构造函数--之专题训练Word文档下载推荐.docx
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B.（-∞，-1）∪（1，+∞）
C.（-1，0）∪（1，+∞）
D.（-1，0）∪（0，1）
8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+f（x）x＞0，若a=13f（13），b=-3f（-3），c=（ln13）f（ln13），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A.a＜b＜c
B.a＜c＜b
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
9.已知函数f（x）（x∈R）满足f
（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x的解集为（ ）
A.（0，110）
B.（10，+∞）
C.（110，10）
D.（0，110）∪（10，+∞）
10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式exf（x）＞ex+1+2的解集为（ ）
A.（-∞，0）
B.（-∞，e+2）
C.（-∞，0）∪（e+2，+∞）
D.（0，+∞）
11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（ ）
A.3f
（2）＞2f（3）
B.3f
（2）=2f（3）
C.3f
（2）＜2f（3）
D.3f
（2）与2f（3）的大小不确定．
12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（ ）
A.ef（2015）＞f（2016）B.ef（2015）＜f（2016）
C.ef（2015）=f（2016）D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定
13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f
（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（ ）
A.（-∞，-2）∪（0，2）
C.（-2，0）∪（2，+∞）
D.（-∞，-2）∪（2，+∞）
14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A.f（0）+f
（2）＜2f
（1）
B.f（0）+f
（2）≤2f
（1）
C.f（0）+f
（2）≥2f
（1）
D.f（0）+f
（2）＞2f
（1）
15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（ ）
A.（-1，+∞）
B.（-1，0）
C.（-∞，-1）
D.（-∞，+∞）
16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（ ）
A.（0，1e]
B.（0，1]
C.（0，e]
D.（1，e]
17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（ ）
A.（12，+∞）
B.（-∞，12）
C.（-∞，0）∪（0，12）
D.（0，12）
18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=3f（3），b=f
（1），c=-2f（log214），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.c＞a＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.a＞c＞b
19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（ ）
A.8＜f
（2）f
（1）＜16
B.4＜f
（2）f
（1）＜8
C.3＜f
（2）f
（1）＜4
D.2＜f
（2）f
（1）＜3
20.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（ ）
A.f
（1）＞ef（0）
B.f
（1）＜ef（0）
C.f
（1）＞f（0）
D.f
（1）＜f（0）
21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（ ）
A.（-1，0）
B.（1，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
1.B
2.A
3.B
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.D
10.A
11.A
12.A
13.B
14.C
15.A
16.B
17.C
18.A
19.B
20.A
21.C
答案和解析
【答案】1.B
【解析】
1.解：
令g（x）=f（x）x2，x∈（0，+∞），g′（x）=xf'
（x）-2f（x）x3，
∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜xf'
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴f
（1）1＜f
（2）4，∴f
（1）f
（2）＜14．
令h（x）=f（x）x3，x∈（0，+∞），
h′（x）=xf'
（x）-3f（x）x4，
∴h′（x）=xf'
（x）-3f（x）x4＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴f
（1）1＞f
（2）8，∴18＜f
（1）f
（2）．
综上可得：
18＜f
（1）f
（2）＜14，
故选：
B．
分别构造函数g（x）=f（x）x2，x∈（0，+∞），h（x）=f（x）x3，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.解：
∵f（x）+2f′（x）＞0，
可设f（x）=e12x，
∴f
（1）=e，f（0）=e0=1，
∴f
（1）＞f（0）e，
A．
根据题意可设f（x）=e12x，然后代入计算判断即可．
本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．
3.解：
由题意，（f（x）ex）′=2x，
∴f（x）ex=x2+b，
∴f（x）=（x2+b）ex，
∵f（0）=1，∴b=1，
∴f（x）=（x2+1）ex，
f′（x）=（x+1）2ex，
∴当x＞0时，f'
（x）f（x）=1+2xx2+1≤2，当且仅当x=1时取等号，
（x）f（x）的最大值为2．
利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xex，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．
本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．
4.解：
∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）关于x=2对称，
由f′（x）＞12xf′（x），
得（x-2）f′（x）＜0，
则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．
若a∈（2，3），
则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，
∴2＜4-log2a＜3，
∴2＜4-log2a＜2a，
即f
（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），
即f（2a）＜f（log2a）＜f
（2），
C
根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞12xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．
本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
5.解：
设g（x）=f（x）x，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；
x＞0时，g'
（x）=xf'
（x）-f（x）x2＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g
（2）=0；
∴由g（x）＞0得，g（x）＞g
（2）；
∴g（|x|）＞g
（2）；
∴|x|＜2，且x≠0；
∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；
∴f（x）x＞0的解集为（-2，0）∪（0，2）．
可设g（x）=f（x）x，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g
（2）=0，从而由g（x）＞g
（2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．
考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g
（2）等价于g（|x|）＞g
（2）．
6.解：
设g（x）=f（x）x，则g′（x）=xf'
（x）-f（x）x2，
∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，
∵f（x）是奇函数，∴g（x）=f（x）x是偶函数，
即当x＜0时，g（x）为增函数．
∵f（-1）=0，∴g（-1）=g
（1）=0，
当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=f（x）x＜0，即g（x）＜g
（1），此时x＞1，
当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=f（x）x＞0，即g（x）＞g（-1），此时-1＜x＜0，
综上不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞），
A
根据条件构造函数g（x）=f（x）x，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．
7.解：
根据题意，设函数g（x）=f（x）x2，
当x＞0时，g'
（x）=f'
（x）⋅x-2⋅f（x）x3＜0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（x）为偶函数，
所以g（x）为偶函数，
又f
（1）=0，所以g
（1）=0，
故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，
即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．
