数学建模洁具流水时间设计.docx

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数学建模洁具流水时间设计

兰州交通大学

2010年大学生数学建摸竞赛论文

题目：

洁具流水时间设计

参赛人1：

姓名刘小龙

学院自动化学院

班级自动控制081

参赛人2：

姓名杨志斌

学院自动化学院

班级自动控制082

参赛人3：

姓名

学院

班级

学校统一编号，

个人不得填写

论文编号：

摘要

针对原有洁具不节水问题，一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系统的耗电可以忽略，只考虑继电器的耗电，因此耗电量与冲水次数和流水时间有关符合实际情况的假设和简化的前提下，建立了分段分析-集合处理的数学模型。

在前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立的情况下建立如下模型：

模型一：

直接从给出的数据出发，建立分段函数，利用其解决。

模型二：

采用了用时间直方图及正态分布数学模型。

对得到的离散数据利用MATLAB处理得到了较准确的结果。

设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。

由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。

模型三：

为了节约用水，一般洁具具有重新计时功能。

考虑到时间间隔，我们对方案一和方案二的时间计算公式进行修正。

基于以上模型得到了：

如果只从节约能源的角度来考虑的话，模型一：

T=21秒，是最佳的选择；模型二：

T=6秒，是最佳选择。

模型三：

T=6秒，是最佳选择。

如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，模型一﹑二：

T=22秒，模型三为11秒最佳的选择从节能的角度。

由于模型一只是离散的处理了数据，很大的偏离了实际，而模型二对此作了很好的处理，减少了误差。

模型三适合使用量比较大的地方。

对感应式小便器目前主要采用的两种出流方案进行了分析比较，建立了两个模型，用matlab求出了各方案出流时间设计参数T的最优值，并在此基础上，对感应式小便器的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。

中心部分

1、问题提出

本体是基于一些洁具的使用流水时间数据对其优化，使其更节能。

2、问题分析

在前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立的情况下，对于流水时间做函数化的处理，得到模型一；利用概率的思想，在基于MATLAB处理数据，得到模型二。

设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。

由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。

3、模型假设和符号说明

（1）符号说明:

T：

洁具中设计的放水时间参数（单位秒）;

t：

使用者使用的时间;

f：

每个人使用后冲水的时间；

v：

放水过程单位时间内流出的水量；

R：

所有使用者使用的冲水时间的累加；

r：

每位使用者平均使用的冲水时间；

c：

每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数；

（2）模型假设:

1、厂家随机100人次得出的男性使用洁具时间可

以反映出现现实情况。

2、一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系

统的耗电可以忽略，只考虑继电器的耗电，因此耗电量

与冲水次数和流水时间有关。

3、洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关。

4、用水量与用水时间成正比。

5、使用者每次使用时间属于正态分布。

6、前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立。

4、模型建立﹑计算方法设计和计算机实现

4.1模型一

在具体解决问题的过程中，我们对一些必要的未知行了假设，从而进行求解。

并排除了几个与本题无关的量，如确定水为时刻均匀，排除电的其他损耗等。

方案一：

若0＜T-5＜12即5＜T＜17则为100×（T+10）秒（T总）无线接近于1500秒；

若12≤T-5＜13即17≤T＜18那么1个人放水一次为T秒，其余99人为（10+T）秒，T=17时，T总=2690秒；

若13≤T-5＜14即18≤T＜19那么6个人放水一次为T秒，其余94人为（10+T）秒，T=18时，T总=2740秒；

若14≤T-5＜15即19≤T＜20那么18个人放水一次为T秒，其余82人为（10+T）秒，T=19时，T总=2415秒；

若15≤T-5＜16即20≤T＜21那么78个人放水一次为T秒，其余22人为（10+T）秒，T=20时，T总=2220秒；

若16≤T-5＜17即21≤T＜22那么91个人放水一次为T秒，其余9人为（10+T）秒，T=21时，T总=2190秒；

若17≤T-5＜18即22≤T＜23那么97个人放水一次为T秒，其余3人为（10+T）秒，T=22时，T总=2230秒；

若18≤T-5即23≤T那么100个人放水一次为T秒，T=23时，T总=2300秒；

方案二：

考虑寿命的问题，则确定每位使用者使用时的冲水此时不超过2次

18≤2T-5T≥11.5

若0＜T-5＜12则5＜T＜17T≥11.5

11.5≤T＜17

此时，100人均超过（T-5）秒，故T总=2300秒；

若12≤T-5＜13,则T+99×2T,故T总=3383秒;

若13≤T-5＜14,则6T+94×2T,故T总=3492秒;

若14≤T-5＜15,则18T+82×2T,故T总=3458秒;

若15≤T-5＜16,则78T+22×2T,故T总=2440秒;

若16≤T-5＜17,则91T+9×2T,故T总=2289秒;

若17≤T-5＜18,则97T+3×2T,故T总=2266秒;

若18≤T-5则100T,故T总=2300秒;

根据两个方案的数据可知,方案一的T的最佳值为21;方案二的T的最佳值22.对于节约,方案一更适合;对于清洁,方案二更适合.

