完整版几何模型一线三等角模型Word格式文档下载.docx
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构造模型解题
图3-5
其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？
不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等
A
4•“中点型一线三等角“的变式（了解）
5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）
c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题•
体会：
感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题•
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段•
3.
构造一线三等角的步骤：
找角、定线、构相似
则tmZAEC=tanZBFD=taDGiWlZAEC=ZBFD=a=ZA?
B^^iPAE«
iBPF・
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D
两点作直线I的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握•
解题示范
例1如图所示，一次函数yx4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上
一个动点（不包括A、B两端点），C是线段0B上一点，/OPC=45°
若△OPC是等腰三角形，求点P的坐标•
例2如图所示，四边形ABCD中，/C=90°
/ABD=/DBC=22.5°
AE丄BC于E,/ADE=67.5°
AB=6,贝UCE=.
例3如图，四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90°
ZACD=45°
AB=3,AD=5.求BC的长.
x-3
例4如图，△ABC中，/BAC=45°
AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.
一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙•找出相似形,
比例不能少•巧设未知数，妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5如图，在△ABC中，/BAC=135,AC=.2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=2,
求Z\ABC的面积
当然有45°
或135。
等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种
大练身手:
】.如團，A4占＜7中，tan厶6=—=90°
AD=2,5C=4.求的比
Z如图*△彳RQ中，zJ¥
=<
XT,ZCD=4宁,虫H二監CD二3,求EQ的长.
王如图，在四边形脑CD中*ABADZACB=ZAC1>
45*fAC4,求2\£
〔4的周比
C
5•如图.在Rt^ABC中，ZACB-30Q■场平分ZCAB.若ZCDB-60。
CA二価求应）的长.
巧、
/\
6•如图・在等腰宜角三角形中.ZBAO909•D为仙上一鼠连接CdP为CD上一民ZBFD二45°
，若CP=6,MCD的面积为18,则线段D〃的长为•
&
如樹，△仙C中.ZBAO909■肋=2血■点D悝BC边上.BC^JiCD,DE丄PCLLDE=DCDE
交AC边与点F.EF=V5,则/IC的长为・
9•如图，任平向岂角坐标条中.点4（4.0〉，点（0.2歼点C在第一欽限内，若AMC为等边三角形，则
点C的坐标为
10•矩形ABCD坐标系的位置如图所示，点*（2届,0）点C（05）,反比例浙敬的图像交边血、
BCTD.E两点•且ZDOE45*，则匕.
11•如用.点线—2—4交坐标轴与不〃两点•交双曲线y--（x>
0）于点G点P在点C
AT
的右侧的双曲线匕ZPBC=45°
•则点P的坐标为.
12.在MBC中，AB=2>
l2.ZB=45%以点4为直角顶点作寻腰直角△/<
%•点D^.BC上■点EgAC上,
若CE^JS■则CD的长为.
13•如图，直角ZXMC中.ZC=909.AC=6.BO8.£
>
是斜边的中点.E为BC上动点,DF丄4E于点F,连接DE.若ADEF是等腰頁角三角形.求DE的长度.
14•在^ABC中.Z£
=45a,ZC=30°
点D足BC上一点.连接Q・过点4作4G丄应>
・在4G上取
点氏连接£
F・延长IM至民使AE=AF.连接EG.DG,H.GE=DF.
（1）若AB=142AB=2.求BC的长；
（2）tHlRJb当点G在AC时，求证IBD^-CGx
2
（3）如用2,当点G在ACM直平分线上时，直接写出笔的值.
例7:
在平面直角坐标系中，已知点A（1,0）,B（0,3）,C（-3,0）,D是线段AB上一
点，CD交y轴于E，且S^bce=2S^aob.
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）若F为射线CD上一点，且/DBF=45°
求点F的坐标.
x
例8如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC=2AC,点P是抛物线上一点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）若点P在直线AB的上方，且/BPC=45°
求所有满足条件的点P的坐标.
练1•如图，抛物线的顶点为C（-1,-1）,且经过点A、点B和坐标原点0,点B的横坐标为—3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上的一点，且△B0D的面积等于△B0C的面积，请直接写出点D的坐标；
（3）若点E的坐标为（0,2）,点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得/OPE=45°
若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由.
课后作业：
如图，点A（0,-1）,B（3,0）,P为直线y=-x+5上一点，若/APB=45°
，求点P的坐标
在四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90°
，/ACD=45°
AB=3,AD=4,求AC的长.
如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证:
BE+GC=3BC
如图，△ABC:
△DBA,且AC=2BC,求证：
CD=2AB.
如图，在四边形ABCD中，/ABC=90°
AB=3,BC=4,CD=10,DA=5^5，求BD的长
如图，点A是反比例（X>
0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0,2）,点厶ABC是等边三角形时，求点A的坐标.
掀物线y=*牡门与坐标轴交于水R、C三点.点尸隹撫物钱上.PE丄RU于点&
若PE=2CE.
求尸点坐拆-
如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,
17
直线I：
y=-2X+m经过点A,与抛物线交于另一点D（5,--），点P是直线I上方的抛物线上的动点，连接PCPD.
（2）当厶PCD为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设厶PCD的面积为S,请你探究：
使S的值为整数的点P共有几个，说明理由.
4222
1•如图1,已知直线y=kx与抛物缎27X~3交于点A（3，6）.
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、0不
重合）,交直线0A于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？
如果是,求出这个定值,如果不是,说明
理由；
（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段0A上（与点0、A不重合），点D（m,0）是x轴正半轴上的动点，且满足/BAE=ZBED=ZA0D.继续探究：
m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
如图，直线AC:
y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c（a>
0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△0B8AOCA.
（2）点D为抛物线上一点，/DCA=45°
求点D的坐标；
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