完整版几何模型word版Word下载.docx
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图1
【解答】
注意G的两端点D、E
（1）延长EG交CD于点H
所在的直线DC∥FE
易证明△CHG≌△CEG，则GE＝
HCD
F近似的为什么要延长
CG呢，可以延长EG
B吗？
A
（2）延长CG交AB于点I，
易证明△BCE≌△FIE，则△CEI是等边三角形，GE＝3GC，且GE⊥GC
DC
为什么是证明△BCE
≌△FIE你理解吗？
E
AB
I
（3）
你能写出解题思
路和过程吗？
JF
【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE
＝∠BAF.
（1）求证：
CE＝CF；
（2）若∠ABC＝120°
，点G是线段AF的中点，连接DG、EG，求证：
DG⊥EG.
AD
GF
BEC
（1）证明△ABE≌△ADF即可；
（2）延长DG与AB订交于点H，连接HE，证明△HBE≌△EFD即可
为什么为什么为什么？
H
【例3】如图，在凹四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点，
CD交EF于H点，求证：
∠BGE＝∠CHE.
HD
取BD中点可证，以下列图：
可以取AC中点吗？
J
BCE
角均分线模型
【模型1】构造轴对称
【模型2】角均分线遇平行构等腰三角形
___________________________________________________________________
【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE均分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交边CD于F点，交AD边
于H，延长BA到G点，使AG＝CF，连接GF.若BC＝7，DF＝3，EH＝3AE，则GF的长为_______.
DA
EC
延长FE、AB交于点I，易得CE＝CF，BA＝BE，设CE＝x，则BA＝CD＝3＋x，BE＝7－x，
3＋x＝7－x，x＝2，AB＝BE＝5，AE＝，作AJ⊥BC，连接AC，求得GF＝AC＝3
ADH
BJ
手拉手模型
【条件】OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD
【结论】△OAC≌△OBD，∠AEB＝∠AOB＝∠COD（即都是旋转角）；
OE均分∠AED
OO
OC
ECD
CB
AAB
导角核心图形：
八字形
【例5】
（2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在
CD上，且DE2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．
OF
【答案】
6
5
模型很重要，对吗？
CB
【例6】如图，△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE，AG⊥BE
于F，交BC于点G，求∠DFG．
EF
BCDG
【答案】45°
注意挖掘模型
成立的条件F
【例7】
（2014重庆B卷）如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线
一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．若BH＝8，则FG
＝_____________．
AF
HE
【答案】52
FD
这个图包括两个经典
模型，哪两个呢？
HE
邻边相等对角互补模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°
【结论】AC均分∠BCD
AA
BB
CE
CDD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°
【结论】①∠ACB＝∠ACD＝45°
；
②BC＋CD＝2AC
AE
CCD
DF
___________________________________________________________________________________________
【例8】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，G为CD中点，DE＝DG，FG⊥BE于F，则DF为_____.
DG
9
【例9】如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使BM＝1，连接AM，过点B作BN⊥AM，
垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为__________.
MN
O
【例10】如图，正方形ABCD的面积为64，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，
则DG的长为___________.
【答案】43＋4
H模型又来了！
半角模型
【条件】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°
，∠EAF＝
1
∠BAD，点E在直线BC上，点F在直线CD上2
【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系
BD
【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF＝45°
，AE、
AF分别与对角线BD交于点M、N．
【结论】①BE＋DF＝EF；
②SABESADFSAEF；
③AH＝AB；
④C2AB；
⑤BM2＋DN2
ECF
＝MN2；
⑥△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM（由AO：
AH＝AO：
AB＝1：
2可获取
△ANM和△AEF相似比为1：
2）⑦SAMNS四边形MNFE；
⑧△AOM∽△ADF；
△AON∽△ABE；
⑨△AEN
为等腰直角三角形，∠AEN＝45°
，△AFM为等腰直角三角形，∠AFM＝45°
⑩A、M、F、D四点共圆，
A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆．
N
M
【模型2变形】
【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF＝45°
【结论】BE＋EF＝DF
【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足∠EAF＝45°
【结论】DF＋EF＝BE
【例11】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°
，△DEF的极点E
与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB订交于点P，
射线EF与线段AB订交于点G，与射线CA订交于点Q.若AQ＝12，BP＝3，则PG＝__________.