D．
构造函数设函数g（x）=f（x）x2，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f
（1）=0，解得f（x）＞0的解集．
本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．
8.解：
定义域为R的奇函数y=f（x），
设F（x）=xf（x），
∴F（x）为R上的偶函数，
∴F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵当x≠0时，f′（x）+f（x）x＞0．
∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
F（13）=a=13f（13）=F（ln3e），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln13）=c=（ln13）f（ln13）=F（ln3），
∵ln3e＜ln3＜3，
∴F（ln3e）＜F（ln3）＜F（3）．
即a＜c＜b，
根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+f（x）x＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c的大小．
本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．
9.解：
设g（x）=f（x）-x，
则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）为减函数，
∵f
（1）=1，
∴g
（1）=f
（1）-1=1-1=0，
则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g
（1），
则不等式的解为x＞1，
即f（x）＜x的解为x＞1，
∵f（1g2x）＜1g2x，
∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，
解得x＞10或0＜x＜110，
故不等式的解集为（0，110）∪（10，+∞），
D
构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．
本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
10.解：
设g（x）=exf（x）-ex+1-2（x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex+1=ex[f（x）+f′（x）-e]，
∵f（x）+f′（x）＜e，
∴f（x）+f′（x）-e＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵f（0）=e+2，
∴g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-2＞0，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
构造函数g（x）=exf（x）-ex+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．
本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
11.解：
设函数y=f（x）x，则y′=xf'
∵xf′（x）＜f（x），∴y′＜0，
可得y=f（x）x对任意x∈R，函数y是减函数，
∴f（3）3＜f
（2）2，
可得3f
（2）＞2f（3）．
构造函数，利用函数的单调性判断即可．
本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键．
12.解：
令g（x）=f（x）ex，由题意，
则g′（x）=f'
（x）-f（x）ex＜0，
从而g（x）在R上单调递减，
∴g（2016）＜g（2015）．
即f（2016）e2016＜f（2015）e2015，
∴e2015f（2016）＜e2016f（2015），
即ef（2015）＜f（2016），
造函数g（x）=f（x）ex，通过求导判断其单调性，从而确定选项．
本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．
13.解：
令g（x）=f（x）x，
∴g′（x）=xf'
∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，
∴x＞0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f
（2）=0，
∴g
（2）=f
（2）2=0，
当0＜x＜2，
g（x）＜g
（2）=0，即f（x）＜0，
当x＞2时，g（x）＞g
（2）=0，即f（x）＞0，
∵f（x）是偶函数，
∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，
故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），
构造函数g（x）=f（x）x，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为奇函数，根据f
（2）=0，解得f（x）＜0的解集．
14.解：
∵（x-1）f′（x）≥0，
∴当x≥1时，f′（x）≥0，
当x＜1时，f′（x）≤0；
故f（x）在（-∞，1）上不增，
在[1，+∞）上不减，
故f（0）≥f
（1），f
（2）≥f
（1）；
故f（0）+f
（2）≥2f
（1），
故选C．
由题意，当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；
从而可得f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f
（1），f
（2）≥f
（1）；
从而可得．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
15.解：
令g（x）=f（x）-x3-2016，
g′（x）=f′（x）-3x2，
∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，
∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，
∴g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数，
且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0，
故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（-1，+∞），
令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g′（x）=f′（x）-3x2，从而确定不等式的解集．
本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．
16.解：
构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），则g′（x）=f′（x）-1x=xf'
（x）-1x＞0，
∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，
∵f（x）≤lnx，
∴g（x）≤0=g
（1），
∴0＜x≤1，
构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g
（1），即可得出结论．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．
17.解：
∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x2f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在（-∞，0）递减；
由不等式g（x）＜g（1-x），
∴x＞01-x＞0x＜1-x或x＜0x-1＜0x＞x-1，
解得：
0＜x＜12，或x＜0∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：
{x|0＜x＜12或x＜0}．
C．
f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：
f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：
xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．
本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.解：
当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∴[xf（x）]′＜0，
∴令F（x）=xf（x），
由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
则F（x）为偶函数，
且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
由c=-2f（log214）=-2f（-2）=2f
（2）=g
（2），
a=3f（3）=g（3），b=f
（1）=g
（1），
由1＜3＜2，可得b＜a＜c．
由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f
（2）=g
（2），a=3f（3）=g（3），b=f
（1）=g
（1），即可得到所求大小关系．
本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．
19.解：
令g（x）=f（x）x3，
（x）⋅x3-3x2f（x）x6=xf'
∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即有g（x）在（0，+∞）递减，可得
g
（2）＜g
（1），即f
（2）8＜f
（1）1，
由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则f
（2）f
（1）＜8；
令h（x）=f（x）x2，h′（x）=f'
（x）⋅x2-2xf（x）x4=xf'
∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，
∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
即有h（x）在（0，+∞）递增，可得
h
（2）＞h
（1），即f
（2）4＞f
（1），则
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