第2章 习题解答.docx

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第2章习题解答

习题2.1

1．将下列命题符号化。

（1）4不是奇数。

解：

设A（x）：

x是奇数。

a：

4。

“4不是奇数。

”符号化为：

¬A（a）

（2）2是偶数且是质数。

解：

设A（x）：

x是偶数。

B（x）：

x是质数。

a：

2。

“2是偶数且是质数。

”符号化为：

A（a）∧B（a）

（3）老王是山东人或河北人。

解：

设A（x）：

x是山东人。

B（x）：

x是河北人。

a：

老王。

“老王是山东人或河北人。

”符号化为：

A（a）

B（a）

（4）2与3都是偶数。

解：

设A（x）：

x是偶数。

a：

2，b：

3。

“2与3都是偶数。

”符号化为：

A（a）∧A（b）

（5）5大于3。

解：

设G（x,y）：

x大于y。

a：

5。

b：

3。

“5大于3。

”符号化为：

G（a,b）

（6）若m是奇数，则2m不是奇数。

解：

设A（x）：

x是奇数。

a：

m。

b：

2m。

“若m是奇数，则2m不是奇数。

”符号化为：

A（a）→A（b）

（7）直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

解：

设C（x,y）：

直线x平行于直线y。

设D（x,y）：

直线x相交于直线y。

a：

直线A。

b：

直线B。

“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

”符号化为：

C（a,b）↔¬D（x,y）

（8）小王既聪明又用功，但身体不好。

解：

设A（x）：

x聪明。

B（x）：

x用功。

C（x）：

x身体好。

a：

小王。

“小王既聪明又用功，但身体不好。

”符号化为：

A（a）∧B（a）∧¬C（a）

（9）秦岭隔开了渭水和汉水。

解：

设A（x,y,z）：

x隔开了y和z。

a：

秦岭。

b：

渭水。

c：

汉水。

“秦岭隔开了渭水和汉水。

”符号化为：

A（a,b,c）

（10）除非小李是东北人，否则她一定怕冷。

解：

设A（x）：

x是东北人。

B（x）：

x怕冷。

a：

小李。

“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。

”符号化为：

B（a）→¬A（a）

2．将下列命题符号化。

并讨论它们的真值。

（1）有些实数是有理数。

解：

设R（x）：

x是实数。

Q（x）：

x是有理数。

“有些实数是有理数。

”符号化为：

（x）（R（x）∧Q（x））

它的真值为：

真。

***

（2）凡是人都要休息。

（个体域，全总个体域要理解）

解：

设R（x）：

x是人。

S（x）：

x要休息。

“凡是人都要休息。

”符号化为：

（x）（R（x）→S（x））

它的真值为：

真。

（3）每个自然数都有比它大的自然数。

解：

设N（x）：

x是自然数。

G（x,y）：

x比y大。

“每个自然数都有比它大的自然数。

”符号化为：

（x）（N（x）→（y）（N（y）∧G（y,x）））

它的真值为：

真。

（4）乌鸦都是黑的。

解：

设A（x）：

x是乌鸦。

B（x）：

是黑的。

“乌鸦都是黑的。

”符号化为：

（x）（A（x）→B（x））

它的真值为：

真。

***（5）不存在比所有火车都快的汽车。

解：

设A（x）：

x是汽车。

B（x）：

是火车。

K（x,y）：

x比y快。

“不存在比所有火车都快的汽车。

”符号化为：

¬（x）（A（x）∧（y）（B（y）→K（x,y）））

它的真值为：

真。

（6）有些大学生不佩服运动员。

解：

设S（x）：

x是大学生。

L（x）：

是运动员。

B（x,y）：

x佩服y。

“有些大学生不佩服运动员。

”符号化为：

