这表明函数
C1coskt
C2sinkt
满足方程d2x
k2x
因此所给函数是所给方程的解
例4已知函数xCcoskt
Csinkt（k
0）是微分方程
d2x
0的通解
求满足初始
条件
x|t0Ax|t00
的特解
解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得
C1A
再由条件x|t00及x（t）kC1sinktkC2coskt得
C20
把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得
xAcoskt
作业：
P298：
4
7
可分离变量的微分方程
观察与分析
求微分方程
2的通解
为此把方程两边积分
一般地
方程y
f（x）的通解为
fxdx
C（此处积分后不再加任意常数）
（）
求微分方程y
2xy2
的通解
因为y是未知的
所以积分
2xy2dx无法进行
方程两边直
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为
dy
xdx
两边积分
y2
x2C
或y
可以验证函数
是原方程的通解
如果一阶微分方程y
（x,y）能写成
g（y）dyf（x）dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G（y）F（x）C
由方程G（y）F（x）C所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
Px
Qx
在这种方程中
变量x与y是对称的
若把x看作自变量、y看作未知函数
则当Q（x,y）
有
P（x,y）
Q（x,y）
若把
看作自变量、
看作未知函数
则当（,
）0时
如果一个一阶微分方程能写成
g（y）dy
f（x）dx（
或写成
（y））
的形式
就是说
能把微分方程写成一端只含
y的函数和
另一端只含
x的函数和
那
么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
（1）
2xy
是
y1dy
（2）3
5
xy
（3
5）
xdx
（3）（
xydy=0
不是
xy
（1
x）（1
y）
10
可分离变量的微分方程的解法
第一步
分离变量
将方程写成g（y）dy
f（x）dx的形式
第二步
两端积分
g（y）dy
f（x）dx
设积分后得Gy
Fx
第三步
求出由G（y）
F（x）
C所确定的隐函数y
（x）或
（y）
）或
）都是方程的通解
其中
）（
称为隐式（通）
Gy
解
例1求微分方程dydx2xy的通解
解此方程为可分离变量方程分离变量后得
1dy2xdx
两边积分得
dy2xdx
即ln|y|x2C1
从而
ex2C1
eC1ex2
因为
eC1仍是任意常数
把它记作C
便得所给方程的通解
Cex2
例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求
在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律
解铀的衰变速度就是
M（t）对时间t的导数dM
由于铀的衰变速度与其含量成正比
故得微分方程dM
M
（>
0）是常数
前的曲面号表示当t增加时M单调减少
即dM
由题意
初始条件为M|
t0M0
将方程分离变量得
两边积分得
即lnM
dMdt
dM
（）dt
tlnC也即MCet
由初始条件
得M0Ce0
所以铀含量M（t）随时间t
变化的规律MM0e
例3
设降落伞从跳伞塔下落后
所受空气阻力与速度成正比
并设降落伞离开跳伞塔时
速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v（t）降落伞所受外力为Fmgkv（k为比例系数）根据牛
顿第二运动定律Fma得函数v（t）应满足的方程为
mdvmgkv
初始条件为
v|t
方程分离变量
dv
mg
kv
m
mgkv
1ln（mg
kv）
即
kt
ekC1
Cem（C
将初始条件v|t0
0代入通解得
vmg
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
（1em）
例4
求微分方程dy1x
xy2的通解
解方程可化为
dy（1x）（1y2）
分离变量得
1dy（1x）dx
1y2
xC
1y2dy
（1x）dx
arctan
于是原方程的通解为
ytan（1x2
xC）
P304：
1
（1）
（2）（3）（7）（9）（10），2
（2）（4），3
73齐次方程
齐次方程
如果一阶微分方程
dyf（x,y）中的函数f（x,y）可写成
y的函数
（,
）则称这方程为齐次方程
fxy
下列方程哪些是齐次方程？
（1）xy
yy2
是齐次方程
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