17年数学全国三卷与答案.docx
《17年数学全国三卷与答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《17年数学全国三卷与答案.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
17年数学全国三卷与答案
理科数学2017年高三2017年全国丙卷理科数学
理科数学
考试时间：
____分钟
题型单选题填空题简答题总分
得分
单选题（本大题共12小题，每小题____分，共
____分。
）
1．已知集合A=，B=，则AB中元素的
个数为（）
A.3
B.2
C.1
D.0
2．设复数z满足（1+i）z=2i，则∣z∣=（）
A.
B.
C.
D.2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并
整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）
的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更
小，变化比较平稳
4．的展开式中的系数为（）
A.
B.
C.40
D.80
5．已知双曲线C：
（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为
且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
（）
A.
B.
C.
D.
6．设函数，则下列结论错误的是（）
A.的一个周期为
B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为
D.在（,）单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整
数N的最小值为（）
A.5
B.4
C.3
D.2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球
的球面上，则该圆柱的体积为（）
A.
B.
C.
D.
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a
6成等比数列，
则前6项的和为（）
A.
B.
C.3
D.8
10．已知椭圆C：
的左、右顶点分别为A1，A
2，且
以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
（）
A.
B.
C.
D.
11．已知函数有唯一零点，则
a=（）
A.
B.
C.
D.1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD
相切的圆上.若，则的最大值为
（）
A.3
B.2
C.
D.2
填空题（本大题共4小题，每小题____分，共
____分。
）
13．若，满足约束条件，则的最小值为
__________.
14．设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=
___________.
15．设函数，则满足的x的取值范围是
_________.
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直
角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，
共____分。
）
17．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当
天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单
位：
℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最
高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于
20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年
六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元）.当六月
份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体
积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
20．（12分）
已知抛物线C：
y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M
是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
21．（12分）
已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，
求m的最小值.
22．选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如
果多做，则按所做的第一题计分。
[选修44：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），
直线l2的参数方程为.设l1与l
2的交点为P，当k
变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
，M为l3与C的交点，求M的极径.
23．选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如
果多做，则按所做的第一题计分。
[选修45：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.
答案
单选题
1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B
9.A10.A11.C12.A
填空题
13.
14.
15.
16.
②③.
简答题
17.
（1）
（2）
18.
（1）分布列略；
（2）n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为
520元.
19.
（1）证明略；
（2）.
20.
（1）证明略；
（2）见解析
21.
（1）a=1；
（2）3
22.
（1）；
（2）
23.
（1）；
（2）
解析
单选题
1.
由题意可得：
圆与直线相交于两点，
，则中
有2个元素.故选B.
2.
由题意可得，由复数求模的法则可得，则
.故选C.
3.
由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，
选项A说法错误.故选A.
4.
由展开式的通项公式
可得：
当时，展开式的系数为
，
当时，展开式的系数为，
则的系数为80－40＝40，故选C.
5.
双曲线C：
（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，
椭圆中：
，椭圆，双曲线的焦点为
，
据此可得双曲线中的方程组：
，解得：
，
则双曲线的方程为.
6.
当时，，函数在该区间内不单调.故
选D.
7.
阅读程序框图，程序运行如下：
首先初始化数值：
，然后进入循环体：
此时应满足，执行循环语句：
；
此时应满足，执行循环语句：
；
此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.
故选D.
8.
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：
，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故
选B.
9.
设等差数列的公差为，且，
，，又，所以，
，故选A.
10.
以线段为直径的圆是，直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，整理为，即
，即，，故选A.
11.
函数的零点满足，
设，则，
当时，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，
设，当时，函数取得最小值，
若，函数与函数没有交点，
当，时，此时函数与函数有一个交点，
即，解得，故选C.
12.
如图，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得
，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
填空题
13.
作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，
目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在
点处取得最小值，为.
14.
由题意可得：
，解得：
，则
15.
由题意：
，函数在
区间三段区间内均单调递增，且
，
可知x的取值范围是：
.
16.
由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由
，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，
交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接
AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60o时，∠ABD＝60o，故，又在Rt△BDE中，BE＝2，，过点B
作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝
，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60o，即②正确，①错误，
由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直
线AB与a成的最大角为90o，④错误
简答题
17.
（1）由已知得，所以.
在△ABC中，由余弦定理得，即
.
解得：
（舍去），.
（2）有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
18.
（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，
因此只需考虑.
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
19.
（1）由题设可得，，从而.
又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
（2）由题设及
（1）知，两两垂直，以为坐标原点，
的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系.则.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E
到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，
得.
故.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
20.
（1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB，
故坐标原点O在圆M上.
（2）由
（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故
，
即，
由
（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆
的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，
圆的半径为，圆的方程为.
21.
（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当
时，，所以在单调递减，在单调递
增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.
（2）由
（1）知当时，.
令得.从而
.
故.
而，所以的最小值为.
22.
（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l
2的普
通方程.
设,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为.
（2）C的极坐标方程为.
联立得.
故，从而.
代入得，所以交点M的极径为.
23.
（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而
且当时，.
故m的取值范围为
升级会员 