在这道题目中，我们运用的建立数学模型的方法，将复杂繁琐的问题明朗化、简便化，节约了计算所用的时间，并使答案的正确率大大提高。

虽然在实际实施的过程中，必然会有一些误差的出现，例如计算机和人自身计算中存在的错误，但我们可以从这个题目中可以演化出一个可以简单运用的计算机程序（见附件），从而简便地求解类似的一系列问题。

4.2模型二

设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。

则方案一时间的计算如下：

当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。

否则放水时间为T+10秒。

数学表达式如下：

其中f代表冲水时间。

则用水量为f×ν

方案二时间的计算如下：

当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T

秒。

否则，到2T时刻再开始第二次放水，总的放水时间

为2T。

依次类推，使用时间超过n×T-5时，到第2n×

T的时刻再开始第n+1次放水，时间为（n+1）×T。

数学

表达式如下：

f代表冲水时间。

则用水量为f×ν从而，我们可以

得到如下规划：

图一

图21000人冲水时间的累加

图31000人冲水次数的累加

首先用matlab软件中的HIST函数对所给的数据进行绘图，从图可以看出使用者每次使用时间属于正态分布。

然后用NORMPLOT画出其概率图。

以下使用者使用时间的直方图及正态分布概率图，见图1。

由NORMPFIT函数算出其均值为15.0900,方差为1.0259。

用TTEST函数经检验其均值结果如下：

H=0，P=1，Ci=14.886415.2936。

H=0，P=1代表不拒绝零假设。

Ci=14.8864-15.2936，说明期望在14.8864-15.2936之间概率为95%，15.09完全在其中。

我们用NORMRND函数产生服从正态分布的随机数，可以对1000人进行统计他们总的使用时间和冲水次数。

由于不知道上一个使用者和下一个使用者上厕所的时间间隔，我们对三种情况进行了不同的讨论。

下面是在不同T的情况下的所有人用的时间，而且可以得出在不同T的情况下所有人使用洁具的次数。

我们比较两种方案，得出方案一更好些。

由图2与图3可知：

在T=22秒以前，方案一冲水时间要明显小于方案二的冲水时间。

在T=22秒以后，方案一冲水时间与方案二的冲水时间一样的。

在T=11秒以前，方案一冲水次数要明显小于方案二的冲水次数。

在T=11秒以后，方案一冲水次数和方案二的冲水次数无区别。

综上所述，从节约能源的角度和洁具寿命的角度上来看，方案一比方案二好。

如果只从节约能源的角度来考虑的话，T=6秒，是最佳的选择。

如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22秒，最佳的选择。

4.3模型二

设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。

由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。

为了节约用水，一般洁具具有重新计时功能。

考虑到时间间隔，我们对方案一和方案二的时间计算公式进行修正。

设G为时间间隔，则方案一时间计算公式如下：

f={

t+Gt

TtT

t+Gt>T-5t+G≤T+10

T+10t>T-5t+G>T+10

方案二时间计算公式如下：

F={Tt≤T-5

nTnT-5

t+G-nTnt-5

（n+1）TnT-5

时间间隔小于10秒，方案一，方案二，冲水时间和冲水次数的比较

从图4可知：

在T≤9或T＞20秒，方案一的冲水时间和冲水次数小于方案二的。

在9＜T≤20秒，方案二的冲水时间和冲水次数小于方案一的。

对于方案一，T=6秒，R=9536秒，r=9.536秒，平均每人用9.536×ν水量，C=1.596；T=22秒，R=19975秒，r=19.975秒，平均每人用19.975×ν水量，C=1。

对于方案二，T=11秒，R=11601秒，r=11.601秒，平均每人用1.601×ν水量，C=1.309。

图四

图五

如果从节约能源的角度来选；方案一是最佳的，且选T=6秒。

如果还从清洁度和洁具的寿命角度来选；方案二是最佳，且选T=11秒。

我们还考虑了时间间隔是20秒以内，30秒以内，40秒以内的随机数。

我们发现具有以上同样的规律。

而在50秒以内，60以内，70秒以内….的随机数，我们发现方案一在各方面都好于方案二。

T的选择可作类似分析见图5。

时间间隔为30秒以内的随机数，见图6。

时间间隔为40秒以内的随机数，见图7。

时间间隔是50秒，60秒，70秒……600秒，见图8。

综上所述，如果洁具用在人比较少的地方，比如家庭则选方案一，设定T=6秒；如果洁具用在人比较多的地方，比如公共厕所则选方案二，设定T=11秒，时间间隔为20秒以内的随机数。

5、讨论—模型的优缺点，改进方向，推广新思想

根据我们在网上查到的资料，一般人的一次排尿量在200cc～400cc左右，一般的洁具都会在器具的下方有一个存水弯，以我们调查的TOTO洁具为例，它下面的存水弯大概有300cc的大小，其他的产品有所不同，为了洁具的清洁，必须使存水弯的尿液浓度在一定的水平以下，防止在存水弯出留有大量的污垢和尿液，否则将会使存水弯堵塞或是尿液大量存放污染室内空气。