（x）（S（x）∧L（y）∧¬B（x,y））

它的真值为：

真。

（7）有些女同志既是教练员又是运动员。

解：

设W（x）：

x是女同志。

J（x）：

x是教练员。

L（x）：

x是运动员。

“有些女同志既是教练员又是运动员。

”符号化为：

（x）（W（x）∧J（x）∧L（x））

它的真值为：

真。

（8）除2以外的所有质数都是奇数。

解：

设A（x）：

x是质数。

B（x）：

x是奇数。

C（x,y）：

x不等于y。

“除2以外的所有质数都是奇数。

”符号化为：

（x）（A（x）∧C（x,2）→B（x））

它的真值为：

真。

3．指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。

在以下各题中，A（x）表示：

x＞0，B（x）表示：

x=5，C（x,y）表示：

x＋y=0

（1）（x）A（x）

解：

正整数集合Z+。

（2）（x）A（x）

解：

整数集合Z。

（3）（x）B（x）

解：

集合｛5｝。

（4）（x）B（x）

解：

整数集合Z。

（5）（x）（y）C（x,y）

解：

整数集合Z。

4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。

（注意不要混淆）

（1）对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x－y=0。

在实数个体域符号化为：

（x）（y）B（x,y）

在全总个体域符号化为：

（x）（R（x）→（y）（R（y）∧B（x,y）））

（2）存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x－y=0。

在实数个体域符号化为：

（x）（y）B（x,y）

在全总个体域符号化为：

（x）（R（x）∧（y）（R（y）→B（x,y）））

（3）对所有的实数x和所有的实数y，都有x＋y=y＋x

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x=y。

在实数个体域符号化为：

（x）（y）B（x+y,y+x）

在全总个体域符号化为：

（x）（R（x）→（y）（R（y）→B（x+y,y+x）））

（4）存在着实数x和存在着实数y，使得x＋y=100

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x＋y=100。

在实数个体域符号化为：

（x）（y）B（x,y）

在全总个体域符号化为：

（x）（R（x）∧（y）（R（y）∧B（x,y）））

习题2.2

1.指出下列公式中的约束变元和自由变元。

（1）（x）（P（x）→Q（y））

解：

约束变元：

x，自由变元：

y

（2）（x）（P（x）∧R（x））→（（x）P（x）∧Q（x））

解：

约束变元：

x，自由变元：

x

（3）（x）（P（x）∧（x）Q（x））∨（（x）R（x,y）∧Q（z））

解：

约束变元：

x，自由变元：

y，z

（4）（x）（y）（R（x,y）∧Q（z））

解：

约束变元：

x，y，自由变元：

z

（5）（z）（P（x）∧（x）R（x,z）→（y）Q（x,y））∨R（x,y）

解：

约束变元：

x，y，z，自由变元：

x，y

2.对下列谓词公式中的约束变元进行换名。

（1）（x）（y）（P（x,z）→Q（x,y））∧R（x,y）

解：

将约束变元x换成u：

（u）（y）（P（u,z）→Q（u,y））∧R（x,y）

将约束变元y换成v：

（x）（v）（P（x,z）→Q（x,v））∧R（x,y）

（2）（x）（P（x）→（R（x）∨Q（x,y）））∧（x）R（x）→（z）S（x,z）

解：

将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：

（u）（P（u）→（R（u）∨Q（u,y）））∧（v）R（v）→（z）S（x,z）

将约束变元z换成w：