Q
PD
【解答】连接AE，题目中有一线三等角模型和半角模型
设AC＝x，由△BPC∽△CEQ得
BPBE
＝，3/（
CECQ
2
x）＝
x/（x＋12），解得x＝12
设PG＝y，由AG2＋BP2＝PG2得32＋（12－3－x）2＝x2，解得x＝5
【例12】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE交于点
G，连接CG与BD交于点H，若CG＝1，则S
四边形BCDQ＝__________．
HF
AEB
3
4
一线三等角模型
【条件】∠EDF＝∠B＝∠C，且DE＝DF
【结论】△BDE≌△CFD
BDC
【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB＝3，GC＝4，连接EF、
FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.
BFC
【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH≌△FGI
则BC＝BF＋CF＝HF－BH＋FI－CI＝GI－BH＋HE－CI＝
7
33
GE
HBFCI
弦图模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
ADD
L
GGK
EC
IJB
【例14】如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AF＝AB，AC与FD交于点
G，∠FAB的均分线交FG于点H，过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.若AH＝3AI，FH＝22，则
DG＝__________．
HF
17
42
GK
EH
JBC
【例15】如图，△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AC中点，连接BE，作AG
⊥BE于F，交BC于点G，连接EG，求证：
AG＋EG＝BE．
【解答】过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，易证
观察弦图模型，为什
么不作CH⊥AG？
最短路径模型
【两点之间线段最短】
1、将军饮马
P'
BP
P
B'
P”
AA'
BP
A'
CDQ
2、费马点
【垂线段最短】
b
【两边之差小于第三边】
【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一
个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最
小值．
1000mD
BH
600m
【解答】6005003，点线为最短．
A1
P1
记住是往外旋60°
，
那为什么不是绕着AD
H点呢？
【例17】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接
BE交AG于H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为______________________．
AEFD
HG
【解答】如图，取AB中点P，连接PH、PD，易证PH≥PD-PH即DH≥5-1．
EFDA
怎样才能找到这样的PG
点：
实际上是某个圆的
圆心．
【例18】以下列图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝42，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，
△BEF沿直线EF翻折到△BEF，连接DB，DB最短为________________．
【解答】4
哪个点是圆心？
应该将
圆心与哪个点相连？
用
谁减去谁呢？
【例19】如图1，□ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF．
（1）若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；
（2）求证：
EG＝BG＋FC；
（3）如图2，若AF＝52，EF＝2，点M是线段AG上一动点，连接ME，将△GME沿ME翻折到△GME，
连接DG，试求当DG获取最小值时GM的长．
ADADAD
G'
GGG
CC
EBEB
FF
图1图2备用图
【解答】
（1）3
（2）以下列图
为什么这样做辅助线？
还有其他方法吗？
（3）当DG′最小时D、E、G三点共线
自己去算吧！
！
！
G'
CBE
解得
GMGNMN
4
课后练习题
【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°
，AC、BD交于O．已
知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．
DA5
【练习2】
问题1：
如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN
∠ABC，试试究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想；
问题2：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°
，点M，N分别在DA，CD延长
线，若∠MBN＝1
∠ABC依旧成立，请你进一步研究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？
写出你
的猜想，并恩赐证明。
问题一
方法一：
以下列图
方法二：
问题二
【练习3】已知：
如图1，正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接
DF，G为DF中点，连接EG，CG．
EG＝CG且EG⊥CG；
（2）将图1中△BEF绕B逆时针旋转45°
，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG，问
（1）中的结
论可否依旧成立？
若成立，请给出证明；
若不成立，请说明原由．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论可否依旧
成立？
（1）略
（2）方法一：
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