人体尿液和清洁用水汇合成混合后的污水，流入存水弯，再从出水口流出，我们建立如下模型解决这个问题。

求出在清洁流水为一定值下，要使存水弯的尿液浓度达到我们希望的值所需时间，见图9。

表2

现在假设：

尿液与水流迅速混合；参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑；洁具管道中的盛水体积是一定的；洁具的洁净度与尿液在洁具中的浓度有关；对于洁净度，由于相同的洁具体积是一样的，而卫生间的空间大小是不一样的额，所以洁净度我们只考虑管道和洁具里的尿液浓度，而不考虑空气中的氨气浓度。

并做如下符号假设：

rI（t）：

t时刻流入洁具的流数；

pI（t）：

t时刻流入洁具的液浓度；

r0（t）：

t时刻流入洁具的水流；

p0（t）：

t时刻流入洁具的混合液体的浓度；

p（t）：

t时刻洁具中尿液的浓度；

V（t）：

t时刻洁具里液体的总体积；

x：

单位时间内水流与尿液流量之比；

tα：

人走后冲水时间；

类似于池水含盐问题，我们得到模型：

若v（池水体积）取常数，则rI（t）与r0（t）相同，流出的脏水与应与洁具中的尿液浓度一样，r0（t）与p（t）相同。

再设定流出的脏水流速为常数，于是rI（t）=r0（t）=r0，于是有

令τ=V/r0，不难理解给出了排尽洁具中液体所需要的时间或可以说是液体保留的时间，于是有洁具尿液浓度的模型：

设pI（t）＝K为常数，即每个使用时刻，设定尿液的浓度是一样的，如果设在初始时刻t=0,则有p（0）=ps，那么模型

（1）可以确定解出：

p（t）=（ps-K）e-t/τ+K

1、由模型

（1）可以看出，当流入浓度Ｋ给定时，洁具中尿液浓度的变化速率只依赖于洁具液体的保留时间τ，并于τ的大小成反比。

2、称β=（p（t）/K为污染水平。

3、若使用者使用的时间间隔比较长，可以认为ps=0，对于干净的洁具，则t时刻的污染水平β（t）=1-e-t/τ，取不同的β值意味者污染状况的恶化程度。

水体达到污染水平β所要的时间为tβ=τln[1-β0]/（1-β）]，

其中β0=ps/K。

4、若K=0，即没有污染物流入，这时洁具中的混合液体会以很快的速度的到净化，这时：

tα=τln（ps/p（t））就给出了要把污染减少到初始污染水平的百分比

α=p（t）/ps所要的时间，取不同的α，也就是把污染水

平降到目前水平的比例，即可求出时间，设人体排除的尿液ρ与水流混合后为原来尿液浓度的

为单位时间里水流与尿液流量之比，则pI=K=p/（x+1）。

则我们认为水流全部冲洗完后，只要洁具中的尿液浓度为人体尿液浓度的5％，则认为冲洗的效果是清洁的。

由上面的模型可以知道，第一次冲水后：

p（t）=β×K=β×p/（x+1），此时β（t）=1-e-t/τ，ps=β×K=（1-e-t/τ）×p/（x+1）第二次冲水时在人走后：

K=0，初始时刻p（t）/ρ=5%tα=τ×ln[ps/p（t）]=τln[（1-e-t/τ）/（（x+1）×5%则冲水的总时间为：

T=tα+t=t+τln[（1-e-t/τ）/（（x+1）×5%。

计算结果如表2：

（当x=4,τ=5）

冲水时间的期望值为：

人走后冲水时间的期望值为

用两个模型，对感应式小便器目前主要采用的两种出流方案进行了分析比较，用matlab求出了各方案出流时间设计参数T的最优值，并在此基础上，对感应式小便器的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。

对冲水时间进行合理求解，冲水时间从人开始应用洁具起延迟2妙钟，再冲水，可以起到节约用水的目的。

6、参考文献

[1]伍斌，孙清华.现代卫生洁具的人性化设计[J],中国陶瓷工业，June2003,Vol.10,No.3.p56-59

[2]章争荣,孙友松等.基于CAD/CAE/CAM/RP的复杂陶瓷产品快速制造技术[J].中国陶瓷.Vol.41No.5.Oct.2005.P35-38

[3]刘来福曾文艺，数学模型与数学建模[M]，北京师范大学出版社，2002

[4]沈恒范，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，2003.4

[5]钱颂迪.运筹学.北京.清华大学出版社.1995.

[6]卢厚清,袁永生.下料问题数学模型研究.运筹与管理.1996,5（4）:

61-66.

附录部分：

1﹑图一MATLAB语言

>>t=12:

18

t=

12131415161718

>>x=[1512601363]

x=

1512601363

>>bar（t,x）

normplot（t）

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit（t）

[h,sig,ci]=ttest（t,15）

2﹑程序1

clear

x=[12,13,14,15,16,17,18];

y=[0.01,0.05,0.12,0.60,0.13,0.06,0.03];

xx=sum（x.*y）%数学期望

xx1=sum（（xx-x）.^2.*y）%数学方差

xx2=sqrt（xx1）%数学比标准差