（x）（P（x）→（R（x）∨Q（x,y）））∧（x）R（x）→（w）S（x,w）

3.对下列谓词公式中的自由变元进行代入。

（1）（（y）Q（z,y）→（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

解：

将自由变元z用u代入：

（（y）Q（u,y）→（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,u）

将自由变元y用v代入：

（（y）Q（z,y）→（x）R（x,v））∨（x）S（x,v,z）

（2）（y）P（x,y）∧（z）Q（x,z）↔（x）R（x,y）

解：

将自由变元x用u代入：

（y）P（u,y）∧（z）Q（u,z）↔（x）R（x,y）

将自由变元y用v代入：

（y）P（x,y）∧（z）Q（x,z）↔（x）R（x,v）

4.利用谓词公式对下列命题符号化。

（1）每列火车都比某些汽车快。

解：

设A（x）：

x是火车。

B（x）：

x是汽车。

C（x,y）：

x比y快。

“每列火车都比某些汽车快。

”符号化为：

（x）（A（x）→（y）（B（y）∧C（x,y）））

（2）某些汽车比所有火车慢。

解：

设A（x）：

x是火车。

B（x）：

x是汽车。

C（x,y）：

x比y快。

“某些汽车比所有火车慢。

”符号化为：

（x）（B（x）∧（y）（A（y）→C（y,x）））

（3）对每一个实数x，存在一个更大的实数y。

解：

设R（x）：

x是实数。

G（x,y）：

x比y大。

“对每一个实数x，存在一个更大的实数y。

”符号化为：

（x）（R（x）→（y）（R（y）∧G（y,x）））

（4）存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。

解：

设R（x）：

x是实数。

G（x,y）：

x比y大。

“存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。

”符号化为：

（x）（y）（z）（R（x）∧R（y）∧R（z）∧G（x+y,xz））

（5）所有的人都不一样高。

解：

设R（x）：

x是人。

G（x,y）：

x和y一样高。

“所有的人都不一样高。

”符号化为：

（x）（y）（R（x）∧R（y）→¬G（x,y））

5.自然数一共有下述三条公理：

a）每个数都有惟一的一个数是它的后继数。

b）没有一个数使数1是它的后继数。

c）每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。

用两个谓词表达上述三条公理。

注：

设n是不等于1的自然数，则n＋1是n的后继数，n－1是n的先驱数。

解：

设A（x）：

x是数。

B（x,y）：

x是y后继数（根据定义，也可理解为y是x先驱数）。

a）“每个数都有惟一的一个数是它的后继数。

”符号化为：

（x）（A（x）→（y）（A（y）∧B（y,x））∧（（z）（A（z）∧B（z,x））→（z=y）））

b）“没有一个数使数1是它的后继数。

”符号化为：

¬（x）（A（x）∧B（1,x））

c）“每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。

”符号化为：

（x）（A（x）∧¬（x=1）→（y）（A（y）∧B（x,y））∧（（z）（A（z）∧B（x,z））→（z=y）））

6.取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：

对每个ε＞0，存在一个δ＞0，使得对所有x，若|x－a|＜δ，则|f（x）－f（a）|＜ε。

试把此定义用符号化的形式表达出来。

解：

（ε）（（ε＞0）→（δ）（（δ＞0）∧（x）（（|x－a|＜δ）→（|f（x）－f（a）|＜ε））））

7.若定义惟一性量词（!

x）为“存在惟一的一个x”，则（!

x）P（x）表示“存在惟一的一个x使P（x）为真”。

试用量词，谓词及逻辑运算符表示（!

x）P（x）。

解：

（!

x）P（x）（x）P（x）∧（（y）P（y）→（y=x））

习题2.3

1.设个体域为D=1,2,3，试消去下列各式的量词。

（1）（x）P（x）

解：

（x）P（x）P

（1）∧P

（2）∧P（3）

（2）（x）P（x）→（y）Q（y）

解：

（x）P（x）→（y）Q（y）（P

（1）∧P

（2）∧P（3））→（Q

（1）∨Q

（2）∨Q（3））

（3）（x）P（x）∨（y）Q（y）

解：

（x）P（x）∨（y）Q（y）（P

（1）∧P

（2）∧P（3））∨（Q

（1）∨Q

（2）∨Q（3））

（4）（x）（P（x）↔Q（x））

解：

（x）（P（x）↔Q（x））（P

（1）↔Q

（1））∧（P

（2）↔Q

（2））∧（P（3）↔Q（3））

（5）（x）P（x）∨（y）Q（y）

解：

（x）¬P（x）∨（y）Q（y）（¬P

（1）∧¬P

（2）∧¬P（3））∨（Q

（1）∧Q

（2）∧Q（3））

2.求下列各式的真值。

（1）（x）（y）H（x,y）其中H（x,y）：

x＞y，个体域为D=4,2

解：

（x）（y）H（x,y）（y）H（2,y）∧（y）H（4,y）

（H（2,2）∨H（2,4））∧（H（4,2）∨H（4,4））

（0∨0）∧（1∨0）0∧10

（2）（x）（S（x）→Q（a））∧p其中S（x）：

x＞3，Q（x）：

x=5，a：

3，p：

5＞3，个体域为D=-1,3,6

解：

（x）（S（x）→Q（a））∧p（（S（-1）→Q（3））∨（S（3）→Q（3））∨（S（6）→Q（3）））∧（5＞3）

（（0→0）∨（0→0）∨（1→0））∧1

（1∨1∨0）∧11∧11

（3）（x）（x2-2x+1=0）其中个体域为D=-1,2

解：

（x）（x2-2x+1=0）（（（－1）2－2×（－1）＋1=0）∨（22－2×2＋1=0）

（（4=0）∨（1=0）0∨00

3.证明下列各式。

其中：

B是不含变元x的谓词公式。

（1）（x）（S（x）→R（x））（x）S（x）→（x）R（x）

证明：

（x）（S（x）→R（x））（x）（¬S（x）∨R（x））

（x）¬S（x）∨（x）R（x）

¬（x）S（x）∨（xR（x）

（x）S（x）→（x）R（x）

（2）（x）（y）（S（x）→R（y））（x）S（x）→（y）R（y）

证明：

（x）（y）（S（x）→R（y））（x）（y）（¬S（x）∨R（y））

（x）¬S（x）∨（y）R（y）

¬（x）S（x）∨（y）R（y）

（x）S（x）→（y）R（y）

（3）（x）（A（x）→B）（x）A（x）→B

证明：

（x）（A（x）→B）（x）（¬A（x）∨B）（x）¬A（x）∨B

¬（x）A（x）∨B（x）A（x）→B

（4）（x）（B→A（x））B→（x）A（x）

证明：

（x）（B→A（x））（x）（¬B∨A（x））¬B∨（x）A（x）B→（x）A（x）

（5）（x）（A（x）→B（x））（x）A（x）→（x）B（x）

证明：

因为（x）（A（x）→B（x）），所以对于任意个体c，A（c）→B（c）和A（c），从而有B（c），由c的任意性有（x）B（x），根据cp规则，（x）（A（x）→B（x））（x）A（x）→（x）B（x）

（6）（x）（A（x）B（x））（x）A（x）（x）B（x）

证明：

（x）（A（x）B（x））（x）（（A（x）→B（x））∧（B（x）→A（x）））

（x）（A（x）→B（x））∧（x）（B（x）→A（x））

（x）（A（x）→B（x））∧（x）（B（x）→A（x））（x）（A（x）→B（x））（x）A（x）→（x）B（x）

同理，（x）（A（x）→B（x））∧（x）（B（x）→A（x））（x）B（x）→（x）A（x）

所以，（x）（A（x）→B（x））∧（x）（B（x）→A（x））（（x）A（x）→（x）B（x））∧（（x）B（x）→（x）A（x））

而（（x）A（x）→（x）B（x））∧（（x）B（x）→（x）A（x））（x）A（x）（x）B（x）

故有（x）（A（x）B（x））（x）A（x）（x）B（x）

4.判断下列证明是否正确。

（x）（A（x）→B（x））（x）（¬A（x）∨B（x））（x）（A（x）∧¬B（x））

¬（x）（A（x）∧¬B（x））¬（（x）A（x）∧（x）¬B（x））

¬（（x）A（x）∧¬（x）B（x））¬（x）A（x）∨（x）B（x））

（x）A（x）→（x）B（x））

解：

下列的推理是错的：

¬（x）（A（x）∧¬B（x））¬（（x）A（x）∧（x）¬B（x））

习题2.4

1.求下列各式的前束范式。

（1）（x）P（x）∧（x）Q（x）

解：

（x）P（x）∧（x）Q（x）（x）P（x）∧（x）Q（x）（x）（P（x）∧Q（x））

（2）（x）P（x）∨（x）Q（x）

解：

（x）P（x）∨（x）Q（x）（x）P（x）∨（x）Q（x）

（x）P（x）∨（y）Q（y）

（x）（y）（P（x）∧Q（y））

（3）（x）（y）（（（z）A（x,y,z）∧（u）B（x,u））→（v）B（x,v））

解：

（x）（y）（（（z）A（x,y,z）∧（u）B（x,u））→（v）B（x,v））

（x）（y）（（z）（u）（A（x,y,z）∧B（x,u））→（v）B（x,v））

（x）（y）（z）（u）（v）（（A（x,y,z）∧B（x,u））→B（x,v））

（4）（x）（y）（（z）（A（x,z）∧B（x,z））→（u）R（x,y,u））

解：

（x）（y）（（z）（A（x,z）∧B（x,z））→（u）R（x,y,u））

（x）（y）（z）（u）（（A（x,z）∧B（x,z））→R（x,y,u））

（5）（x）（（y）A（x,y）→（x）（y）（B（x,y）∧（y）（A（y,x）→B（x,y））））

解：

（x）（（y）A（x,y）→（x）（y）（B（x,y）∧（y）（A（y,x）→B（x,y））））

（x）（（y）A（x,y）→（x）（y）（B（x,y）∧（z）（A（z,x）→B（x,z））））

（x）（（y）A（x,y）→（u）（v）（z）（B（u,v）∧（A（z,u）→B（u,z））））

（x）（y）（u）（v）（z）（A（x,y）→（B（u,v）∧（A（z,u）→B（u,z））））

（x）（y）（u）（v）（z）（A（x,y）→（B（u,v）∧（A（z,u）→B（u,z））））

2.求下列各式的前束合取范式。

（此处公式不要忘记书上42页）

***

（1）（x）（P（x）∨（z）Q（z,y）→（y）R（x,y））

解：

（x）（P（x）∨（z）Q（z,y）→（y）R（x,y））

（x）（（z）（P（x）∨Q（z,y））→（y）R（x,y））

（x）（（z）（P（x）∨Q（z,y））→（u）R（x,u））

（x）（z）（u）（（P（x）∨Q（z,y））→R（x,u））

（x）（z）（u）（（P（x）∨Q（z,y））∨R（x,u））

（x）（z）（u）（（P（x）∧Q（z,y））∨R（x,u））

（x）（z）（u）（（P（x）∨R（x,u））∧（Q（z,y）∨R（x,u）））

（2）（x）（y）（P（x,y）∧Q（y,z））∨（x）R（x,y）

解：

（x）（y）（P（x,y）∧Q（y,z））∨（x）R（x,y）

（x）（u）（P（x,u）∧Q（u,z））∨（v）R（v,y）

（x）（u）（v）（（P（x,u）∧Q（u,z））∨R（v,y））

（x）（u）（v）（（P（x,u）∨R（v,y））∧（Q（u,z））∨R（v,y）））

（3）（（y）Q（z,y）→（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

解：

（（y）Q（z,y）→（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

（（u）Q（z,u）→（x）R（x,y））∨（v）S（v,y,z）

（u）（x）（v）（（Q（z,u）→R（x,y））∨S（v,y,z））

（u）（x）（v）（Q（z,u）∨R（x,y）∨S（v,y,z））

3.求下列各式的前束析取范式。

（同上要注意此类题目）

（1）（x）（P（x）→（y）（（x）Q（x,y）→（z）R（x,y,z）））

解：

（x）（P（x）→（y）（（x）Q（x,y）→（z）R（x,y,z）））

（x）（P（x）→（y）（（x）Q（x,y）→（z）R（x,y,z）））

（x）（P（x）→（y）（u）（z）（Q（u,y）→R（x,y,z）））

（x）（y）（u）（z）（P（x）→（Q（u,y）→R（x,y,z）））

（x）（y）（u）（z）（P（x）∨Q（u,y）∨R（x,y,z））

（2）（x）（y）（P（x,y）∨Q（y,z））∧（x）R（x,y）

解：

（x）（y）（P（x,y）∨Q（y,z））∧（x）R（x,y）

（x）（u）（P（x,u）∨Q（u,z））∧（v）R（v,y）

（x）（u）（v）（（P（x,u）∨Q（u,z））∧R（v,y））

（x）（u）（v）（（P（x,u）∧R（v,y））∨（Q（u,z））∧R（v,y）））

（3）（（y）Q（z,y）∧（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

解：

（（y）Q（z,y）∧（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

（（u）Q（z,u）∧（x）R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

（u）（x）（Q（z,u）∧R（x,y））∨（x）S（x,y,z）

（u）（x）（Q（z,u）∧R（x,y））∨（v）S（v,y,z）

（u）（x）（v）（（Q（z,u）∧R（x,y））∨S（v,y,z））

习题2.5

1．证明下列各式。

（1）（x）（F（x）→（G（y）∧R（x））），（x）F（x）（x）（F（x）∧R（x））

证明：

⑴（x）F（x）P

⑵F（c）ES⑴

⑶（x）（F（x）→（G（y）∧R（x）））P

⑷F（c）→（G（y）∧R（c））US⑶

⑸G（y）∧R（c）T⑵⑷假言推理

⑹R（c）T⑸化简律

⑺F（c）∧R（c）T⑵⑹合取引入

⑻（x）（F（x）∧R（x））EG⑺

（2）（x）（F（x）→G（x）），（x）（R（x）→G（x））（x）（R（x）→F（x））

证明：

⑴（x）（R（x）→G（x））P

⑵R（c）→G（c）US⑴

⑶（x）（F（x）→G（x））P

⑷F（c）→G（c）US⑶

⑸G（c）→F（c）T⑷假言易位式

⑹R（c）→F（c）T⑵⑸假言三段论

⑺（x）（R（x）→F（x））UG⑹

（3）（x）（F（x）∨G（x）），（x）（G（x）→R（x）），（x）R（x）（x）F（x）

证明：

⑴（x）R（x）P

⑵R（c）US⑴

⑶（x）（G（x）→R（x））P

⑷G（c）→R（c）US⑶

⑸G（c）T⑵⑷拒取式

⑹（x）（F（x）∨G（x））P

⑺F（c）∨G（c）US⑹

⑻F（c）T⑸⑺析取三段论

⑼（x）F（x）UG⑻

（4）（x）F（x）→（y）（（F（y）∨G（y））→R（y）），（x）F（x）（x）R（x）

证明：

⑴（x）F（x）P

⑵F（c）ES⑴

⑶（x）F（x）→（y）（（F（y）∨G（y））→R（y））P

⑷（y）（（F（y）∨G（y））→R（y））T⑴⑶假言推理

⑸（F（c）∨G（c））→R（c）US⑷

⑹F（c）∨G（c）T⑵附加律

⑺R（c）T⑸⑹假言推理

⑻（x）R（x）UG⑺

2．用CP规则证明下列各式。

（1）（x）（F（x）→R（x））（x）F（x）→（x）R（x）

证明：

⑴（x）F（x）P（附加前提）

⑵F（c）US⑴

⑶（x）（F（x）→R（x））P

⑷F（c）→R（c）US⑶

⑸R（c）T⑵⑷假言推理

⑹（x）R（x）UG⑸

⑺（x）F（x）→（x）R（x）CP

***

（2）（x）（F（x）∨G（x）），（x）（G（x）∧R（x））（x）R（x）→（x）F（x）

证明：

⑴（x）R（x）P（附加前提）

⑵R（c）US⑴

⑶（x）（G（x）∧R（x））P

⑷（x）（G（x）∧R（x））T⑶量词否定等价式

⑸（G（c）∧R（c））US⑷

⑹G（c）∨R（c）T⑸德摩根律

⑺G（c）T⑵⑹析取三段论

⑻（x）（F（x）∨G（x））P

⑼F（c）∨G（c）US⑻

⑽F（c）T⑺⑼析取三段论

⑾（x）F（x）UG⑽

⑿（x）R（x）→（x）F（x）CP

（3）（x）（F（x）→G（x）），（x）（G（x）∨R（x